Álgebra lineal

TIPOS DE MATRICES

1. MATRICES TRIANGULARES

Definición: Matriz triangular superior
La matriz A=(a_ij) una matriz cuadrada de orden n. Diremos que A es TRIANGULAR SUPERIOR si todos los elementos de A situados bajo la diagonal principal son nulos, es decir: a_ij=0 para todo i>j; i,j=1,....,n
Por ejemplo las matrices

y 
 

son matrices triangulares superiores.

Definición: Matriz tiangular inferior
La matriz A=(a_ij) una matriz cuadrada de orden n. Diremos que A es TRIANGULAR INFERIOR si todos los elementos de A situados por encima de la diagonal principal son nulos, es decir: a_ij=0 para todo i
Por ejemplo, las matrices

y 
 

son triangulares inferiores.
Definición: Matriz diagonal
La matriz A=(a_ij) una matriz cuadrada de orden n. Diremos que A es una MATRIZ DIAGONAL si es triangular superior y triangular inferioes, es a_ij=0 para todo i distinto de j; i,j=1,....,n
Por ejemplo, las matrices

y 
 

son matrices diagonales. 
  
 
PROPIEDADES DE LAS MATRICES TRIANGULARES.
Consideremos las matrices triangulares superiores A,B de orden cuatro, definidas en los ejemplos anteriores, podemos comprobar que

1) A+B es triangular superior

 
Obsérvese que A+B se obtiene
 
que vuelve a ser triangular superior.2) a A es triangular superior (para todo aΠR)
Si efectuamos


obtenemos una matriz triangular superior3) A.B es triangular superior.
Si calculamos con DERIVE este producto


que nuevamente es triangular superior.4) Si A tiene inversa, A^-1 es triangular superior.

Tomamos la matriz A, que es triangular superior, vamos a calcular su inversa.Consideremos una matriz general de orden 4

la candidata a inversa de A deberá verificar la ecuación matricial
 que al simplificar nos da el total de ecuaciones que tiene que verificar
 con SOLVE obtenemos los elementos de la inversa:
 por tanto la inversa de A , si la llamamos IA será
 que es triangular superior.Ejercicio II-37a
A partir de las matrices C y D definidas como matrices triangulares inferiores de orden 4 comprobar que se verifican las mismas propiedades que para las matrices triangulares superiores.
Ejercicio II-37b
Comprobar que tomando las matrices E y F diagonales, se verifican las mismas propiedades que para matrices triangulares superiores e inferiores.

 

B) MATRICES TRASPUESTAS

Definición: Matriz traspuesta
Sea una matriz cualquiera A=(a_ij) de orden mxn. Diremos que la matriz B=(b_ij) de orden nxm es la traspuesta de A si las filas de A son las columnas de B. Esta operación se suele denotar por  A^t = A' = B
En DERIVE esta operación está implementada en el núcleo del sistema. Para calcular la matriz traspuesta de una matriz A definida basta editar en DERIVE "A`". Por ejemplo, si

para obtener su traspuesta basta con editar en DERIVE la expresión

(obsérvese que es el acénto grave), expresión que al simplificar nos da la traspuesta de A:

Como puede comprobarse es una operación muy sencilla.
Ejercicio II-38a.
Definir dos matrices A y B de orden mxn y una matriz C de orden nxp (concretas), por ejemplo:

comprobar que se verifican las siguientes propiedades:

1) (A+B)^t=A^t+B^t
2) (a A)^t=a A^t
3) (A.C)^t=C^t.A^t
4) rg(A)=rg(A^t)
5) Si A tiene inversa, entonces (A^t)^-1=(A^-1)^t
6)  Si A^t.A=0 entonces A=O siendo O la matriz nula de orden mxn

(Nota para la propiedad 6, intentad buscar una matriz que verifique la ecuación, y concluir con el resultado).
  
 

c) MATRICES SIMÉTRICAS

Definición: Matríz simétrica
Diremos que una matriz A de orden mxn es una matriz simétrica si coincide con su traspuesta, es decir A=A`
Es evidente que las matrices simétricas tienen que ser matrices cuadradas.

Ejercicio II-38b.
Construir dos matrices simétricas A y B de orden 4 y comprobar que se verifican las siguientes propiedades:

1) A+B es simétrica
2) a A es simétrica para cualquier 
3) Si la matriz A tiene inversa entonces A^-1 es simétrica.
4) En general A.B y B.A no han de ser simétricas.

 
Demostrar formalmente estas propiedades resulta muy sencillo porque:Sean A,B matrices de orden n simétricas (A=A`; B=B`)

1) Que (A+B) es simétrica es muy fácil puesto que

 
(A+B)' = A`+B` (porque la suma de traspuestas es la traspuesta) y ahoraA`+B`=A+B, ya que A y B son simétricas.
2)

3) Si A tiene inversa A^-1, entonces (A`)<sup>-1</sup>=(A<sup>-1</sup>)` por las propiedades de la traspuesta pero como A'=A entonces (A^-1)=(A^-1)'
 

D) MATRICES ANTISIMÉTRICAS

Definición: Matriz antisimétrica.
Sea A una matriz de orden n, diremos que A=(a_ij) es ANTISIMÉTRICA si
a_ij = -a_ji , para todo i,j=1,...,n; es decir A=-A`

Ejercicio II-39.
Comprobar que las matrices

son antisimétricas. 
 
Ejercicio II-40.
A partir de las dos matrices anteriores comprobar que se verifican las siguentes propiedades para las matrices antisimétricas:

1) A+B es antisimétrica.
2)  es antisimétrica 
3) Si A.B=B.A entonces A.B es simétrica. En cambio esto no es cierto si A y B no conmutan en el producto.(para este caso considerar dos matrices para las cuales se verifique A.B=BA como pueden ser las matrices:
 

 4) Si A es invertible entonces su inversa A^-1 es antisimétrica.
 

E) MATRICES ORTOGONALES
Definición: Matriz ortogonal
Decimos que A matriz cuadrada de orden n, es ORTOGONAL si se verifica que
(A.A`)(A`.A)=I_n
o lo que es lo mismo, que las columnas de la matriz A son vectores ortogonales dos a dos y de módulo 1.
 

Ejercicio II-41
Comprobar si las siguientes matrices son o no ortogonales:

 
Ejercicio II-42
Dadas dos matrices ortogonales del ejercicio anterior (llamemóslas A y B) y luego demostrar que se verifican las siguientes propiedades:

1) A.B y B.A son matrices ortogonales.
2) En general A+B y a A NO SON ortogonales.
3) Si A es ortogonal y es invertible entoces A^-1=A^t
 
 Demostrar las propiedades 1) y 2) de forma genérica es sumamente sencillo, basta considerar las propiedades de las matrices traspuestas y la definición de matriz ortogonal.

• Propiedad 1) Si A y B son ortogonales entonces A.B es ortogonal.

Tenemos que demostrar que (A.B).(A.B)`=Identidad. Para ello consideremos este producto(A.B)(A.B)'=A.B.B'.A' (por la propiedad del producto de traspuestas)
A.(B.B').A' = A.I.A' = A.A' = I (pues B.B' = I; A.A'=I por ser ortogonales)
 
 

• Propiedad 3). Si A es ortogonal, entonces A.A'=I. en consecuencia por la propia definición de inversa A'=A^-1.

  
 

F) MATRICES IDEMPOTENTES

Definición de matriz idempotente:
Decimos que una matriz cuadradad A de orden n es IDEMPOTENTE si y sólo si se verifica que A.A=A, es decir A²=A.

Ejercicio II-43.
Comprobar que las siguientes matrices cuadradas son IDEMPOTENTES:

Ejercicio II-44.
Comprobar utilizando las matrices B y C del apartado anterior que se verifican las siguientes propiedades:

1) B.C es idempotente (únicamente si B.C=C.B)2) I₃-B es idempotente, aunque B-I₃ no lo es en general.
 

Para la primera propiedad, buscar dos matrices idempotentes D y E tales que D.E=E.D (de orden 3) y comprobar que efectivamente D.E es idempotente.