AMIGOS PARA SIEMPRE: Álgebra lineal

ESPACIOS VECTORIALES .- ..............................................:http://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales1.pdf

Definición de espacio vectorial (e.v.)

Se dice que E es un espacio vectorial real si, dados tres elementos cualesquiera x, y, z de E y dos números reales arbitrarios a, b, se cumplen las propiedades:

A.1. x + y = y + x (conmutativa)

A.2. (x + y)+z = x+ (y + z) (asociativa)

A.3. x + 0 = 0 + x = x (el. neutro)

A.4. x + (-x) = (-x) + x = 0 (el. opuesto)

A.5. a(x + y) = ax + ay (distributiva)

A.6. (a + b)x = ax + bx (distributiva)

A.7. a(bx) = (ab)x

A.8. 1x = x

x, y z : vectores (denotados en negrita) ; a,b: escalares 0: vector nulo

-x: vector opuesto de x

· Propiedades

Si u,v Î E y a,b Î R

Reglas de productos nulos:

• 0v = 0 • a0 = 0

• Si av = 0, entonces a=0, ó v = 0

Reglas de los signos:

•(-a)v = a(-v) = -(av) • (-a)(-v) = av

Reglas de simplificación:

•Si au = bu y u ¹ 0, entonces a=b

•Si au = av y a ¹ 0, entonces u = v

· Definición de subespacio vectorial (s.e.v.)

Un subconjunto no vacío F de E (espacio vectorial) es un subespacio vectorial de E si él mismo es espacio vectorial.

F es un subespacio vectorial de E, si y sólo si, se cumplen las siguientes condiciones: (ver ejercicio 1)

•F contiene al vector 0 de E.

•Si u y v están en F, entonces u + v está en F.

• Si u está en F y a es un escalar, entonces au está en F.

Un subespacio vectorial también se puede caractizar del siguiente modo:

•F contiene al vector 0 de E.

•Si u y v están en F, y a, b son dos escalares, entonces au + bv está en F.

· Combinaciones lineales

Un vector x de un espacio vectorial E es combinación lineal de los vectores x₁,x₂,..., x_p de E, si se puede expresar como

donde los escalares a₁,a₂,..., a_p reciben el nombre de coeficientes de la combinación lineal.

· Envoltura lineal

Se llama ENVOLTURA LINEAL de los vectores x₁,x₂,..., x_p de un espacio vectorial E, al conjunto de todas las combinaciones lineales de dichos vectores.

· F es el menor subespacio vectorial que contiene a los vectores x₁, x₂,..., x_p

Sea F un subespacio vectorial de E. Se dice que {x₁,x₂,..., x_p} es un CONJUNTO GENERADOR de F si F = Env {x₁,x₂,..., x_p}.

Si x es un vector de un espacio vectorial E que es combinación lineal de los vectores x₁,x₂,..., x_p entonces:

Env {x₁,x₂,..., x_p} = Env {x₁,x₂,..., x_p,x}.

· Dependencia e independencia lineal

· Definición

Un conjunto de vectores {x₁,x₂,..., x_p} de un espacio vectorial E se dice que es linealmente independiente (o libre) y se escribe L. I., si la igualdad

sólo se satisface cuando a₁= a₂= ... = a_p = 0.

En caso contrario, se dice que los vectores son linealmente dependientes (o ligados).

· Propiedades

Sea {x₁,x₂,..., x_p} un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial E.

• Si el vector u es C.L.de ellos, entonces los coeficientes de la combinación lineal son únicos.

• Todo subconjunto de {x₁,x₂,..., x_p} es L. I.

Sea E un espacio vectorial y {u₁,u₂,..., u_p} L. I. de E, las equivalen:

· {v,u₁,u₂,..., u_p} es L. I.

· v no pertenece a Env {u₁,u₂,..., u_p}

Sea {x₁,x₂,..., x_p} un conjunto de vectores linealmente dependientes de un espacio vectorial E.

· Cualquier conjunto que lo contiene también es linealmente dependiente.

· Un conjunto de vectores de un espacio vectorial E es linealmente dependiente si, y sólo si, alguno de ellos es combinación lineal de los restantes.

· Bases y dimensión

El conjunto {b₁,b₂,..., b_n} de un e. v. E es una base de E si es un conjunto generador de E y libre (L. I. ) (ver ejercicio 2)

Todo espacio vectorial E de generación finita, distinto de {0} tiene una base.

Se llama dimensión de un espacio vectorial E (dim E) al número de vectores de una base de E. Notar que dim {0} = 0.

Todas las bases de E tienen la misma dimensión.

Sea E / dim(E)=n y E=Env{u₁,u₂,..., u_n}. Entonces

{u₁,u₂,..., u_n} es base de E.

Sea E un e. v. /dim(E)=n y {u₁,u₂,..., u_n} es linealmente independiente. Entonces

{u₁,u₂,..., u_n} es base de E.

· Teorema de la base incompleta

Sea E un e. v./ dim(E)=n. Si {b₁,b₂,..., b_p} es un conjunto libre de E, entonces se pueden encontrar n-p vectores de E tales que con los anteriores forman una base de E.

· Propiedades

· Sea F un subespacio vectorial de un e. v. E de dimensión finita y {d₁,d₂,..., d_p} una base de F. Entonces se puede encontrar una base de E que contiene al conjunto {d₁,d₂,..., d_p}.

· Sea E un e. v. de dimensión finita. Si F es un subespacio vectorial de E, entonces

dim F £ dim E

· Suma e intersección de subespacios vectoriales

· Suma de subespacios vectoriales

Sean F y G dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E. Se llama suma de F y G al conjunto:

La suma de subespacios vectoriales es subespacio vectorial.

Se dice que la suma de F y G es directa cuando dado un vector z de F+G, se escribe de forma única como

En este caso la suma se escribe como FÅG.

· Intersección de subespacios vectoriales

Sean F y G dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E. Se llama

intersección de subespacios vectoriales de F y G al conjunto

La intersección de subespacios vectoriales es subespacio vectorial.

· Teorema

Sean F y G dos subespacios vectoriales de un e. v. E

· Propiedades

Sean F y G dos subespacios vectoriales de un e. v. E tal que S = F + G. Las siguientes condiciones son equivalentes

· S = F Å G

· El vector nulo de S se descompone de forma única como suma de los vectores nulos de F y G.

· Si B es una base de F y D es de G, entonces H formada por las dos bases, es base de S.

· F Ç G = {0}

Sean F₁, F₂,..., F_p, subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, y sea

F = F₁ + F₂+...+ F_p.

Las siguiente afirmaciones equivales:

· F = F₁Å F₂Å... Å F_p

· Cada vector x de F se escribe de forma única como suma de los vectores de los subespacios

· El vector nulo de F se descompone de forma única como suma de los vectores nulos de F₁, F₂,..., F_p.

· Si B_ies base de F_i, i=1,2,...,p; entonces la unión de todas las bases es base de F.

dim F = dim F₁ + dim F₂+...+ dimF_p

Se cumple:

· Rango de una matriz

Sea una matriz de tamaño m´n. Se llama rango de A (rg A) a la dimensión del espacio fila de A (fil(A)) ó columna de A (col(A)), es decir, al número de vectores libres (tomados por filas o por columnas).

Sean A matriz de tamaño m´n. Se verifica:

· rg A = rg A^t

· Si rg A =m Þ las filas de A son L. I.

· Si rg A =n Þ las columnas de A son L. I.

Sea A una matriz cuadrada de tamaño n´n, es equivalente:

· Las columnas (filas) de A generan Âⁿ

· Las columnas (filas) de A son una base de Âⁿ

· Las columnas (filas )de A son L. I.

· rg A = n

· A es invertible

Mostraremos en el apartado de ejercicios resueltos cómo calcular bases de la suma y la intersección de subespacios.

· Ejercicios resueltos