ARITMÉTICA

axiomas de Peano o postulados de Peano son un sistema de axiomas para la aritmética ideados por el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX, para definir los números naturales. Estos axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios en diversas investigaciones matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números.

Los publicó en 1889, en un folleto de unas treinta páginas, intitulado Aritmetices principia, nova methodo exposita, que se traduce por Nuevo método de exposición de los principios de la aritmética. Da una lista de nueve axiomas, de los cuales cuatro versan con el uso del signo = . Los demás se conocen como "Axiomas de Peano". Los matemáticos los consideran como la plataforma preliminar para forjar los siguientes conjuntos usuales de números. La idea pivotal de Peano fue la de "sucesor".

Los axiomas[editar]

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:

1. El 1 es un número natural, entonces 1 está en el conjunto N de los números naturales.
2. Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números naturales, y dado un elemento cualquiera, el sucesor también pertenece al conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este último axioma es el principio de inducción matemática.

Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores:

1. El 0 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 0 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.

Presentación formal[editar]

Como se dijo antes existe un debate sobre si incluir al 0 entre los números naturales o no. A continuación se presentan los axiomas de Peano de manera formal, contemplando ambas posibilidades:

Cuando no interviene el cero[editar]

Los símbolos que designan los conceptos primitivos son ${\displaystyle ~N,1,x'}$.

El símbolo N designa un predicado monádico que se lee «ser un número natural». El símbolo 1, por su parte, designa una constante que pretende representar al número uno. Y el símbolo x', finalmente, designa una funciónsobre x que devuelve al sucesor de x. A esta función muchas veces se la escribe S(x). Finalmente, la metavariable ${\displaystyle \phi }$ representa una fórmula cualquiera de la aritmética, y ${\displaystyle \phi (x)}$ representa una fórmula cualquiera que tenga a x como variable libre.

Los cinco axiomas de Peano son:

${\displaystyle A_{1}:N(1)\,}$

${\displaystyle A_{2}:\forall x(N(x)\to N(x'))}$

${\displaystyle A_{3}:\neg \exists x(N(x)\land 1=x')}$

${\displaystyle A_{4}:\forall x\forall y((N(x)\land N(y)\land x'=y')\to x=y)}$

Del quinto axioma existen dos variantes. El primero está formulado en lógica de primer orden, y es en realidad un esquema de axioma. El segundo sí es un axioma, pero está formulado en lógica de segundo orden.

${\displaystyle A_{5}:{\Big (}\phi (1)\land \forall x(\phi (x)\to \phi (x')){\Big )}\to \forall x\ \phi (x)}$

${\displaystyle A_{5}':\forall \phi {\bigg (}{\Big (}\phi (1)\land \forall x(\phi (x)\to \phi (x')){\Big )}\to \forall x\ \phi (x){\bigg )}}$

Además de los cinco axiomas, la aritmética de Peano recurre a dos definiciones (de la suma y de la multiplicación), que a veces se presentan como axiomas. A continuación se incluyen todas las variantes:

• Definiciones de suma y multiplicación:

${\displaystyle D_{1}:\,}$	${\displaystyle n+1=n'\,}$
	${\displaystyle n+m'=(n+m)'\,}$

${\displaystyle D_{2}:\,}$	${\displaystyle n\times 1=n\,}$
	${\displaystyle n\times m'=(n\times m)+n\,}$

• Axiomas de la suma y de la multiplicación:

${\displaystyle A_{6}:\,}$	${\displaystyle \forall n(n+1=n')}$
	${\displaystyle \forall n\forall m(n+m'=(n+m)')}$

${\displaystyle A_{7}:\,}$	${\displaystyle \forall n(n\times 1=n)\,}$
	${\displaystyle \forall n\forall m(n\times m'=(n\times m)+n)\,}$

Cuando interviene el cero[editar]

Los símbolos que designan los conceptos primitivos son ${\displaystyle ~N,0,x'}$.

Axiomas:

${\displaystyle A_{1}:N(0)\,}$

${\displaystyle A_{2}:\forall x(N(x)\to N(x'))}$

${\displaystyle A_{3}:\neg \exists x(N(x)\land 0=x')}$

${\displaystyle A_{4}:\forall x\forall y((N(x)\land N(y)\land x'=y')\to x=y)}$

${\displaystyle A_{5}:{\Big (}\phi (0)\land \forall x(\phi (x)\to \phi (x')){\Big )}\to \forall x\ \phi (x)}$

${\displaystyle A_{5}':\forall \phi {\bigg (}\phi (0)\land \forall x{\Big (}(\phi (x)\to \phi (x'))\to \forall x\ \phi (x){\Big )}{\bigg )}}$

Cambiar los axiomas para que incluyan al 0 es solo una cuestión de cambiar toda aparición del 1 por el 0. Sin embargo, en las definiciones (o los axiomas) de suma y de multiplicación hay que hacer algunos leves ajustes más:

• Definiciones de suma y multiplicación:

${\displaystyle D_{1}:\,}$	${\displaystyle n+0=n\,}$
	${\displaystyle n+m'=(n+m)'\,}$

${\displaystyle D_{2}:\,}$	${\displaystyle n\times 0=0\,}$
	${\displaystyle n\times m'=(n\times m)+n\,}$

• Axiomas de la suma y de la multiplicación:

${\displaystyle A_{6}:\,}$	${\displaystyle \forall n(n+0=n)}$
	${\displaystyle \forall n\forall m(n+m'=(n+m)')}$

${\displaystyle A_{7}:\,}$	${\displaystyle \forall n(n\times 0=0)\,}$
	${\displaystyle \forall n\forall m(n\times m'=(n\times m)+n)\,}$

Modelos inintencionales[editar]

Un modelo es una interpretación de los símbolos primitivos que hace verdaderos a todos los axiomas. Por ejemplo, interpretando al símbolo 0 como el número cero, y al predicado N como los números naturales, el primer axioma resulta verdadero, porque es verdad que «el cero es un número natural». Lo mismo ocurre con todos los otros axiomas: bajo las interpretaciones naturales de 0, N y x', cada uno de los axiomas resulta verdadero. Luego, las interpretaciones naturales de los símbolos primitivos son un modelo de la aritmética de Peano.

Originalmente, Peano propuso los axiomas para caracterizar a los números naturales, y los símbolos primitivos se debían interpretar de esta manera natural. Sin embargo, los símbolos que designan a los conceptos primitivos admiten otras interpretaciones, algunas de las cuales serán además modelos. Por ejemplo, se podría interpretar al símbolo 0 como el número dos (para simplificar la explicación no entendemos el cero como par), a N como el predicado «ser un número par», y a x' como el sucesor del sucesor, en vez del sucesor inmediato. En tal caso, los axiomas se tendrían que entender así:

1. El dos es un número par
2. Si n es un número par, entonces el sucesor del sucesor de n también es un número par
3. El dos no es el sucesor del sucesor de ningún número par.
4. Si hay dos números pares n y m con el mismo sucesor de sucesor, entonces n y m son el mismo número par.
5. Si el dos pertenece a un conjunto, y dado un número par cualquiera, el sucesor del sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números pares pertenecen a ese conjunto.

Bajo esta interpretación, todos los axiomas resultan verdaderos, y los axiomas ya no definen a los números naturales, sino a los números pares. También es posible encontrar modelos (es decir, interpretaciones que hagan verdaderos a todos los axiomas) por fuera de la matemática. Por ejemplo, se podría interpretar a 0 como el primer segundo luego del Big Bang, a N como el predicado «ser un segundo», y a x' como el segundo después de x. Bajo esta interpretación (y asumiendo que el tiempo es infinito) los axiomas también resultan verdaderos.

A aquellos modelos que no fueron originalmente planeados se los llama modelos inintencionales (non-intended models), y existen infinitos modelos inintencionales de la aritmética de Peano. Estrictamente hablando, la aritmética de Peano no define el conjunto de los números naturales, sino a la noción más amplia de sucesión matemática o progresión aritmética de los naturales.

complemento a 9, o sea a la base-1, se usa para representar números negativos. De esta forma, una restase puede transformar en una suma:

minuendo + (– sustraendo) = resultado

*Lo que está entre paréntesis es la representación del sustraendo en C-9.

Para transformar un número en C-9 debe reemplazarse cada dígito por lo que le falta para llegar a 9. Por ejemplo:

• 385 → 614: 614 es el C-9 de 385, el 614 es la representación del –385

Se debe recordar que a la izquierda de un número convencional podemos poner ceros, en el caso de C-9 debemos poner nueves así:

• 00385 → 99614

Si en el resultado de la suma aparece un acarreo, éste se debe sumar al resultado y si aparecen nueves, eso indica que el resultado es negativo y debe ser complementado para obtener el resultado final:

123 – 67 = 56

123 + 932 = 1055 (existe acarreo = 1)

• 1 + 055 = 056 (resultado)

145 – 234 = –89

00145 + 99765 = 99910 (no hay acarreo, el resultado es negativo)

complementando el 99910 queda 00089, negativo

cuadrado perfecto en matemáticas, o un número cuadrado, es un número entero que es el cuadrado de algún otro; dicho de otro modo, es un número cuya raíz cuadrada es un número natural.

Un número es un cuadrado perfecto si se puede ordenar en una figura cuadrada. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto ya que puede ser escrito como 3 × 3, y se puede ordenar del siguiente modo:

32 = 9

Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados (excepto el 1) se denomina [número libre de cuadrados].

Propiedades[editar]

La fórmula más general para el n-ésimo número cuadrado es n². Este resultado es también igual a la suma de los primeros n números impares, tal y como puede verse en la siguiente fórmula:

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}\;(2k-1)}$

• Ejemplo:

${\displaystyle 5^{2}=\sum _{k=1}^{5}\;(2k-1)=1+3+5+7+9=25}$

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo puede ser escrito como la suma de cuatro perfectos cuadrados. Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la forma 4^k(8m + 7). Un número positivo puede ser representado como una suma de dos cuadrados precisamente si la factorización en números primos no contiene potencias impares de la forma 4k + 3. Esta es una generalización del problema de Waring.

1. Si el último dígito de un número es 0, su cuadrado acaba en 00 y los precedente dígitos deben ser también un cuadrado.
2. Si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado acaba en 1 y el número formado por su precedente debe ser divisible por cuatro.
3. Si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado acaba en 4 y el precedente dígito debe ser un número par.
4. Si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado acaba en el dígito 9 y el número formado por sus precedentes dígitos debe ser divisible entre cuatro.
5. Si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado acaba en 6 y el precedente dígito debe ser impar.
6. Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado acaba en 25 y los precedentes dígitos deben ser 0, 2, 06, o 56.

Ejemplos[editar]

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25

La cantidad de factores (divisores) de un número cuadrado perfecto es siempre impar. O dicho de otro modo, se cumple que para todo número natural que no es cuadrado perfecto, la cantidad de sus factores en un número par.

Todo número natural se puede descomponer en factores primos y sus correspondientes exponentes: ${\displaystyle N=p_{1}^{a}.p_{2}^{b}.p_{3}^{c}...}$ ,

donde N es un número natural, ${\displaystyle p_{1},p_{2},...}$ son números primos y a,b,c... sus correspondientes exponentes. Dado que todos los posibles divisores de N son una combinación de este producto desde a=0,1,2,..a, b=0,1,2,...b y c=0,1,2,...c, la cantidad de divisores de N es:

n = (a+1).(b+1).(c+1)... donde n es la cantidad de factores o divisores de cualquier número natural.

Puesto que en un número cuadrado perfecto los exponentes a, b, c, ... son números pares, todos los factores de n serán impares y por tanto el producto también es un número impar. Esto puede comprobarse revisando el Anexo:Tabla de divisores

Los primeros 50 cuadrados perfectos son:

0² = 0 ((sucesión A000290 en OEIS))

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

Cuadrados siguientes y anteriores a otro[editar]

Puede calcularse un cuadrado a partir del anterior o del anterior cuadrado par/impar respecto de uno dado.

• La distancia entre un cuadrado y el siguiente, resulta de sumar al cuadrado primero, 2 veces el lado del siguiente y restarle 1: Si para 4² = 16, para 5² = 4² + (2 * 5) - 1 = 16 + 10 - 1 = 25.

Ejemplos:

cuadrado 0, calcular cuadrado 1: 00 + (2 * 1) - 1) = 00 + 02 -1 = 00 + 01 = 01

cuadrado 1, calcular cuadrado 2: 01 + (2 * 2) - 1) = 01 + 04 -1 = 01 + 03 = 04

cuadrado 2, calcular cuadrado 3: 04 + (2 * 3) - 1) = 04 + 06 -1 = 04 + 05 = 09

cuadrado 3, calcular cuadrado 4: 09 + (2 * 4) - 1) = 09 + 08 -1 = 09 + 07 = 16

cuadrado 4, calcular cuadrado 5: 16 + (2 * 5) - 1) = 16 + 10 -1 = 16 + 09 = 25

cuadrado 5, calcular cuadrado 6: 25 + (2 * 6) - 1) = 25 + 12 -1 = 25 + 11 = 36

cuadrado 6, calcular cuadrado 7: 36 + (2 * 7) - 1) = 36 + 14 -1 = 36 + 13 = 49

Otra manera de calcular la distancia es teniendo en cuenta la siguiente propiedad: La diferencia entre cada número cuadrado y el consecutivo(si se comienza con el 0) son todos los números impares, en orden ascendente:

0 + 1 = 1

1 + 3 = 4

4 + 5 = 9

9 + 7 = 16

• La distancia entre un cuadrado y 2 más adelante, resulta de sumar al cuadrado primero, 4 veces el (lado deseado -1): Si para 4² = 16, para 6² = 4² + (4 * (6-1)) = 16 + 20 = 36

Ejemplos:

cuadrado 0, calcular cuadrado 2: 00 + (4 * (2 - 1) = 00 + 04 = 04

cuadrado 2, calcular cuadrado 4: 04 + (4 * (4 - 1) = 04 + 12 = 16

cuadrado 4, calcular cuadrado 6: 16 + (4 * (6 - 1) = 16 + 20 = 36

cuadrado 6, calcular cuadrado 8: 36 + (4 * (8 - 1) = 36 + 28 = 64

---

cuadrado 1, calcular cuadrado 3: 01 + (4 * (3 - 1) = 01 + 08 = 09

cuadrado 3, calcular cuadrado 5: 09 + (4 * (5 - 1) = 09 + 16 = 25

cuadrado 5, calcular cuadrado 7: 25 + (4 * (7 - 1) = 25 + 24 = 49

Ambos casos resultan de interés con números muy grandes, para hallar en bucles el siguiente cuadrado o el siguiente cuadrado de lado par/impar, especialmente en computación donde las sumas son mucho menos costosas que las multiplicaciones y las multiplicaciones por potencias de 2 pueden ser realizadas con instrucciones de desplazamiento de bits. A su vez las multiplicaciones ('2 * x' ó por '4 * x' según el caso), dentro de un bucle puede mantenerse como una suma si se guarda el valor previo de suma. Fíjese como en ambos casos a la derecha del todo, el siguiente cuadrado, para ambos casos se resuelven con sumas.

La operación a la inversa es fácilmente deducible, es decir hallar el cuadrado anterior a otro dado.

• La distancia entre un cuadrado y el anterior, resulta de restar al cuadrado primero, 2 veces el lado actual y sumarle 1: Si para 6² = 36, para 5² = 6² - (2 * 6) + 1 = 36 - 12 + 1 = 25

• La distancia entre un cuadrado y 2 más atrás, resulta de restar al cuadrado, 4 veces el (lado actual -1): Si para 6² = 36, para 4² = 6² - (4 * (6-1)) = 36 - 20 = 16

Cuadrados como sumas[editar]

El n-ésimo número cuadrado puede ser calculado del resultado obtenido en las dos anteriores posiciones y al que se le añade el (n − 1)-ésimo cuadrado de sí mismo, sustrayendo el (n − 2)-enésimo cuadrado, y añadiendo 2 (${\displaystyle n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2}$). Por ejemplo, 2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

Es a menudo útil notar que el cuadrado de cualquier número puede ser representado como la suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + n − 1 + n − 1 + n. Por ejemplo, el cuadrado de 4 o 4² es igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este es el resultado de añadir una columna y columna de grosor uno al grafo cuadrado de lado tres (como en un tablero de tres en raya). Se puede añadir también tres lados y cuatro a la parte superior para obtener un cuadrado. Esto puede ser también útil para encontrar el cuadrado de un número grande de forma inmediata. Por ejemplo, el cuadrado de 52 = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. Es más fácil así:157²=150² + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151= 301. Es el primer sumando y los demás son más fácil de encontrar,303, 305,307, 309, 311, 313. Conclusión 22500+ 301+ 303 + 305 +307 + 309 + 311 + 313 = 24649

Un número cuadrado puede ser considerado también como la suma de dos números triangulares consecutivos. La suma de dos números cuadrados consecutivos es un número cuadrado centrado. Cada cuadrado impar es además un número octogonal centrado.

Números cuadrados pares e impares[editar]

El cuadrado de un número par siempre es par (de hecho es divisible por 4), ya que (2n)² = 4n².

El cuadrado de un número impar siempre es impar, ya que (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

De esto se sigue que la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto par siempre es par, y la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto impar siempre es impar. Este hecho se emplea mucho en las demostraciones (véase raíz cuadrada de 2).

Suma de los primeros n cuadrados[editar]

Para los primeros cinco cuadrados perfectos

${\displaystyle \sum _{k=1}^{5}\;k^{2}=1+4+9+16+25={\frac {5(5+1)(2\times 5+1)}{6}}}$

Generalizando para los primeros n cuadrados perfectos resulta la suma

${\displaystyle S_{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

¹​

Construcción de cuadrados perfectos[editar]

• El producto de dos pares consecutivos aumentado en 1 es cuadrado perfecto

${\displaystyle (2n)(2n+2)+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}}$

.

Ejemplo: 52·54 + 1 = 2809, cuadrado de 53.²​

• El producto de dos impares consecutivos más 1 es un cuadrado perfecto.

${\displaystyle (2n-1)(2n+1)+1=4n^{2}-1+1=4n^{2}}$

Por ejemplo, 95·97 + 1 = 9216. En los dos casos hallamos el cuadrado de la media aritmética de los factores.

• El producto de cuatro enteros consecutivos aumentado en 1 es un cuadrado perfecto. ${\displaystyle (n-1)(n)(n+1)(n+2)+1=(n^{2}+n-1)^{2}}$

³​ Por ejemplo 13·14·15·16 + 1 = 43681, cuadrado de 209.

• El producto de un múltiplo de un número por el múltiplo transconsecutivo del mismo más el cuadrado del generador es cuadrado perfecto.

${\displaystyle kn[(k+2)n]+n^{2}=n^{2}(k+1)^{2}}$

Por ejemplo, 7, 14, 21, 28, 35 son múltiplos de 7. Luego 21·35 + 49 = 784, cuadrado de 28.