Álgebra lineal

SUBESPACIOS VECTORIALES

 En el apartado anterior hemos podido comprobar que el conjunto de los polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que tres tiene estructura de espacio vectorial (P_<=3(x),+,.R), y sin embargo los de grado exactamente igual a cuatro no la tienen (P₃(x),+.R).
Obsérvese que los polinomios de grado igual a tres son un SUBCONJUNTO de los polinomios de grado menor o igual que tres. Así pues de este hecho podemos extraer una conclusión clara: NO TODO SUBCONJUNTO DE UN ESPACIO VECTORIAL TIENE A SU VEZ ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL.
Esta circunstancia obliga a conocer las condiciones que ha de cumplir un subconjunto de un espacio vectorial para mantener la misma estructura. Se trata de estudiar los SUBESPACIOS VECTORIALES.
 

CONCEPTO DE SUBESPACIO VECTORIAL
Antes de dar las condiciones que ha de cumplir un subconjunto para tener estructura de subespacio vectorial, vamos a intentar observar cuales pueden ser estas condiciones.

Consideremos el espacio vectorial (R²,+,.R), y tomemos un suconjunto de vectores del plano, por ejemplo los vectores que están contenidos en la recta x=0. Todos estos vectores son verticales, por ejemplo
(0,1), (0,3), (0,4),....
Es claro que si tomamos este subconjunto del plano que en notación analítica sería

todos los vectores contenidos en W cumplen las 8 propiedades de los espacios vectoriales. Pero para analizar si este subconjunto es un subespacio vectorial de R² bastaría comprobar dos propiedades:
        1. que sumando dos vectores del W se obtiene otro vector de W. Esta propiedad la cumple puesto que si sumamos dos vectores cuya componente primera es cero, vuelve a resultar un vector con la componente primera nula.
        2. que al multiplicar un vector de W por un escalar real cualquiera, vuelva a resultar un vector de W. Esta situación nuevamente es clara, puesto que al multiplicar cualquier escalar por la primera componente nula nos da como resultado un vector con la primera componente nula.
El resto de propiedades no es necesario comprobarlas puesto que todos los vectores del plano las cumplen y en consecuencia las cumplirán los vectores de W.    Si ahora tomamos un subconjunto formado por los vectores del plano cuya primera componente es 1, es decir 
 
y tomamos dos vectores de este subconjunto, por ejemplo (1,2) y (1,5), obsérvese que su suma es (2,7) que no pertenece a M. Por tanto la suma no es operación interna en este subconjunto, y en consecuencia no puede ser un subespacio vectorial. 
 
CARACTERIZACIÓN DE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES.
    1.- Sea (V,+,.R) un subespacio vectorial , y sea W un subconjunto de V. Diremos que W dotado con las mismas operaciones definidas en V, es un subespacio vectorial del mismo si se verifican las dos siguiente propiedades:
                                a) 
                                b) 
una segunda forma de caracterizarlos se concreta en la condición equivalente a la anterio
    2.- W es un subespacio vectorial de V si y sólo si se verifica que

DEFINICIÓN DE SUBCONJUNTOS DE R^N
    Para definir los subconjuntos de Rⁿ suele utilizarse la relación entre las componentes de los vectores que lo componen. A esta relación, expresada en forma de ecuaciones suele denominarse expresión analítica del subconjunto, definida por las denominadas ECUACIONES CARTESIANAS del subespacio.
Por ejemplo, si consideramos

Podemos deducir que los vectores de este subespacio son aquellos vectores que verifican esta relación entre sus componentes. De esta forma el vector (1,1,1) es claro que no está en el subespacio W₁, sin embargo el vector (1,1,2) si pertenece a dicho subespacio. Las ecuaciones cartesianas en este caso son

x+y-z=0

    Para determinar cómo  son los vectores de este subespacio resultaría más útil, encontrar un procedimiento mediante el cual se pudiera  determinar de forma automática cómo son los vectores del mismo. Un procedimiento para obtener estas ecuaciones que determinan el subespacio, sería obtener las soluciones del sistema de ecuaciones que definen al mismo.
    En este caso como tenemos sólo una  ecuación es fácil deducir que
                        z=x+y
    Por tanto, z depende de dos valores independientes.
Las infinitas soluciones de este sistema (que en este caso está formado por una sóla ecuación) serían de la siguiente forma:

ecuaciones que suelen denominarse ecuaciones PARAMÉTRICAS del subconjunto.
De esta forma es fácil determinar cómo son los vectores del subespacio, pues en este caso serían (x,y,x+y).

Hecho este inciso , podemos realizar algunos ejemplos con los que probemos cuando un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial de éste.

Por ejemplo, si tomamos el subconjunto anterior W₁, tendríamos que comprobar lo siguiente:

Dados dos vectores del mismo y dos números reales cualesquiera a,b se trataría de comprobar si .

Vamos a efectuar esta operación con DERIVE.
Podríamos utilizar dos alternativas.
        1ª ALTERNATIVA)

Definamos dos vectores genéricos de R³ utilizando el comando AUTHOR:

A continuación deberemos de construir el vector a*u+b*v y comprobar si cumple las ecuaciones del subconjunto. Definimos por tanto el vector y simplificamos (SIMPLIFY):
    Vamos a ver si sus componentes verifican las condiciones del subespacio W₁. Según la ecuación cartesiana que define al subespacio debe cumplirse que primera componente mas segunda componente  menos tercera componente debe valer cero. Si construimos esa expresión y luego simplificamos tenemos:

Pero obsérvese que los vectores u y v pertenecían a W₁ por tanto cumplían que 
x1+y1-z1=0 y x2+y2-z2=0, y en consecuencia, es claro que la última expresión ha de valer cero. Por tanto W₁ es un subespacio vectorial de R³. 
 
        2ª ALTERNATIVA)
Considerando los vectores con las restricciones del subconjunto, es decir en vez de definir los vectores genéricos, tomar dos vectores del subconjunto W₁. Según hemos visto antes los vectores de W₁ son de la forma (x,y,x+y), luego definiríamos en DERIVE:

Y ahora editaríamos la expresión a*u+b*u , tras simplificar se obtiene

que como se observa toma la expresión de un vector de W₁. 
 
EJERCICIO I.9
Indicar si los siguientes subconjuntos son o no subespacios vectoriales de los espacios vectoriales indicados:
    1)     de R³
    2) de R⁴
    3) de R²
    4) de R³
    5) de R²
    6) de R³

ALGUNOS SUBESPACIOS VECTORIALES SENCILLOS.
 
Existen dos subconjunto de un espacio vectorial que son muy sencillos:1. El propio espacio v.
2. El subconjunto formado únicamente por el elemento neutro de V.EJERCICIO I.10.
Sea el espacio vectorial (R²,+,.R), y consideremos el subconjunto del plano W={(0,0)}. Comprobar que es un subespacio vectorial de R².

EJERCICIO I.11.
A la vista del ejercicio anterior, podrías decir ¿cual es el elemento de un espacio vectorial que ha de pertener a cualquier subespacio vectorial suyo?.
 

OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS VECTORIALES.

    A) INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS.
    Sean W₁ y W₂ dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial (V,+,.R). La intersección de dos subespacios vectoriales se define de la siguiente forma:

y

El significado de esta operación se puede obtener con el siguiente ejemplo de R².
    Ejemplo:
Sean W₁={(x,y)/x+y=0} y W₂={(x,y)/x-y=0}
Si representamos estos dos subespacios con DERIVE tenemos que se trata de dos rectas que pasan por el (0,0).
NOTA 2: Para representar una recta con DERIVE; basta editarla con el comando AUTHOR y a continuación aplicar el comando PLOT-PLOT para dibujarla en una ventana de 2D. Si la ventana no estuviese abierta, el propio programa nos pregunta acerca de la forma en que deseamos abrirla (al lado, encima, o solapadamente).

En nuestro ejemplo por tanto tendríamos que editar con AUTHOR las dos ecuaciones que definen los subespacios:

y a continuación dibujarlas: iluminando la expresión y aplicando PLOT-PLOT para las dos expresiones. Se obtiene

La intersección de ambos subespacios sería la intersección de estas dos rectas, es decir el {(0,0)}.
¿Cómo se podría haber resuelto de forma analítica?
La resolución analítica consiste en resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que tenemos planteado:
                    x+y=0
                    x-y=0
obsérvese que la única solución de este sistema es x=0, y=0.

NOTA 3. Para resolver en DERIVE este sistema bastará con poner las ecuaciones entre corchetes y aplicar el comando SOLVE.
 

En nuesto ejemplo, aunque es muy trivial, basta  editar con AUTHOR la expresión

y  al aplicar el comando SOLVE resulta

Evidentemente, no siempre la solución resulta tan trivial. Si aumentamos la dimensión del espacio vectorial, las posibilidades de intersección entre distintos subespacios son mayores. 
  
 
EJERCICIO I.12.
Dados los siguientes subespacios

Se pide:
    1) Representarlos en el plano con la ayuda de DERIVE.
    2) Deducir de esta representación los subespacios

            ¿Son subespacios vectoriales?
    3) Si consideramos ahora

Calcular de forma gráfica y analítica el subespacio intersección

        . ¿Es un subespacio vectorial?
    4) ¿Podrías extraer alguna observación de lo que has estudiado en los apartados anteriores?

Como acabamos de comentar la INTERSECCIÓN de subespacios VECTORIALES en el plano es siempre única, interpretable como la posición relativa de rectas del plano que se cortan en el origen. Esta situación se complica si consideramos el espacio vectorial R³.
Por ejemplo. Supongamos que tomamos ahora los subespacios vectoriales

Obsérvese que W₁ es un plano del espacio; W₂ es una recta del espacio y W₃ es un plano del espacio. Si estudiamos de forma analítica, tendremos que resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que con DERIVE se resolvería editando la expresión

que se resuelve aplicando el comando SOLVE obteniendo

es decir . De aquí se puede deducir que el plano W₁ y la recta W₂ se cortan en el origen de coordenadas. Se trata de un plano y una recta del espacio que se cortan en un punto.

    Si estudiamos ahora la intersección , utilizando el mismo procedimiento analítico, editamos en DERIVE la expresión

(obsérvese que hemos añadido un 0, situación muy común en DERIVE cuando deseamos resolver un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas)
Y al resolver obtenemos

Es decir obtenemos que x=z, y=-z. Luego subespacio que se corresponde con una recta del espacio. Esta intersección representa por tanto dos planos que se cortan en el espacio en la recta que da origen a su intersección. 
 
EJERCICIO I.13.
Dados los subespacios vectoriales:

Se pide:
    1) Obtener de forma analítica las siguientes intersecciones de subespacios W1 int. W2, W3 int. W4, W1 int. W4 y W1 int. W3.
    2) Interpretar cual es la posición relativa de los subespacios vectoriales que intervienen en cada una de las intersecciones anteriores.

OBSERVACIÓN.
De los ejercicios realizados antes se puede observar que la INTERSECCIÓN de SUBESPACIOS VECTORIALES es siempre otro subespacio vectorial.

EJERCICIO I.14.
Demostrar formalmente que la intersección de dos subespacios vectoriales pertenecientes a un mismo espacio vectorial vuelve a ser un subespacio vectorial.
 

        b) UNION DE SUBESPACIOS
    Sean W₁ y W₂ dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial (V,+,.R). La unión de dos subespacios vectoriales se define de la siguiente forma:

ó

 
El significado de esta operación se puede obtener con el siguiente ejemplo de R².Ejemplo:
Sean W₁={(x,y)/x+y=0} y W₂={(x,y)/x-y=0}
Si representamos estos dos subespacios con DERIVE tenemos que se trata de dos rectas que pasan por el (0,0).
El subespacio unión se obtendría por definición


 ó 

observando gráficamente este subespacio (podemos representar con DERIVE cada una de las dos rectas del plano con ayuda del comando PLOT)


                                    W₂                                                             W₁

El subespacio unión lo formarán los vectores que están en uno u otro subespacio. Podemos observar gráficamente que este subespacio no es vectorial. Para ello basta tomar un vector de W₁ por ejemplo el vector (1,1), y otro vector de W₂, por ejemplo el vector (1,-1), si sumamos estos dos vectores obtenemos el vector (2,0) que claramente no pertenece al subespacio unión. Observemos la situación gráfica:



Es evidente que este vector se sale del suconjunto unión por tanto la unión de subespacios no es un subespacio vectorial

    C) SUMA DE SUBESPACIOS

Ya que la UNIÓN de subespacios vectoriales no tiene por qué ser un subespacio vectorial, necesitaríamos una operación alternativa que recoja en cierta forma la idea de JUNTAR o AÑADIR propia de la unión, que mantenga la estructura de subespacio vectorial
Para ello se construye la operación SUMA DE SUBESPACIOS:
Definición
Sean W₁ y W₂ dos subespacios vectoriales de V, se define la suma de estos subespacios como


Esta definición se puede extender a la suma de varios subespacios:
Si W_i son subespacios vectoriales, con i=1,...,n se define la suma de estos n-subespacios vectoriales como:



Veamos el significado geométrico de esta operación.
Ejemplo.
Dados los subespacios vectoriales de R²:



Vamos a estudiar geométricamente el subespacio suma con la ayuda de DERIVE. Como en ejemplos anteriores es fácil representar estos dos subespacios vectoriales que se reducen a dos rectas que pasan por el origen



La suma de estos subespacios es claro deducir que se trata de todo el espacio R², ya que cualquier vector del plano se puede expresar como suma de dos vectores que estén en los subespacios vectoriales citados.
 

La situación en R³ muestra nuevamente diversas combinaciones de los subespacios vectoriales, mostrando posiciones relativas entre planos y rectas. De esta forma si consideramos un plano de R³ que pasa por el origen y una recta que no está contenida en dicho plano y que también pasa por el origen, es fácil deducir que la suma de ese plano con la recta es todo el espacio R³.
 

Si tenemos en R³ un plano que pasa por el origen, y una recta contenida en dicho plano, es evidente que la suma de dichos subespacios da como resultado el propio plano.
 

Propiedad
Si tenemos un espacio vectorial V, se verifica:
Si es una familia de subespacios vectoriales de V entonces el subespacio


es un subespacio vectorialLa demostración de esta propiedad se deja como ejercicio para intentar realizar una demostración sobre objetos abstractos de un espacio vectorial.
 
 

Ejercicio I.15 
Dados los subespacios vectoriales de R³

Obtener el subespacio suma y el subespacio intersección. 
  
 
        D) SUMA DIRECTA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
    Cuando tenemos dos subespacios vectoriales cuya intersección es el elemento neutro del espacio vectorial, y efectuamos la operación suma de subespacios, el subespacio resultante se obtiene añadiendo "totalmente" los vectores de uno con los de otro, es decir se realiza una SUMA DIRECTA de subespacios.
Definición
Sea V un espacio vectorial y sean W₁ y W₂ dos subespacios vectoriales de V, se define la SUMA DIRECTA de estos subespacios al subespacio  si y sólo si y además 
 

Ejemplo.
Sean los subespacios vectoriales

Se puede observar que W₁ representa un plano del espacio y W₂ una recta del espacio no coincidente con el plano, pudiéndose comprobar que , y además que Por tanto se puede afirmar que 
 

Además en este caso podemos afirmar que W₁ y W₂ son SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS.

Es decir, cuando y W=V, es decir la suma directa coincide con el espacio vectorial total, entonces se puede afirmar que los subespacios W₁ y W₂ sob SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS.

www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo-1/teoria-1-3/1-3-subespacios.html