Álgebra lineal

RELACION ENTRE MATRIZ Y APLICACIÓN LINEAL

   En este apartado vamos a considerar las relación existente entre las aplicaciones lineales y las matrices. Para ello estudiaremos el procedimiento para obtener una matriz a partir de una aplicación lineal y el proceso contrario, es decir, como obtener la aplicación lineal si tenemos la matriz que la representa.

Para poder manipular estos dos casos, consideremos dos apartados:


A) MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL.
Sea una aplicación lineal cualquiera, por ejemplo, editemos en DERIVE la aplicación lineal f

Sabemos que un vector queda determinado de forma unívoca cuando conocemos las coordenadas de dicho vector en una base determinada, por ello como la aplicación lineal que hemos planteado es, consideremos dos bases, una de R³ y otra de R², de tal forma que podamos determinar las coordenadas del vector origen respecto de la base de R³ indicada y el vector imagen mediante la base de R².
    Así pues sea B₁ una base de R³ dada por los siguientes vectores que definimos previamente en DERIVE como:

Y sea una base B₂ de R² dada por los vectores siguiente en DERIVE:

Tomemos ahora un vector cualquiera de R³ , sea por ejemplo el vector w de componentes:

Las coordenadas de este vector en la base {u1,u2,u3} se obtiene fácilmente en DERIVE, basta con plantear la ecuación vectorial 
 

que al SIMPLIFICAR nos da el sistema lineal

ahora resolviendo con SOLVE obtenemos

Por tanto 
Vamos a calcular la imagen de este vector, considerando, primero sus componentes y luego su expresión respecto de dichas bases.
Si consideramos las componentes del vector  es evidente que efectuando en DERIVE

se obtienen las componentes del vector imagen de . 
  
 
    Pero veamos qué sucede si consideramos ahora las bases B₁ y B₂ señaladas anteriormente.
Por un lado tenemos que las coordenadas de la imagen en la base B₂ se obtendrían realizando en DERIVE:

Por otro lado observemos que como

al ser f lineal se tiene que

    Por tanto si obtenemos las coordenadas de los vectores  respecto de la base B₂ obtendríamos otro método para calcular las coordenadas de . Este proceso se efectúa de forma automática en DERIVE realizando las siguientes operaciones:

Por tanto

Este producto se puede realizar de forma matricial considerando

Donde la matriz contiene las coordenadas de los vectores de la base B₁ respecto de la base B₂ y obsérvese que su resultado al SIMPLIFICAR nos da

que son justamente las coordenadas del vector imagen respecto de la base B₂.
 

        A la matriz que hemos obtenido se la denomina MATRIZ ASOCIADA A LA APLICACIÓN LINEAL RESPECTO DE LAS BASES B₁ Y B₂.
Esta matriz se obtiene calculando las coordenadas de los vectores de la bases B₁ respecto de la base B₂.
 

    Se puede comprobar para otros vectores que esta construcción es correcta, por ejemplo, consideremos ahora el vector

cuyas componentes se obtienen al simplificar y son

Las coordenadas respecto de B₂ de la imagen de w1 se obtienen efectuando las siguientes operaciones en DERIVE.
    Primero editamos la ecuación vectorial

    Simplificando se obtiene el sistema lineal

    y con SOLVE se resuelve y nos da

    Si efectuamos el producto de la matriz obtenida antes por las coordenadas del vector w1 en la base B₁ resulta

  
 
             * Si modificamos las bases, es evidente que la matriz varia.
Para comprobarlo consideremos la misma aplicación lineal, pero ahora tomemos como base del espacio inicial es decir la báse canónica de R³ y la base B₂ anterior.
Ahora debemos obtener las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base canónica en la base B₂ . Para ello editaremos en DERIVE la ecuación vectorial

simplificamos y resulta

y con SOLVE se obtienen las coordenadas del primer vector de la base canónica en B₂

Realizando las mismas operaciones con los otros dos vectores se tiene

por lo que la matriz asociada ahora respecto de estas nuevas bases sería

            * Veamos otra matriz asociada pero ahora considerando en como base inicial B₁ y como base del espacio final . En este caso la matriz asociada se obtendrá calculando directamente las coordenadas de los vectores de la base B₁ respecto de la base canónica, operación que se simplifica enormemente, pues las coordenadas de un vector en la base canónica coinciden con sus componente por lo que bastará efectuar en DERIVE lo siguiente 
 

En cuyo caso la matriz asociada será

* Un último caso sería considerar, la misma aplicación lineal y obtener la matriz asociada respecto a las bases canónicas. Este caso sumamente sencillo se realizará en DERIVE efectuando

por lo que la matriz asociada en este caso es
Ejercicio II-13.
Sea  definida por f(x,y,z)=(2x,x+y,y,0)
Sean las bases B₁={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)} de R⁴
y B₂={(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)} de R³.
Se pide obtener las matrices asociadas respecto :
    a) Las bases canónicas de R³ y R⁴
    b) La base B₂ de R³ y la base canónica de R⁴
    c) La base B₂ de R³ y la base B₁ de R⁴.
    d) La base canónica de R³ y la base B₁ de R⁴

Observación1) Cuando hablamos de la MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL, normalmente nos referimos a la matriz asociada respecto de las bases canónicas. Se puede observar lo fácil que resulta obtener la matriz asociada a una aplicación lineal respecto de las bases canónicas.Ejercicio II-14.
Calcular la MATRIZ ASOCIADA de las siguientes aplicaciones lineales:
        a) f(x,y)=(2x-3y,y+x,2x)
        b) f(x,y)=(x,y,x+y)
        c) f(x,y,z,t)= (3x-2y,3x+2z,t-y)

        2) Para obtener la expresión de una aplicación lineal f no es necesario conocer los transformados de todos los vectores del espacio de partida, basta con conocer las imágenes de los vectores de una base cualquiera del espacio inicial. Este hecho es el que fundamenta la construcción de la matriz asociada.
 

            3) Las matrices asociadas a la APLICACIÓN IDENTIDAD y APLICACIÓN NULA (respecto de las bases canónicas) son la MATRIZ IDENTIDAD, y la MATRIZ NULA.

Ejercicio II-15.
Calcular la matriz asociada a la aplicación identidad del espacio R⁴
¿cómo será la del espacio R⁵? ¿ y la del espacio R³?
 

Ejercicio II-16.
Dada la aplicación lineal nula  , obtener su matriz asociada.
 
 
B )APLICACIÓN LINEAL ASOCIADA A UNA MATRIZ.En el apartado anterior hemos visto que dada una aplicación lineal  y dadas las bases B₁ de Rⁿ y B₂ de R^m , la matriz asociada a f respecto a dichas bases es una matriz  tal que sus columnas están formadas por las COORDENADAS de las imágenes de los vectores de la base B₁ en la base B₂.
Ahora tomamos una matriz cualquiera

matriz asociada a cierta aplicación  respecto de las bases
 de Rⁿ y
 de R^m
            ¿Cómo es f?
 

        Consideremos un caso concreto. Sea la matriz dada en DERIVE por

                y sea una base 
siendo tales vectores los siguientes:
 

y la base  cuyos vectores definidos en DERIVE son

            Si esta matriz es la matriz asociada a una cierta aplicación lineal f respecto estas bases B₁ y B₂ , recordemos que si tenemos un vector cualquiera de R³ de componentes

este vector tendrá ciertas coordenadas respecto de la base B₁, (x1,x2,x3), para obtenerlas basta con editar la ecuación vectorial 
 

simplificar

y este sistema de ecuaciones resolverlo con SOLVE respecto de x1, x2 y x3 y se obtiene

Entonces obsérvese que como

y en la matriz asociada tenemos que las columnas son justamente las coordenadas de los vectores de B₁ en la base B₂
Teniendo en cuenta estas consideraciones tendremos que

por tanto si efectuamos con DERIVE las operaciones anteriores debemos editar

y al simplificar resulta 
 

por tanto la aplicación lineal es 
 

f(x,y,z)=(2x-2y+z, 2y+2z)

Ejercicio II-17
        Obtener la aplicación lineal que tiene por matriz asociada respecto de la base B₁ de R³ considerada antes y la base canónica de R² la matriz

Ejercicio II-18
        Obtener la aplicación lineal que tiene por matriz asociada respecto de la base canónica de R³ y la base canónica de R² la matriz

 
        Se puede observar que, a pesar de estar trabajando con la misma matriz, la aplicación lineal resulta distinta, pues las bases de referencia son totalmente distintas.
 

Con estos dos apartados podemos llegar a la siguiente conclusión:
Si A es la matriz de orden mxn asociada a una aplicación lineal f de B₁ y B₂ resulta que

siendo  las coordenadas de un vector inicial  en B₁ e  las coordenadas de  en B₂ 
  
 
        Esto nos muestra la estrecha relación que hay entre matrices y aplicaciones lineales a partiendo de una base en los espacios de partida y de llegada. La relación es unívoca, pues dadas dos bases de los espacios inicial y final de una aplicación lineal, toda aplicación lineal lleva asociada una sola matriz y viceversa toda matriz representa una sola aplicación lineal.

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