AMIGOS PARA SIEMPRE: Apuntes de cálculo

Cálculo diferencial

ángulo hiperbólico es una figura geométrica que divide a la hipérbola. Las relaciones del ángulo hiperbólico se asemejan a la relación que existe entre un ánguloordinario y un círculo. El ángulo hiperbólico es definido para una "posición estándar", y se lo asocia con la medida de un intervalo de una rama de una hipérbola.

Un ángulo hiperbólico en posición estándar es el ángulo en (0, 0) entre el rayo hasta (1, 1) y el rayo hasta (x, 1/x) donde x > 1.

La magnitud del ángulo hiperbólico es el área del sector hiperbólico correspondiente que vale ln x.

Notar que a diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico no se encuentra acotado, tal como sucede con la función ln x, una característica relacionada con la naturaleza no acotada de las series armónicas. El ángulo hiperbólico en posición estándar es considerado negativo cuando 0 < x < 1.

Supóngase que ab = 1 y cd = 1 con c > a > 1 de forma tal que (a, b) y (c, d) determinan un intervalo sobre la hipérbola xy = 1. Entonces el mapeo de compresión con elementos diagonales b y a mapea este intervalo al ángulo hiperbólico en posición estándar que va desde (1, 1) a (bc, ad). De acuerdo a la relación descubierta por Gregoire de Saint-Vincent, el sector hiperbólico determinado por (a, b) y (c, d) tiene la misma área que este ángulo en posición estándar, y la magnitud del ángulo hiperbólico corresponde con esta área.

Las funciones hiperbólicas sinh, cosh, y tanh utilizan el ángulo hiperbólico como su variable independiente porque sus valores pueden ser planteados mediante analogías con las funciones trigonométricas circulares cuando el ángulo hiperbólico define un triángulo hiperbólico. Por lo tanto este parámetro es sumamente útil en el cálculo de una variable real.

El ángulo_hiperbólico u es un número real que es el argumento de las funciones hiperbólicas sinh y cosh. Determina un sector hiperbólico (rojo) que tiene un área u. Las ramas del triángulo hiperbólico(amarillo) son proporcionales a sinh(u) y cosh(u).

Superior: Ángulos hiperbólicos positivo y negativo. Inferior: La diferencia entre dos ángulos positivos se muestra como Δu = u₂− u₁.

integración simbólica es el problema de encontrar una fórmula para la antiderivada, o integral indefinida, de una función, f(x), i.e. encontrar lafunción diferenciable F(x) de tal manera que:

\frac{dF}{dx} = f(x).

Esto también se escribe como:

F(x) = \int f(x) \, dx.

Discusión

El término simbólico se usa para distinguir este problema de la integración numérica, en donde el valor de F de una cierta abscisa o cierto conjunto de abscisas, en lugar de una fórmula general para F, se busca.

Ambos problemas tenían importancia práctica y teorética antes de la edad de las computadoras digitales, pero ahora son más del campo de las ciencias de la computación, porque las computadoras se usan lo más frecuentemente para evaluar los instantes individuales hoy día.

Evaluar la derivada de una expresión es un processo directo para cual es fácil crear un algoritmo. La pregunta opuesta de evaluar la integral es mucho más difícil. Muchas expresiones que son relativamente sencillas no tienen integrales que se pueden expresar en una forma cerrada.

Un método que se llama el algoritmo de Risch es capaz de determinar si la integral de una función elemental (función hecha de una cantidad finita de funciones exponenciales, logaritmos, constantes, y radicaciones por composición y combinaciones usando los cuatro operaciones elementales) sea elemental y devolverlo si es verdad. En su forma original, el algoritmo de Risch no era apto para una implementación directa, y su implementación completa se llevaba mucho tiempo. Se implementó por la primera vez en el programa "Reduce". En el caso de funciones transcendentes;James H. Davenport resolvió e implementó el caso de funciones puramente algebraicas en Reduce; Manuel Bronstein resolvió e implementó el caso general en Axiom.

Sin embargo, el algoritmo de Risch sólo se aplica a las integrales indefinidas y la mayoría de las integrales de interés a los físicos, químicos teoréticos e ingenieros son 'integrales definidas que a menudo están relacionadas con las Transformadas de Laplace, las Transformadas de Fourier y las Transformadas de Mellin. Carente de un algoritmo general, los desarrolladores de los sistemas algebraicos computacionales, han implementado heurísticas basadas en el casamento de patrones y la explotación de funciones especiales, particularmente la función gamma incompleta¹ Aunque esta estrategia es heurística en vez de algorítmico, Sin embargo, es un método eficaz de resolver muchas integrales definidas encontradas por aplicaciones prácticas de la ingeniería. Los sistemas anteriores tal como Macsyma tenían algunas integrales definidas relacionadas con funciones elementales dentro de una tabla de consulta. Aunque este método particular, que conllevan las derivadas de funciones especiales con respecto a sus parámetros, transformaciones de variables, casamentos de patrones, y otras manipulaciones, fue liderado por los desarrolladores del sistema Maple² y luego fueron emulados por Mathematica, Axiom, MuPAD y otros sistemas.

Ejemplo

Por ejemplo:

\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C

es un resultado simbólico para una integral indefinida (C es una constante de integración),

\int_{-1}^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1= \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3}=\frac{2}{3}

es un resultado símbolico para una integral definida, y

\int_{-1}^1 x^2\,dx \approx 0,6667

es un resultado numérico para la misma integral definida.

Linealización de modelos

Existen diversos modelos que, no siendo directamente modelos lineales, admiten una transformación que los permite estudiar a partir de la teoría vista como modelos lineales.

Son los siguientes:

Modelo exponencial

Si se sospecha de una relación exponencial entre las variable X e Y:

se verifica:

Con lo cual podemos ajustar el modelo transformando logarítmicamente la variable Y, y resolviendo el modelo lineal.

Modelo potencial

Si sospechamos de una relación del tipo:

se verifica que:

y podemos resolver el modelo transformando logarítmicamente las variables X e Y, y solucionando el modelo lineal resultante.

Modelo logarítmico

Se trata de resolver el modelo :

resolviendo el modelo lineal con la transformada logarítmica de X.

notación de Leibniz —llamada así en honor del filósofo y matemático alemán del siglo XVII Gottfried Wilhelm Leibniz—, utiliza los símbolos

dx

dy

para representar incrementos infinitamente pequeños (o infinitesimales) de

x

y

, respectivamente, al igual que

Δ x

Δ y

representan incrementos finitos de x e y, respectivamente.

Historia

El método de Newton-Leibniz de cálculo infinitesimal se introdujo en la segunda mitad del siglo XVII. Mientras que Newton no tenía una notación estándar para la integración, Leibniz comenzó a usar el carácter

\int

. Se basó en el carácter de la palabra latinasumma ('suma'), que escribió ſumma con la alargada entonces comúnmente utilizado en Alemania en el momento. Este uso apareció por primera vez públicamente en su artículo De Geometria, publicado en Acta Eruditorum de junio de 1686,² pero que había estado utilizando en manuscritos privados por lo menos desde 1675.³

Los matemáticos ingleses emplearon la notación de puntos de Newton hasta 1803 cuando Robert Woodhouse publicó una descripción de la notación continental. Más tarde, la Sociedad Analítica de la Universidad de Cambridge promovió la adopción de la notación de Leibniz.

Definición de la notación

La notación de Leibniz tradicional

y = f(x) \;

es utilizada para indicar que la variable independiente es

x \;

y la variable dependiente es

y \;

, por lo tanto existen otras notaciones comunes para la derivada:⁴

$f'(x) = y' = \cfrac{dy}{dx} = \cfrac{df}{dx} = \cfrac{d}{dx} \; f(x) = Df(x) = D_xf(x) \;$

donde las notaciones $\scriptstyle D \;$ y $\scriptstyle \cfrac{dy}{dx} \;$ son operadores de derivación porque indican la operación de derivación.
La notación $\scriptstyle \cfrac{dy}{dx} \;$ introducida por Leibniz es solo un sinónimo de $\scriptstyle y = f'(x) \;$ . Sin embargo, es una notación útil cuando se usa en la notación de incrementos. Con base en la ecuación razón (instantánea) de cambio de $y \;$ con respecto a $x \;$ dónde $\scriptstyle x = x_1 \;$ , $\scriptstyle \lim_{\Delta x \to 0}{\Delta y \over \Delta x} = \lim_{x_2 \to x_1} {f(x_2) - f(x_1) \over x_2 - x_1}$ , al escribir de nuevo la definición de derivada en la notación de Leibniz en la forma:

$\cfrac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x} \;$

Por lo tanto, en esta notación se representa la operación de diferenciar. Dada una función f de x:

$y =y(x) \;$

mediante el operador derivada de la función: {{ecuación|

y' = \cfrac{d}{dx} \; y(x)

se representaría de este modo

$y' = \frac {dy} {dx}$

como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notación consiste en que permite recordar intuitivamente varios conceptos básicos del cálculo tales como la regla de la cadena. Dadas las funciones:

$y = y(x) \;$

$x = x(t) \;$

que con esta notación parece obvia debido a la cancelación de diferenciales (a pesar de que este razonamiento es incorrecto^{[cita requerida]})

$\frac {dy} {dx} \frac {dx}{dt} = \frac {dy}{dt}$

o bien el concepto de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales:

$\frac {dN} {dt} = kN \longrightarrow \quad \frac {dN}{N} = k dt$

Aparición en Principia

En la primera edición americana del libro se hace una introducción a la vida de Newton. En esta introducción, redactada por N. W. Chittenden, se comenta en una de las páginas que

el método diferencial es único y el mismo que el método de las fluxiones, excepto en el nombre y en la notación; el señor Leibniz llama a estas cantidades diferencias, a las cuales el señor Newton llama momentos, o fluxiones; y [Leibniz] las nota con una letra d, una notación no usada por el señor Newton.⁵

Aplicaciones

La notación de Leibniz también es especialmente útil cuando se trabaja con derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados (gradiente,laplaciano, rotacional, divergencia, etc.) ya que indica en cada momento la variable de la función que se considera independiente, dejando el resto de variables como constantes en lo que se refiere a la derivación parcial.

Notación de Leibnz para Derivadas:

En esta notación se representa la operación de diferenciar mediante el operador $\frac {d} {dx}$ , es decir, la operación "derivada de la función f respecto de x" se representaría de este modo $\frac {df} {dx}$ como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notación consiste en que permite recordar intuitivamente varios conceptos básicos del cálculo tales como la regla de la cadena, que con esta notación parece obvia debido a la cancelación de diferenciales (a pesar de que este razonamiento es incorrecto) $\frac {df} {dx} \frac {dx}{dt} = \frac {df}{dt}$ ; o bien el concepto de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales $\frac {dN} {dt} = kN \Rightarrow \frac {dN}{N} = k dt$ .
La notación de Leibniz también es especialmente útil cuando se trabaja con derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados (gradiente, laplaciano, rotacional, divergencia, etc.) ya que indica en cada momento la variable de la función que se considera independiente, dejando el resto de variables como constantes en lo que se refiere a la derivación parcial.