Álgebra lineal

APLICACIONES LINEALES
Introducción al concepto de aplicación lineal.
Sea un vector de R³. Consideremos una APLICACIÓN que transforma vectores de R³ en vector de R² de la siguiente forma:
f(x,y,z) = (x+2y, y-z).Esta aplicación se podría definir en DERIVE, editando la siguiente expresión 
 

Si ahora intentamos aplicarla sobre diversos vectores de R³ deberíamos realizar lo siguiente:
Consideremos dos vectores

de R³ . Para manipularlos posteriormente en DERIVE; vamos a definirlos editando las expresiones 
 

Ahora vamos a aplicar f sobre estos vectores y algunas posibles combinaciones lineales suyas. Por ejemplo, para calcular f(u) en DERIVE editamos

y obtenemos 
 

Realizando lo mismo para calcular f(v) obtendremos que

Pero obsérvese que f(3 u) coincide con 3 f(u)

Por otro lado podemos comprobar qué sucede con f(u+v) y f(u) + f(v)

Se vuelve a observar la coincidencia.
Esta propiedad se podría estudiar de forma generalizada considerando dos vectores genéricos de R³, que podemos definirlos de la siguiente forma

(NOTA: es imprescindible tener activada en DERIVE la opción que permite definir variables on más de un carácter, es decir aplicar previamente la secuencia OPTIONS-INPUT Word, para que podamos utilizar nombres de variables con más de un carácter).
Con estas dos definiciones genéricas podemos observar que sucede con siendo un vector cualquiera de R³, y se observa que

si ahora calculamos se obtiene 
 

resultados idénticos.
            Efectuamos los mismo para calcular y se obtiene

Por otro lado nos da como resultado en DERIVE:

Situación que muestra que la aplicación f preserva las propiedades de LINEALIDAD.

       No todas las aplicaciones entre espacios vectoriales preservan la LINEALIDAD; por ejemplo si consideramos

podemos a comprobar que efectivamente no preserva esta propiedad.
Definimos esta nueva aplicación en DERIVE mediante

si consideramos los mismos vectores que antes (redefinimos en DERIVE)

e intentamos calcular obtenemos 
 

por el contrario al calcular resulta

Por otro lado si calculamos y con DERIVE; obtenemos:

Resultados que ponen de manifiesto que para esta aplicación no se verifica la linealidad.

        A partir de este ejemplo podemos definir un tipo muy especial de aplicaciones entre espacios vectoriales: LAS APLICACIONES LINEALES.


Definición: APLICACIÓN LINEAL
Sea f una aplicación definida entre dos espacios vectoriales
diremos que f es una aplicación lineal si
    1) para todo par de vectores se verifica que

        .

    2) para todo vector y todo escalar (en general R es el conjunto de escalares K ) se verifica que
 

Existe una caracterización más operativa del concepto de aplicación lineal:
Sea f una aplicación definida entre dos espacios vectoriales
diremos que f es una aplicación lineal si
Para todo para de vectores y para todo par de escalares se verifica que

 

Ejercicio II.3.
Estudiar en DERIVE si las siguientes aplicaciones son o no lineales:
    a) f₁(x)=3x+2.
    b) f₂(u₁,u₂)=2u₁-3u₂
    c) f₃(u₁,u₂)=(2u₁,u₁+u₂).
    d) f₄(u₁,u₂,u₃,u₄)=(1,u₁+u₂,u₃+u₄).
 
 

OBSERVACIONES.
A partir de este concepto de APLICACIÓN LINEAL; debemos resaltar algunos aspectos:
    1) La definición de aplicación lineal exige que los espacios vectoriales V y V' estén definidos sobre el mismo cuerpo K ( en general ese cuerpo suele ser R, el cuerpo de los números reales)
    2) A partir de la propia definición de aplicación lineal, es claro observar que combinaciones lineales del espacio vectorial V se transforman en combinaciones lineales del espacio vectorial V'.
 

    Para observar este hecho consideremos una aplicación lineal cualquiera , por ejemplo: f(x,y)=(2x-3y, y)

Esta aplicación definida en DERIVE quedaría de la siguiente forma

Consideremos un vector de R² formado por una combinación lineal de vectores. Para ello definimos en DERIVE los vectores
 

Si tomamos una combinación lineal de estos vectores, por ejemplo , es decir
 



Obsérvese que la imagen de esta combinación lineal por f,
 



mantiene los mismos escalares de la combinación anterior puesto que
 



Aplicaciones lineales BASICAS:
 A) APLICACIÓN LINEAL NULA:

Se define de la siguiente forma:
 

B) APLICACIÓN IDENTIDAD
Se define de la siguiente forma

        Vamos a DEMOSTRAR en DERIVE que estas aplicaciones son lineales.
Definimos en primer lugar la aplicación nula:

(llamamos a ov2 el vector nulo del segundo espacio vectorial).
        Veamos ahora qué sucede con la imagen de una combinación lineal cualquiera

ç

Por otro lado comprobamos que

Pero obsérvese que a ov2 + b ov2 = ov2 por tratarse de un vector nulo. 
  
 
        Veamos la segunda.
        Definimos la aplicación identidad por:

(hemos vaciado previamente el contenido de las variables u y v para evitar conflictos)
        Entonces como

y

con esto  queda demostrado que es una aplicación lineal.



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