Álgebra lineal

Combinación lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares. Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección. Esta combinación lineal es única. Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma: α1v1+α2v2+…+αnvn donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denomina combinación lineal de v1,v2,…,vn.  Todo vector V = (a, b, c) en R3 se puede expresar como i = (1,0,0); j = (0,1,0); k =(0,0,1) V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k) Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k. Operaciones fundamentales con números complejos “Los números complejos pueden ser sumados, restados multiplicados o divididos (salvo la división por 0 + 0i), las reglas formales y definiciones son iguales a las que usamos con los números reales. 1)     a + bi = c + di si y solo si a= c  y  b = d 2)     (a + bi) + (c + di) = (a +c) +  (b +d) i 3)     (a + bi) - (c + di) = (a-c) +  (b - d) i 4)     (a + bi)(c+di) = ac + (bc+ad)i +bdi²  = (ac – bd) + (bc + ad)i 5)     ”[1]. Conjugado: El conjugado de un número complejo z = x + iy, está dado por= x – iy. Ejemplo: Si z = 3 – 2i, el conjugado de z es  = 3 – (-2i) = 3 + 2i Suma y resta : La suma y resta con números complejos se realiza de la misma manera que con números reales. Ejemplos: (7 - 2i) + (3 - 3i) = 10  - 5i (3 - i) + (2 + 3i) = 5 + 2i 2i + (-4 – 2i) = -4 (-4 + 2i) – (6 - 8i) = -10 – 10i (5 + 2i) + (−8 + 3i) = −3 + 5i Multiplicación con números  complejos: En la multiplicación se siguen las mismas reglas algebraicas que con números reales solo que con números complejos, llegamos a un resultado donde encontramos i2, donde i2 = -1. Ejemplos: División de números complejos: En la división se hace uso del conjugado del denominador. Ejemplo:   lo primero que hacemos es calcular el conjugado del denominador, y luego multiplicarlo por la división. Potencias de i, módulo de un número complejo. Potencias de i: "El símbolo i = -1 tiene la propiedad de que i2 = -1, de lo cual se puede deducir lo siguiente: i3 = i2i = (-1)i = -i i4 = i2i2 = (-1)(-1) = 1 i5 = i4i = (1)i = i i6 = i5i = (i)(i) = -1 Y así continua hasta que se llegue a la potencia deseada”[2]. Módulo de un número complejo: “Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir si z = x + yi, el módulo de z es ”[3].Ejemplo: Z = 3 – 4i Teorema de Moivre, Potencias y raíces de números complejos             “Fórmula de De Moivre se aplica para cualquier número complejo z = r(cosθ + isenθ) y para cualquier n∈ Z: z = rn(cosnθ + isennθ). ”[3].             “La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial        " n-ésima " . 1ª, 2ª, 3ª, 10ª (décima), 20ª (vigésima),... n-ésima ... En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc., si queremos hablar en general decimos la "n-ésima". Así como la raíz cuadrada es lo que se multiplica dos veces para tener el valor original... ... y la raiz cubica es lo que se multiplica tres veces para tener el valor original... ... la raíz n-ésima es lo que se multiplica n veces para tener el valor original.   Uso Se podría usar la raíz n-ésima en una pregunta así: Pregunta:   , ¿cuánto es "n"? Respuesta: 5 × 5 × 5 × 5 = 625, así que n=4 (es decir 5 se usa 4 en la multiplicación). O podríamos usar "n" porque queremos hablar de algo en general: Ejemplo: Si n es impar entonces                                                                                                            Propiedades Multiplicación y división Puedes "separar" así multiplicaciones dentro de la raíz: (Suponemos que a y b son ≥ 0) Esto te ayudará a simplificar ecuaciones en álgebra, y también algunos cálculos: Ejemplo:  También funciona con la división: (b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero) Ejemplo:  Suma y restas No se puede hacer lo mismo con sumas y restas “[1]. Ejercicio: Encontrar las raíces cuartas de. Z=1               n=4 Primero sacamos el modulo Para calcular las raíces hacemos uso de la fórmula del teorema de moivre. En esta fórmula solo vamos a sustituir valores. Para K=0, K=1, K=2, K=3. K=0 Entonces nuestras raíces serian: 1, i, -1, -i