AMIGOS PARA SIEMPRE: Álgebra lineal

CONCEPTO DE COMBINACIÓN LINEAL
Consideremos dos vectores del plano (1,1) y (1,0) si efectuamos la operación
3 (1,3) - 2(1,0) obtenemos el vector (1,3). Obsérvese gráficamente lo que hemos realizado:

hemos construido el tercer vector efectuando una COMBINACIÓN LINEAL de los dos primeros vectores. Por tanto según esta idea podemos efectuar la siguiente definición

Definición: COMBINACIÓN LINEAL
Sea V un espacio vectorial y consideremos vectores de V. Diremos que el vector es COMBINACION LINEAL de los vectores si existen escalares tales que

Según esta definición veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo.
Determinar si el vector (26,11) se puede expresar como combinación lineal de los vectores (2,5) y (5,-1).
Para resolver este ejercicio con DERIVE; bastará primer definir los tres vectores en cuestión con el comando AUTHOR:

a continuación planteamos la ecuación vectorial que ha de verificarse

que al simplificar nos da un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (lo valores de los escalares a y b):

y al resolver el sistema con el comando SOLVE se obtienen

Por tanto el vector (26,11) se puede expresar como combinación lineal de estos vectores.

Intentemos un segundo ejemplo.
Determinar si el vector (3,4,1) se puede expresar como combinación lineal de los vectores (1,2,1), (3,1,4) y (4,3,5).
Nuevamente bastaría con definir los cuatro vectores en DERIVE

Si ahora planteamos la ecuación vectorial que ha de verificarse y simplificamos obtenemos el sistema de tres ecuaciones con 3 incógnitas (los escalares a calcular, si es que existen) que debemos resolver.

Al aplicar el comando SOLVE sobre este sistema obtenemos como mensaje:

    Es decir, no existen escalares a,b,c que satisfagan la ecuación vectorial planteada, y en consecuencia el vector (3,4,1) no se puede expresar como combinación lineal de los tres restantes.

Ejercicio I.16
Escribir si es posible, el vector (1,-1,4) como combinación lineal de los siguientes vectores de R³:
        a) (1,1,2) y (0,0,1)
        b) (2,-2,0) y (-1,1,2)
        c) (1,0,1), (0,1,1) y (1,1,0).
    Acabamos de comprobar que un vector puede estar generado o no por un conjunto de vectores mediante combinaciones lineales de los mismos. Esto nos puede hacer pensar si un conjunto de vectores combinados linealmente son capaces de generar un conjunto de vectores dotados de cierta estructura.
    La cuestión sería intentar estudiar como es la estructura de las combinaciones lineales de un conjunto dado de vectores.
    Para ello consideremos un vector cualquiera de R²por ejemplo el vector (1,2). Vamos a observar cuales son los vectores que se obtienen como combinación lineal de este:
                    1.(1,2)=(1,2); 2(1,2)=(2,4); 3.(1,2)=(3,6); 4.(1,2)=(4,8),
                    -1.(1,2)=(-1,-2); -2(1,2)=(-2,-4); -3(1,2)=(-3,-6); ...
    Si representamos estos vectores que hemos obtenido

observamos que iríamos completando una recta que pasa por el (0,0), por tanto todas las combinaciones lineales del (1,2) generan un subespacio vectorial de R².

    Si procedemos ahora con dos vectores de R², por ejemplo con (1,2) y (1,1) podemos ir construyendo sus combinaciones lineales:
                    1(1,2)+1(1,1)=(2,3); 1(1,2)+2(1,1)=(3,4); 1(1,2)+3(1,1)=(4,5),....
                    2(1,2)+1(1,1)=(3,5); 2(1,2)+2(1,1)=(4,6); 3(1,2)+3(1,1)=(6,9),...
                    ....
podemos observar que iríamos generando todos los vectores de R² que es un subespacio vectorial de sí mismo.
Así pues parece que procediendo de forma experimental con varios vectores de R² se obtiene siempre un subespacio vectorial. Este hecho que hemos observado de forma experimental,se puede generalizar con el siguiente resultado:

Proposición
Sean un conjunto de m-vectores de V. Al conjunto de TODOS los vectores de V que se pueden expresar como combinación lineal de y lo denotamos por es un subespacio vectorial de V.

Demostración:
Demostrar este resultado resulta sencillo, basta comprobar las propiedades de un subespacio vectorial.
Consideremos un vector del conjunto de las combinaciones lineales

Este vector será de la forma

para ciertos escalares

Consideremos otro vector de este subespacio

Veamos que cualquier combinación lineal de estos vectores vuelve a pertenecer al subespacio

que es claramente una combinación lineal de los m-vectores iniciales, por tanto es un subespacio vectorial.

Un ejercicio que resulta inmediato es intentar construir el subespacio vectorial de las combinaciones lineales de un determinado conjunto de vectores.

Ejemplo.
Dados los vectores

calcular el conjunto

y comprobar que S es un subespacio vectorial de R³.
Obsérvese que el conjunto S está formado por las combinaciones lineales de dos vectores por tanto

pero como

entonces

por tanto

y en consecuencia sustituyendo

que es un subespacio vectorial como bien puede comprobarse.

Este proceso se podría haber realizado con DERIVE de la siguiente forma.
Editamos las ecuaciones vectoriales

que al simplificar nos dan

Si ahora eliminamos los parámetros a y b obtendremos

De donde se deducen las ecuaciones del subespacio, a partir tan sólo de la última ecuación.

Ejercicio I.17
Encontrar los subespacios vectoriales generados por los conjuntos de vectores:
        a) {(1,2),(2,3)}
        b) {(1,2,3),(2,0,-1),(0,4,7)}
        c) {(1,2,3,0),(1,0,0,1),(1,0,0,-1),(0,2,3,1)}

Todos los elementos que se obtienen a partir del subespacio de las combinaciones lineales

podemos decir que están generados por los vectores

, o dicho de otra forma, que el conjunto de vectores

GENERA a todos los vectores del subespacio S. De esta forma el conjunto de vectores

constituye lo que se denomina un SISTEMA DE GENERADORES del subespacio vectorial S.

Definición SISTEMA DE GENERADORES.
Sea W un subespacio vectorial de V. Se dice que los vectores son un SISTEMA DE GENERADORES de W si y sólo si , todos los elementos de W pueden expresarse como combinación lineal de los vectores .

Veamos algunos ejemplos que pueden aclarar esta idea.
Ejemplo.
Dados los vectores (1,2,0) y (2,1,1). Demostrar que forman un sistema de generadores del subespacio

.

Para demostrarlo debemos de comprobar que

Calculemos por consiguiente el subespacio de las combinaciones lineales de los dos vectores dados con ayuda de DERIVE.

En primer lugar definimos las ecuaciones que verifican el subespacio de combinaciones lineales, editando la igualdad
que tras simplificar resulta

Se trata ahora de eliminar los parámetros a y b.
De la última ecuación obtenemos que b=z, por tanto sustituimos b por z en las tres ecuaciones aplicando a la expresión anterior el comando MANAGE-SUBSTITUTE

si despejamos de la primera ecuación el parámetro a, resulta a=x-2z. Sustituyendo ahora a por x-2z en todas las ecuaciones con el mismo comando que antes obtenemos

que al simplificar nos da

luego el subespacio de las combinaciones lineales es

Por consiguiente es cierto que S estaba generado por estos dos vectores.

En el ejemplo anterior hemos construido el subespacio de las combinaciones lineales y hemos comprobado si coincide con cierto subespacio para afirmar que el conjunto de vectores dado es un sistema de generadores del mismo. El proceso que hemos seguido consistía en tomar las ecuaciones paramétricas del subespacio e intentar construir las ecuaciones cartesianas del mismo mediante un proceso de eliminación de parámetros. Sin embargo un segundo planteamiento que se nos puede plantear es intentar encontrar un sistema de generadores de cierto subespacio vectorial.

Ejemplo
Hallar un sistema de generadores del subespacio

El proceso que debemos intentar ahora es conseguir las ecuaciones paramétricas del subespacio a partir de sus ecuaciones cartesianas.

Este proceso se obtiene de forma automática con DERIVE sin más que plantear las ecuaciones cartesianas entre corchetes (añadiendo un 0, para facilitar el cálculo de parámetros al tratarse de un sistema de 2 ecuaciones con tres incógnitas)
que al resolver nos da

es decir que (x,y,z)=a(1,1,-2), por tanto el vector (1,1,-2) genera al subespacio W.

Ejercicio I.18
Obtener con DERIVE un sistema de generadores de los siguientes subespacios vectoriales:

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DE GENERADORES.
Consideremos dos conjuntos de vectores

Si calculamos los subespacios vectoriales que generan obtendremos:
G₁:

En consecuencia con la segunda y tercera ecuación podemos eliminar los parámetros
ya que

por tanto

luego

G₂:

Usando DERIVE obtenemos que tras plantear las ecuaciones paramétricas:

como a=z, sustituyendo en toda la expresión a por z con MANAGE-SUBSTITUTE se obtiene

ahora si observamos la segunda ecuación, b=(z-y)/2, luego sustituyendo nuevamente b por (z-y)/2 resulta

que al simplificar nos da

es decir que

Hemos obtenido el mismo subespacio vectorial a traves de dos sistemas de generadores distintos, por los que podemos concluir una primera propiedad:

PROPIEDAD 1: Los subespacios vectoriales no están generados de forma única.

Consideremos a continuación otro planteamiento.
Sea un subespacio vectorial

es fácil deducir un sistema de generadores de este subespacio ya que sus ecuaciones paramétricas son:

por lo que cualquier vector de W es de la forma

En consecuencia podemos decir que

¿Qué ocurre si calculamos el subespacio generado por los vectores (1,0,0),(0,1,0) y (1,1,0) ?
Obsérvese que el último vector es suma de los dos vectores anteriores (es una combinación lineal suya). Intentemos ahora ver qué subespacio genera esta terna de vectores.

Si planteamos estas ecuaciones paramétricas en DERIVE tendremos el sistema

eliminando el parámetro a, mediante la sustitución de a por x-c se obtiene

que al simplificar nos da

eliminando ahora el parámetro b, mediante la sustitución b=y-c resulta

que tras simplificar nos da

de donde se obtiene que el subespacio generado por esta terna de vectores es el mismo que el que generamos con los dos primeros vectores.
¿Qué se deduce de esta observación?

PROPIEDAD 2. Si G1 es un sistema de generadores de W entonces cualquier conjunto de vectores de W , G₂ tal que G1 esté contenido en G₂ se cumple que también es sistema de generadores de W. Dicho de otro modo, dado un sistema de generadores de W, siempre podemos construir un sistema de generadores formado por más vectores añadiendo a dicho sistema de generadores, vectores que sean combinación lineal de los anteriores.

Para finalizar resultaría interesante observar qué sucede cuando intentamos extraer subconjuntos de vectores de un sistema de generadores y comparamos los subespacios que generan.

Ejemplo.
Sea G₁={(1,1,1),(1,1,0),(0,0,1)} un sistema de generadores.
Veamos qué subespacio genera.
Sus ecuaciones paramétricas son