Función implícita

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de

\mathbb{R}^2

entre las variables x e y:

y^3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0 \,

Diferenciación

Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:

Dada una función

F(x,y) \,

, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x:

\frac{dy}{dx} = f'(x)

Si consideramos

y = f \left ( x \right )

es una función en términos de la variable independiente x y

G \left ( y \right )

es una función en términos de la variable dependiente y, dado que

y = f \left ( x \right )

, entonces para obtener la derivada:

D_x \left ( G \left ( y \right ) \right ) = D_x \left ( G \left ( f \left ( x \right ) \right ) \right ) = G' \left ( f \left ( x \right ) \right ) \left ( f' \left ( x \right ) \right )

Ejemplo

Obtener la derivada de:

6x^2y + 5y^3 + 3x^2 = 12 - x^2y^2 \,

El término

6x^2y

se puede considerar que son dos funciones,

6x^2

y

por lo que se derivará como un producto:

D_x \left ( 6 x^2y \right ) = \left ( 12x \right ) \cdot y + \left ( 6 x^2 \right ) \cdot \left ( \frac{dy}{dx} \right )

El término

5 y^3

se deriva como:

D_x \left ( 5 y^3 \right ) = 15y^2 \cdot \frac {dy}{dx}

El término

3 x^2

se deriva de forma normal como:

D_x \left ( 3x^2 \right ) = 6x \,

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

D_x \left ( 12 \right ) = 0 \,

El término

x^2y^2

se puede considerar como un producto y se deriva como:

D_x \left ( x^2y^2 \right ) =2xy^2 + x^2 \cdot \left ( 2y \cdot \frac {dy}{dx} \right )

Al unir todos los términos se obtiene:

12xy + 6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 6x = - 2xy^2 -2x^2y \cdot \frac{dy}{dx}

Ordenando:

6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 2x^2y \cdot \frac{dy}{dx}= -12xy - 6x- 2xy^2

Factorizando respecto a (

\frac {dy}{dx}

) los valores son:

\left ( 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y \right ) \cdot \frac{dy}{dx} = - \left ( 12xy + 6x + 2xy^2 \right )

Finalmente despejando

\frac {dy}{dx}

se obtiene la derivada de la función implícita:

\frac{dy}{dx} = - \frac { 12xy + 6x + 2xy^2 } { 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y }

Derivada de funciones implícitas. La derivada de la función implícita

definida mediante la ecuación

puede calcularse: o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:

, siempre que

Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.

Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables

definida mediante la ecuación

puede calcularse mediante las fórmulas:

;

, siempre que

Dada la ecuación

Si el punto

cumple la ecuación

, la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de

entonces la ecuación

define una función explícita

en un entorno de

con

Dada la ecuación

Si el punto

cumple la ecuación

, la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de

entonces la ecuación

define una función explícita

en un entorno de dicho punto.

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—————————————————————————————————22. Calcula y', siendo

Solución:

Tenemos:

hallamos las derivadas parciales:

;

Por lo tanto:

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—————————————————————————————————23. Calcula

, siendo

Solución:

Tenemos:

hallamos las derivadas parciales:

;

Por lo tanto:

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—————————————————————————————————24. Demuestra que la ecuación

define en un entorno del punto (1, 1) una función

Calcula y'(1) e y''(1)

Solución:

a) Existencia de la función explícita:

Consideramos la función: tenemos:

F es diferenciable con continuidad en

y por lo tanto en un entorno de (1, 1)

Luego, de acuerdo con el teorema de existencia de funciones implícitas existe

en un entorno de 1 con

b) Cálculo de y'(1)

Derivamos la ecuación

teniendo en cuenta que y es función de x

sustituyendo

c) Cálculo de y''(1)

Derivando la ecuación

se tiene.

Este caso particular también se podía haber resuelto despejando

y eligiendo el signo + ya que

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—————————————————————————————————25. Calcula dz en la ecuación

Solución:

Consideramos la función:

Hallamos las derivadas parciales

Con lo cual

Con lo que resulta:

La fórmula de Faà di Bruno es una identidad que generaliza la regla de la cadena a derivadas de orden superior, llamada así en honor al matemático italiano Francesco Faà di Bruno (1825-1888) , aunque él no fue el primero en afirmar o demostrar la fórmula. En 1800, más de 50 años antes de Faà di Bruno, el matemático francés Louis François Antoine Arbogast (1759-1803) declaró la fórmula en un libro de cálculo,¹ considerada la primera referencia publicada al respecto sobre el tema.²

Quizás, la forma más conocida de la fórmula Faa di Bruno dice que:

${d^n \over dx^n} f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}}\cdot f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot \prod_{j=1}^n\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_j}$ ,

donde la suma es sobre todas las n-tuplas de enteros no negativos (m₁, …, m_n) que satisfacen la restricción:

$1\cdot m_1+2\cdot m_2+3\cdot m_3+\cdots+n\cdot m_n=n.\,$ .

A veces, para darle un patrón memorable, esta está escrita en una forma en la que los coeficientes que tienen la interpretación combinatoria que se discuten a continuación son menos explícitos:

${d^n \over dx^n} f(g(x)) =\sum \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!}\cdot f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot \prod_{j=1}^n\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}$ .

Combinando los términos con el mismo valor de m₁ + m₂ + ... + m_n = k y notando que m_j tiene que ser cero para j > n − k + 1 proporciona una fórmula algo más sencilla en términos de polinomios de Bell B_n,k(x₁,...,x_n−k+1):