Álgebra lineal

propiedades de aplicaciones lineales

PROPIEDAD  2: APLICACIONES LINEALES Y VECTORES L.I.

¿Se podría decir lo mismo de los conjuntos LINEALMENTE INDEPENDIENTES?        Para estudiar esta propiedad consideremos la aplicación lineal 
 

y sea el conjunto L.I. cuyos vectores son

Sin embargo sus imágenes

son claramente linealmente dependientes.
    Luego podemos afirmar que conjuntos de vectores L.I. en general no se transforman en conjuntos L.I. al aplicar sobre ellos una aplicación lineal.


SUBESPACIOS ASOCIADOS A UNA APLICACIÓN LINEAL
Las aplicaciones lineales que acabamos de estudiar, permiten construir dos subespacios característicos asociados: el NÚCLEO de la aplicación lineal y el SUBESPACIO IMAGEN de la aplicación lineal. Vamos a comenzar con el núcleo de la aplicación lineal.


            a) NÚCLEO DE UNA APLICACIÓN LINEAL

 
Para introducir este concepto, consideremos una aplicación lineal definida en DERIVE de la siguiente forma
 

Se trata de una aplicación lineal . El núcleo de esta aplicación no es más que el conjunto de vectores de R³ cuya imagen es el vector nulo de R³espacio final). Por tanto consideramos en DERIVE la siguiente ecuación



Si simplificamos la expresión anterior obtenemos el sistema de ecuaciones



que al resolver con el comando SOLVE nos da como resultado



Es decir, que los vectores del espacio que buscamos son tales que sus componentes (x,y,z) verifican que



es decir,



o bien expresando el subespacio con ecuaciones cartesianas



Un sistema de generadores de este subespacio vendría dado por el vector {(1,-1,0)}
 

Se puede comprobar que efectivamente este tipo de vectores cumple la condición señalada, es decir, que su imagen es el vector nulo.
Por ejemplo si calculamos la imagen del vector (2,-2,0) con DERIVE obtenemos



si lo hacemos con el vector (3,-3,0) resulta



es decir que en general cualquier vector de la forma (a,-a,0) satisface la condición



A partir de este ejemplo podemos generalizar la definición de la siguiente forma
 

DEFINICIÓN DE NÚCLEO DE UNA APLICACIÓN LINEAL
Sea una aplicación lineal. Se define



 
     Este subespacio del conjunto inicial V,  verifica que es un SUBESPACIO VECTORIAL DE V.
DEMOSTRACION:

Veamos que Ker(f) es un s.v. de V. Por la propia definición de Ker(f) es claro que es un subconjunto de V.
Comprobemos ahora que Ker(f) es un subespacio vectorial.
Dados dos vectores cualesquiera u,v pertenecientes al Ker(f) y dos escalares cualesquiera a,b números reales, veamos qué sucede con la combinación lineal au+bv.
Para demostrar si esta combinación lineal está en el Ker(f) calculemos la imagen de la misma:
.f(au+bv)=af(u)+bf(v)= (como u y v están en Ker(f) f(u)=0, y f(v)=0) entonces
=a0+b0=0.
Luego efectivamente Ker(f) es un subespacio vectorial. #

Obsérvese en el ejemplo anterior que esta afirmación es cierta. Pero vamos a verlo en otro ejemplo

Sea la aplicación lineal definida en DERIVE por



El núcleo de esta aplicación lineal se obtendría en DERIVE editando primero la ecuación general



que al simplificar nos da



que es el conjunto de ecuaciones cartesianas del subespacio. Pero si deseamos obtener un sistema de generadores del subespacio, basta con resolver el sistema por ejemplo respecto de las variables x1, x2, x3, x4 y resulta



con lo cual, si consideramos que x5 es la variable paramétrica, un sistema de generadores (además base) de este subespacio vectorial sería (dando valor a x5=3)
                {(1,2,-24/5,-6/5,3)}
 

Se puede comprobar así que la imagen de los vectores proporcionales a este siempre dan el vector nulo como puede verse al efectuar esa operación en DERIVE con



Nuevamente estamos ante un subespacio vectorial.
 

Ejercicio II.9.
Demostrar de forma genérica, que el núcleo de cualquier aplicación lineal es un subespacio vectorial.
 
 


b) IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL

        Consideremos la aplicación lineal f definida en el apartado anterior con la expresión

Intentemos obtener cómo son los vectores del espacio imagen, es decir, los vectores que se pueden obtener a partir de cualquier vector de R³ (en este ejemplo concreto, por ser una función Para ello consideremos un vector cualquiera (x,y,z) y veamos cómo es el vector imagen. Efectuando con DERIVE

obtenemos que los vectores imagen son tales que tienen la tercera componente nula. Por tanto podemos decir que

Así pues, un sistema de generadores de este subespacio (que como puede verse es un subespacio vectorial) vendría dado por los vectores

                    {(1,0,0)(,(0,1,0)}

Podemos comprobar este hecho considerando con DERIVE la imagen de varios vectores cualesquiera de R³

Como puede observarse , todos ellos tienen como característica que la tercera componente es nula.

En este momento estamos en condiciones de definir el concepto de IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL:
Sea una aplicación lineal. Se define la imagen de f, y se denota por Im(f) al subespacio

 
Vamos a realizar otro ejemplo con la aplicación lineal g definida antes en DERIVE como

estudiemos la imagen de cualquier vector de R⁵ mediante

al simplificar esta ecuación resulta que

es decir,
                y1=4x1-2x2
                y2=x3-4x4
                y3=x1+x2+x3+x4
                y4=6x1-2x5

vamos a intentar eliminar las variables x1,x2,x3,x4,x5 mediante sustitución directa, hecho que con DERIVE resulta muy sencillo, tan solo basta con utilizar el comando MANAGE-SUBSTITUTE .
Recuperamos la primera ecuación con F3

y resolvemos por ejemplo respecto de x1 para eliminar esta variable en el resto de ecuaciones y se obtiene con SOLVE

Sustituyamos ahora en el sistema de ecuaciones con MANAGE-SUBSTITUTE x1 por el valor obtenido (ayudándonos de F6 y F3) Y RESULTA 
 

que al simplificar nos da 
 

ahora hacemos lo mismo con la segunda ecuación , la recuperamos 
 

y despejando respeto x3 resulta 
 

si sustituimos x3 por este valor en el sistema de eccuaciones se obtiene 
 

que al simplificar nos da 
 

Hacemos lo mismo con la tercera ecuación, la recuperamos

despejamos x2, en función del resto y queda 
 

si ahora sustituimos nuevamente este valor en el sistema de ecuaciones anterior tendremos que 
 

luego 
 

Por tanto la ecuación que nos queda es 
 

de la que como vemos no hemos podido eliminar el parámetro, lo cual quiere decir que la imágen de esta aplicación lineal es todo el espacio final. 
  
 
Ejercicio II.10.
Demostrar que para cualquier aplicación lineal se verifica que Im(f) es un subespacio vectorial del espacio de llegada V'.
 

Ejercicio II.11.
Dada la aplicación lineal dada por f(x,y,z,t)=(4x,0). Calcular con la ayuda de DERIVE la imagen y el núcleo de dicha aplicación lineal.
 


            FORMULA DE LAS DIMENSIONES
            Para finalizar esta sección vamos a observar un hecho muy importante relacionado con estos dos subespacios.
En los ejemplos que hemos desarrollado teníamos lo siguiente:
 

Con la aplicación lineal f:

obtuvimos que

y respecto al núcleo teníamos que

obsérvese que
                               dim(Im(f))+dim(Ker(f))=2+1=3=dim(R³)
 

Por otro lado con la aplicación lineal g teníamos:

donde
                Im(g)=R⁴
y
                Ker(g)=L{(1,2,-24/5,-6/5,3)}
obsérvese nuevamente que
                            dim(Im(g))+dim(Ker(g))=4+1=dim(R⁵).



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