Álgebra lineal

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

En el ejemplo que hemos visto en la sección anterior hemos podido comprobar que un subconjunto de un sistema de generadores de cierto subespacio vectorial W, no siempre genera W. Ante esta cuestión nos planteábamos
¿cuál será el número mínimo de vectores que ha de contener un sistema de generadores para generar un mismo subespacio?
y también nos planteábamos
¿cuál será la relación existente entre los vectores de un sistema para en unos casos un subconjunto de vectores genere el mismo subespacio y en otros casos genere subespacios distintos?.
La respuesta a estas cuestiones se puede obtemer con  el concepto de dependencia e independencia lineal de vectores.
Planteamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
Consideremos los siguientes vectores

¿Se puede expresar  el vector  como combinación lineal de los tres primeros vectores? . Para resolver esta cuestión en DERIVE, primero definimos estos vectores

y a continuación planteamos la ecuación vectorial

que una vez simplificada nos proporciona el sistema de ecuaciones

Si obtenemos una solución para a,b,c, habremos obtenido una combinación lineal de los tres primeros vectores, gracias a la cual obtendremos el cuarto vector. Si resolvemos el sistema anterior con el comando SOLVE, resulta

lo cual nos indica que

es decir que el vector se puede expresar como combinación lineal de los tres primeros vectores. La DEPENDENCIA que tiene este vector respecto del resto se traduce en la existencia de una DEPENDENCIA LINEAL en el conjunto de los cuatro vectores. Por eso definiremos 
  
 
Definición: DEPENDENCIA LINEAL
Sean . Diremos que son LINEALMENTE DEPENDIENTES si al menos uno de ellos se puede escribir como combinación lineal del resto.
 

Pero puede plantearse una situación contraria, por ejemplo
Si tenemos los vectores (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0), podríamos intentar ver si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los dos restantes. Para efectuar esta comprobación en DERIVE, primero definiríamos nuestros tres vectores

• Intentemos ver si u1 se puede expresar como combinación lineal de u2 y u3. Para ello, primero editamos la ecuación vectorial
• 

cuyo sistema de ecuaciones viene dado por
que si intentamos resolver nos da como mensaje


luego esta primera combinación lineal no es posible.
 
 

• Intentemos ver si u2 se puede expresar como combinación lineal de u1 y u3, efectuando

al simplificar nos da


sistema claramente sin solución.
 
 
 

• Por último para ver si u3 se puede expresar como combinación lineal de u1 y u2 editamos la ecuación

es decir, el sistema de ecuaciones


que nuevamente es incompatible.
En esta situación, podemos decir que los tres vectores son INDEPENDIENTES de combinaciones lineales, es decir son LINEALMENTE INDEPENDIENTES.
 

Por tanto podemos definir

Definición: INDEPENDENCIA LINEAL
Sean . Diremos que son LINEALMENTE INDEPENDIENTES si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los restantes.

    Estas definiciones son muy intuitivas, pero poco OPERATIVAS, ya que nos obligan a ir resolviendo varios sistemas de ecuaciones. Sería deseable obtener una características más operativas. Esta característica, que no es más que una CARACTERIZACIÓN  de los conceptos de dependencia e independencia lineal podemos intentarla deducir del siguiente ejemplo.

Ejemplo.
Consideremos los conjuntos de vectores de ejemplos anteriores de los cuales ya sabemos que son linealmente dependiente y linealmente independientes respectivamente:
            G₁={(3,-1,0,4),(1,0,0,0),(0,1,0,-1),(5,0,0,3)} es l.d.
            G₂={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} es l.i.
Intentemos observar ¿qué peculiaridad tienen estos conjuntos para ser l.i. o l.d.?
Comenzamos con el primer conjunto que sabemos es linealmente dependiente.
Tal como vimos se verificaba que el cuarto vector se podía expresar como combinación lineal de los otros tres:

esta igualdad se puede expresar de otra forma

Por otro lado con el conjunto l.d. obteníamos que la ecuación

no admitía ninguna solución para los escalares. Sin embargo sí se verifica que

¿Cuál podría ser por tanto una característica de estos dos tipos de conjuntos?

    Parece que los conjuntos Linealmente Dependientes, permiten obtener escalares no todos nulos en la ecuación que iguala una combinación lineal de los vectores objeto de estudio con el vector nulo.
    Por el contrario cuando el conjunto es Linealmente Independiente, la única solución a esta ecuación es que todos los escalares sean nulo.

Por tanto podemos concluir:

Proposición: CARACTERIZACIÓN DE CONJUNTOS L.I.-L.D.
El conjunto de vectores 
          a) es LINEALMENTE DEPENDIENTE si y sólo si existen escalares NO TODOS NULOS tales que

b) es LINEALMENTE INDEPENDIENTE si y sólo si la ecuación se cumple solo si 

 Veamos algunos ejemplos que aplican esta caracterización en DERIVE. 
  
 
Ejemplo.
Determinar si son L.I. o L.D los siguientes conjuntos de vectores
    a) {(-1,2,0), (1,0,1), (0,1,1)}
    b) {(1,2,3,-5),(1,4,1,-2),(2,0,-3,1),(0,6,7,-8)}

Comencemos intentando resolver el primero:a) Para ello editamos en DERIVE la ecuación

 
simplificamos y obtenemos el sistema de ecuaciones

que al intentar resolver nos da como única solución

por tanto el conjunto es L.I.

b)Editamos la ecuación

            simplificamos

            y al resolver nos da

            por tanto existen infinitas soluciones no nulas, por ejemplo a=1, b=1, c=-1, d=-1, luego son L.D.

www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo-1/teoria-1-5/1-5-depedencia-independencia.html

Dependencia e independencia lineal de vectores

Publicado el mayo 27, 2014 por Fernando Revilla

Proponemos ejercicios sobre dependencia e independencia lineal de vectores.

TEORÍA

DEFINICIÓN.  Sea E$E$ un espacio vectorial sobre el cuerpo K$\mathbb{K}$ y sea

S={v1,v2,…,vm}⊂E.$$S=\{v_1,v_2,\dots ,v_m\}\subset E.$$

Se dice que los vectores v1,v2,…,vm$v_1,v_2,\dots ,v_m$ son linealmente independientes o bien que S$S$ es un sistema libre si y sólo si se verifica

λ1v1+λ2v2+…+λmvm=0(con λ1,λ2,…,λm∈K)$${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\dots +{\lambda }_m{v}_m=0(\text{con }{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m\in K)$$

⇒λ1=λ2=…=λm=0.$$\begin{gathered} \Rightarrow \\ {\lambda }_1={\lambda }_2=\dots ={\lambda }_m=0. \end{gathered}$$

Es decir, son linealmente independientes cuando la única manera de verificarse la igualdad λ1v1+λ2v2+…+λmvm=0${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\dots +{\lambda }_m{v}_m=0$ es para λ1=λ2=…=λm=0.${\lambda }_1={\lambda }_2=\dots ={\lambda }_m=0.$

Se dice que los vectores v1,v2,…,vm$v_1,v_2,\dots ,v_m$ son linealmente dependientes o bien que S$S$ es un sistema ligado si y sólo si no son linealmente independientes. Es decir, cuando para algunos λ1,λ2,…,λm∈K${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m\in \mathbb{K}$ no todos nulos se verifica

λ1v1+λ2v2+…+λmvm=0.$${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\dots +{\lambda }_m{v}_m=0.$$

TEOREMA. Se verifica:
(a)$(a)$ El vector cero no puede pertenecer a un sistema libre.
(b)$(b)$ Todo subsistema de un sistema libre es libre.
(c)$(c)$ Todo supersistema de un sistema ligado es ligado.
(d)$(d)$ Un sistema es ligado si y sólo si existe un vector del sistema que es combinación lineal de los demás.

DEFINICIÓN. De manera general, si E$E$ un espacio vectorial sobre el cuerpo K$\mathbb{K}$ y S$S$una familia cualquiera de vectores de E$E$ (finita o no), se dice que S$S$ es libre (o linealmente independiente) si toda subfamilia finita lo es.

Análogamente, se dice que S$S$ es ligada (o linealmente dependiente) si existe al menos una subfamilia finita ligada.

1 En el espacio vectorial usual R2${\mathbb{R}}^2$ analizar si v1=(2,−1),v2=(3,2)$v_1=(2,-1),v_2=(3,2)$ son linealmente independientes.

SOLUCIÓN

La igualdad λ1(2,−1)+λ2(3,2)=(0,0)${\lambda }_1(2,-1)+{\lambda }_2(3,2)=(0,0)$ equivale al sistema

{2λ1+3λ2=0−λ1+2λ2=0.$$\{\begin{array}{c}2{\lambda }_1+3{\lambda }_2=0\\ -{\lambda }_1+2{\lambda }_2=0.\end{array}$$

Sumando a la primera ecuación la segunda multiplicada por 2$2$ obtenemos 7λ2=0$7{\lambda }_2=0$ o bien, λ2=0.${\lambda }_2=0.$ Sustituyendo en la segunda deducimos λ1=0.${\lambda }_1=0.$ Es decir, v1,v2$v_1,v_2$ son linealmente independientes.

2 En el espacio vectorial usual R3${\mathbb{R}}^3$ analizar si  son linealmente independientes los vectores  v1=(1,2,−1),v2=(2,−1,−3),v3=(−3,4,5).$v_1=(1,2,-1),v_2=(2,-1,-3),v_3=(-3,4,5).$

SOLUCIÓN

La igualdad λ1v1+λ2v2+λ3v3=0${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+{\lambda }_3{v}_3=0$ equivale al sistema

H:⎧⎩⎨⎪⎪λ1+2λ2−3λ3=02λ1−λ2+4λ3=0−λ1−3λ2+5λ3=0.$$H:\{\begin{array}{c}{\lambda }_1+2{\lambda }_2-3{\lambda }_3=0\\ 2{\lambda }_1-{\lambda }_2+4{\lambda }_3=0\\ -{\lambda }_1-3{\lambda }_2+5{\lambda }_3=0.\end{array}$$

Escalonamos el sistema

H∼⎧⎩⎨⎪⎪λ1+2λ2−3λ3=0−5λ2+10λ3=0−λ2+2λ3=0∼{λ1+2λ2−3λ3=0−λ2+2λ3=0.$$H\sim \{\begin{array}{c}{\lambda }_1+2{\lambda }_2-3{\lambda }_3=0\\ -5{\lambda }_2+10{\lambda }_3=0\\ -{\lambda }_2+2{\lambda }_3=0\end{array}\sim \{\begin{array}{c}{\lambda }_1+2{\lambda }_2-3{\lambda }_3=0\\ -{\lambda }_2+2{\lambda }_3=0.\end{array}$$

El sistema lineal homogéneo H$H$ es indeterminado, es decir tiene soluciones distintas de la trivial λ1=λ2=λ3=0.${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0.$ Concluimos que los vectores v1,v2,v3$v_1,v_2,v_3$ no son son linealmente independientes.

3 Sean u,v,w$u,v,w$ vectores linealmente independientes en un espacio vectorial real E.$E.$Demostrar que u+v,u−v,u−2v+w$u+v,u-v,u-2v+w$ también son linealmente independientes.

SOLUCIÓN

La igualdad λ1(u+v)+λ2(u−v)+λ3(u−2v+w)=0${\lambda }_1(u+v)+{\lambda }_2(u-v)+{\lambda }_3(u-2v+w)=0$ equivale a la igualdad (λ1+λ2+λ3)u+(λ1−λ2−2λ3)v+λ3w=0.$({\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3)u+({\lambda }_1-{\lambda }_2-2{\lambda }_3)v+{\lambda }_{3}w=0.$ Por hipótesis  u,v,w$u,v,w$ son linealmente independientes lo cual implica

⎧⎩⎨⎪⎪λ1+λ2+λ3=0λ1−λ2−2λ3=0λ3=0.$$\{\begin{array}{c}{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=0\\ {\lambda }_1-{\lambda }_2-2{\lambda }_3=0\\ {\lambda }_3=0.\end{array}$$

Resolviendo obtenemos λ1=λ2=λ3=0${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0$, de lo cual deducimos que los vectores u+v,u−v,u−2v+w$u+v,u-v,u-2v+w$ son linealmente independientes.

4 Sea p(x)∈R[x]$p(x)\in \mathbb{R}[x]$ un polinomio de grado 2.$2.$ Demostrar que  el sistema de vectores S={p(x),p′(x),p′′(x)}$S=\{p(x),p^{\prime }(x),p^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\}$ es libre.

SOLUCIÓN

Como p(x)$p(x)$ es de grado 2,$2,$ es de la forma p(x)=ax2+bx+c,$p(x)=a{x}^2+bx+c,$ con a,$a,$ b,$b,$ c$c$ reales y a≠0.$a\ne 0.$ Tenemos,

λ1p(x)+λ2p′(x)+λ3p′′(x)=0⇒λ1(ax2+bx+c)+λ2(2ax+b)+λ3(2a)=0⇒aλ1x2+(bλ1+2aλ2)x+cλ1+bλ2+2aλ3=0,$$\begin{array}{rl}& {\lambda }_{1}p(x)+{\lambda }_2{p}^{\prime }(x)+{\lambda }_3{p}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\\ & \Rightarrow {\lambda }_1(a{x}^2+bx+c)+{\lambda }_2(2ax+b)+{\lambda }_3(2a)=0\\ & \Rightarrow a{\lambda }_1{x}^2+(b{\lambda }_1+2a{\lambda }_2)x+c{\lambda }_1+b{\lambda }_2+2a{\lambda }_3=0,\end{array}$$

lo cual proporciona el sistema:

⎧⎩⎨⎪⎪aλ1bx1cλ1++2aλ2bλ2+2aλ3===000.$$\{\begin{array}{rcrcrcr}a{\lambda }_1& & & & & =& 0\\ b{x}_1& +& 2a{\lambda }_2& & & =& 0\\ c{\lambda }_1& +& b{\lambda }_2& +& 2a{\lambda }_3& =& 0.\end{array}$$

Dado que a≠0,$a\ne 0,$ deducimos  fácilmente λ1=λ2=λ3=0.${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0.$

5 En el espacio vectorial real E=F(R,R)$E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ de las funciones de R$\mathbb{R}$ en R$\mathbb{R}$ demostrar que los siguientes vectores son linealmente independientes los vectores f(x)=e2x,g(x)=x2,h(x)=x.$f(x)=e^{2x},g(x)=x^2,h(x)=x.$

SOLUCIÓN

Supongamos que λ1e2x+λ2x2+λ3x=0.${\lambda }_1{e}^{2x}+{\lambda }_2{x}^2+{\lambda }_{3}x=0.$ Esta igualdad es una igualdad de funciones, por tanto se ha de verificar para todo x∈R.$x\in \mathbb{R}.$ Dando a x$x$ los valores 0,1,2$0,1,2$obtenemos el sistema

⎧⎩⎨⎪⎪λ1=0e2λ1+λ2+λ3=0e4λ1+4λ2+2λ3=0.$$\{\begin{array}{c}{\lambda }_1=0\\ e^2{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=0\\ e^4{\lambda }_1+4{\lambda }_2+2{\lambda }_3=0.\end{array}$$

Resolviendo, obtenemos λ1,λ2,λ3=0${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3=0$, es decir las funciones dadas son linealmente independientes.