Álgebra lineal

APLICACIONES LINEALES
INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE MATRIZ. 
  
 
En el capítulo anterior estudiamos el concepto de vector. Entre los diversos puntos de vista que mostramos de este concepto se encontraba la idea de presentar un vector como CONJUNTO de n-Datos agrupados en torno a sus componentes:
                    (x₁,x₂,...,x_n)
En numerosas ocasiones es necesario utilizar una estructura que manipule CONJUNTOS DE VECTORES. Esta forma de almacenar un conjunto de vectores de forma compacta genera el concepto de matriz.
Veamos un ejemplo muy natural en el que el uso de las matrices puede ser de gran utilidad. Nos referimos a los SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Dado un sistema con m-ecuaciones lineales y n-incógnitas:
            a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n=b₁
            a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n=b₂
            ......................................
            a_m1x₁+a_m2x₂+...+a_mnx_n=b_n
En este sistema encontramos tres tipos de elementos:
                    - INCÓGNITAS: x₁,x₂,...,x_n
- COEFICIENTES: a_ij , i=1,...,m,j=1,...,n- TÉRMINOS INDEPENDIENTES: b₁,b₂,...,b_m
 Cada ecuación del sistema se podría escribir de la siguente forma
La ecuación
                    a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n=b₁
se podría escribir como el producto escalar de los vectores:
                    (a₁₁,a₁₂,...,a_1n)(x₁,x₂,...,x_n)=b₁
es decir si consideramos
                    a_1.=(a₁₁,a₁₂,...,a_1n) y x=(x₁,x₂,...,x_n)
entonces la primera ecuación se podría expresar como
                    a_1. . x = b₁

La segunda ecuación
                    a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx=b₂
se podría escribir como el producto escalar de los vectores:
                    (a₂₁,a₂₂,...,a_2n)(x₁,x₂,...,x_n)=b₂
es decir si consideramos
                        a_2.=(a₂₁,a₂₂,...,a_2n) y x=(x₁,x₂,...,x_n)
entonces la segunda ecuación se podría expresar como
                        a_2. . x = b₂

Si generalizamos para las m-ecuaciones restantes siguiendo el mismo esquema resultaría que las ecuaciones serían escritas como productos escalares:
                        a_1. x = b₁
                        a_2. x = b₂
                        ........
                        a_m. x=b_m
Es decir
                        a_i. x=b_i, i=1,...,m
Si consideramos ahora el vector de vectores

es claro que 
 

es decir

que sería la forma matricial del sistema de n-ecuaciones y m-incógnitas, utilizando una matriz de m-filas y n-columnas.
Por tanto según este planteamiento podemos definir:

Definición de MATRIZ
Dados un conjunto de mxn números a_ijÎR, i=1,...,m, j=1,...,n ordenados en m-filas y n-columnas de la forma

se denomina matriz de orden mxn.
 

DEFINICIÓN DE MATRICES CON DERIVE.
 Para manipular matrices en DERIVE, debemos en primer lugar saber introducir los datos de esta estructura. Esto se puede realizar editando "un vector de vectores" es decir, editando expresiones como

obtendremos definida la matriz

Obsérvese que las matrices se editan como un vector de vectores fila.

        Otra posible forma de definir matrices en DERIVE es utilizando la secuencia de comandos Declare-Matrix. Al aplicar esta secuencia, el programa nos solicita el número de filas (rows) y de columnas (columns) que tendrá nuestra matriz, y a continuación nos va pidiendo los elementos de la misma.
        Por ejemplo, si deseamos definir la matriz anterior siguiendo este procedimiento bastará aplicar estos comandos y nos aparece la ventana siguiente

indicando en cada campo el número de filas y columnas, en nuestro caso introducimos los siguientes datos (obsérvese que para pasar de un campo a otro usamos la tecla TAB)

al pulsar enter, el programa nos solicita que vayamos introduciendo alternativamente los elementos de la matriz

y así sucesivamente obteniendo finalmente la misma matriz que antes.

    De esta forma, si quisieramos construir un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas en DERIVE tendríamos que construir por un lado el vector de incógnitas y por otro el vector de términos independientes. Para ello editamos por un lado el vector de incógnitas

y el vector de términos independientes

Manipulando adecuadamente las dos expresiones introducidas podríamos multiplicarlas consiguiendo la expresión

que tras simplificar nos da

 
OBSERVACIONES

    1) Los elementos de la matriz a_ij no tienen porqué ser números reales. Por ejemplo, podríamos definir las siguientes matrices con DERIVE

 
    2) Suele ser interesante dar nombre a las matrices (usualmente una letra seguida de un número) En DERIVE esta opción ser efectúa dando nombre a las matrices. Así si deseamos nombrar a las variables anteriores como A1 y A2 , bastará editar las expresiones:
 
    3) Una matriz tiene TRES tipos de elementos a considerar:
 
 
a) FILAS de una matriz: normalmente se denotan por (fila i-ésima)

 
Para extraer en DERIVE la fila i-ésima, necesitaremos aplicar el comando
ELEMENT(Matriz, Num.fila).

 de tal forma que si en la matriz A1, deseamos extraer la primera fila basta que editemos la expresión



y al simplificar se obtiene


        b) COLUMNAS de una matriz: se suelen denotar por (columna j-ésima)Para extraer en DERIVE la columna j-ésima, necesitaremos aplicar el comando
            ELEMENT(Matriz`, Num.columna)`.
de tal forma que si en la matriz A1, deseamos extraer la primera fila basta que
editemos la expresión



y al simplificar se obtiene


        c) ELEMENTOS de una matriz: se denotan por a_ij elemento de la fila i-ésima y columna j-ésima. Para obtener el elemento a_ij de una determinada matriz, deberemos editar la expresión

ELEMENT(Matriz,i,j)     Así por ejemplo para obtener el elemento a₁₂ de la matriz A1, editamos la expresión 
 

que al simplificar nos da 
 

 
ALGUNAS DEFINICIONES SOBRE MATRICES.
 

DIMENSIÓN (ORDEN)
Si A es una matriz de m-filas y n-columnas decimos que A tiene dimensión u orden mxn o bien decimos que AΠM_mxn (matrices de orden mxn).

    En este sentido ha de observarse que
                                    M_mxn es distinto a M_nxm

 Para observar este hecho basta observar la diferencia entre estas matrices:

La primera es de orden 2x3 y la segunda de 3x2. 


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