ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL

En las matemáticas y especialmente en la aritmética, un número par es un número entero que es divisible entre dos.¹​ Se trata de un número entero que se puede escribir de la forma: 2k (es decir, divisible de manera entera entre 2), donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número 2). Los números enteros que no son pares se llaman números impares (o números menores), y pueden escribirse como 2k+1.²​

Los números pares son:

${\displaystyle \mathrm {pares} =\{\;...,\;-4,\;-2,\;0,\;2,\;4,\;6,\;8,\;...\;\}}$

y los impares:

${\displaystyle \mathrm {impares} =\{\;...,\;-5,\;-3,\;-1,\;1,\;3,\;5,\;7,\;...\;\}}$

La paridad de un número entero se refiere a su atributo de ser par o impar.³​ Comparativamente, dos números son «de la misma paridad» si al dividirlos entre 2, el resto es el mismo, por ejemplo: "2" y "4", o "3" y "7"; son «de la misma paridad». Por el contrario los números "23" y "44" son «de distinta paridad».

Esta se complementa por una fácil fórmula:

par + par = par | par + impar = impar | impar + impar = par

Reconocimiento[editar]

Si la base de numeración utilizada es un número par (por ejemplo, base 10 o base 8), un número par podrá reconocerse si su último dígito también es par. Por ejemplo, el siguiente número en base 10:

${\displaystyle {352107706}_{10}}$

es par ya que su último dígito: 6, también es par. Lo mismo sucede con el siguiente número en base 6:

${\displaystyle {2145301354}_{6}={23211718}_{10}}$

Si la base del sistema de numeración es impar (3, 5, etc), el número será par si el número de dígitos con cifra impar es par, en cualquier otro caso el número será impar. Por ejemplo, en base 3:

${\displaystyle {120}_{3}={15}_{10}}$

es impar, dado que el uno es la única cifra impar, mientras que:

${\displaystyle {321}_{5}={86}_{10}}$

Como el 3 y el 1 son impares, hay un número par de cifras impares y el número es par.

Paridad del cero[editar]

Artículo principal: Paridad del cero

El cero es un número par, cumple con la definición así como con todas las propiedades de los números pares.

1. ${\displaystyle I_{1}+I_{2}=2a+1+2b+1=2a+2b+2=2(a+b+1)=2n}$
2. ${\displaystyle P_{1}\cdot P_{2}=2a\cdot 2b=2(2\cdot a\cdot b)=2(c)=2n}$
3. ${\displaystyle P_{1}\cdot I_{1}=2a\cdot (2b+1)=2a\cdot 2b+2a=2c+2a=2(c+a)=2n}$
4. ${\displaystyle I_{1}\cdot I_{2}=(2a+1)\cdot (2b+1)=2a\cdot 2b+2a+2b+1=2c+2a+2b+1=2(c+a+b)+1=2n+1}$
5. La potencias de base par son pares y recíprocamente si una potencia es par su base es par⁴​
6. El resto de la división de un número par entre un número par es par; nada se colige del cociente que puede tener cualquier paridad.

Propiedades con respecto a la divisibilidad[editar]

• Dos números enteros consecutivos tienen paridad diferente.
• Dados tres enteros consecutivos, dos serán de la misma paridad y uno de ellos será necesariamente de paridad distinta de los otros dos.

Tipos especiales de números pares[editar]

• Los números perfectos son pares.
• Los factoriales de un natural diferente de 1 y de 0 y los números primoriales son pares.
• Los números congruentes de Fibonacci son todos pares. Según la definición del mismo Fibonacci (Leonardo de Pisa, Filius Bonacci), que aparece en su libro Liber Quadratorum (1225), un número congruente es de la forma m·n (m² - n²), con m y n enteros positivos impares y m > n.

Tipos especiales de números impares[editar]

• Los números primos, con la única salvedad del 2, que es par. Se trata de aquellos números naturales que no tienen otros divisores más que ellos mismos y el 1.
  • Los números primos de la forma ${\displaystyle \ 4\cdot n+1}$, con n un número natural cualquiera, se descomponen de una única manera en suma de dos cuadrados de números enteros. Esto fue estudiado por Fermat y permite que ese primo sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo diofántico o triángulo rectángulo diofantino. Estas últimas dos palabras se refieren a triángulos con lados enteros positivos en honor a Diofanto de Alejandría, quien estudió los problemas en los que interesa obtener soluciones enteras.
  • Los primos de la forma ${\displaystyle \ 4\cdot n+3}$ no pueden expresarse como suma de dos cuadrados enteros, pero sí como diferencia de cuadrados. La raíz cuadrada del cuadrado mayor, o minuendo de la diferencia, es igual a ${\displaystyle \ 2(n+1)}$, donde n es el mismo natural que aparece en la expresión del número primo.

Definiciones en desuso[editar]

En el libro 7 de los Elementos de Euclides⁵​ (definiciones 8 a 10), vienen definidas unas clases de números que, aunque hoy en desuso, han sido citadas de forma recurrente en libros históricos de matemáticas.

• Número parmente par, pariter par o propiamente par «es el medido por un número par según un número par». Sería, por tanto, el producto de dos números pares (todos son múltiplos de 4).
• Número parmente impar o pariter impar «es el medido por un número par según un número impar», es decir, el producto de un número par por un número impar.
• Número imparmente impar, impariter impar o propiamente impar «es el medido por un número impar según un número impar», es decir, el producto de dos números impares.

Observaciones:

• En estas definiciones, el 1 no cuenta como número,⁶​⁷​ por lo que los números imparmente impares son exactamente los números impares compuestos. Estos son los números que se emplean en la criba de Sundaram para hallar números primos: un número primo será todo número impar (con la consabida excepción del 2) que no esté en la criba de Sundaram.
• Algunos números se consideran tanto parmente pares como parmente impares. Por ejemplo, 24 es igual a 6 por 4, así que es parmente par; pero también es igual a 3 por 8, con lo que es parmente impar.

Algunas fuentes, tales como Dorado contador. Aritmética especulativa y práctica (1794)⁸​ y el más reciente, Enjambre matemático,⁹​ utilizan otra definición para los números parmente pares: no se trata de los que son productos de dos pares, sino de los que sólo se pueden expresar como producto de dos pares (exceptuando, por supuesto, el producto de sí mismos por uno). Según esta definición, los números parmente pares son exactamente las potencias de 2. Asimismo, definen el número parmente impar como el múltiplo de una potencia de 2 por un número impar e introducen el concepto, ausente en la obra de Euclides,⁹​ de número imparmente par como un número que es doble de un número impar. La definición del número imparmente impar no sufre variación.

El libro Llave aritmética y algebrayca¹⁰​ utiliza las primeras definiciones y explica el caso de que haya números que son simultáneamente parmente pares y parmente impares. Esta definición, además, queda reforzada en la proposición 32 del libro 9 de los Elementos,⁵​ que explica así: «Cada uno de los números (que es continuamente) duplicado a partir de una díada es solamente un (número) parmente par.»

Divisibilidad par[editar]

Sea el conjunto de los pares ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ = {0, 2, 4, 6, 8, 10,...2n..., n cualquier natural}.¹¹​

Sean a b, c elementos de ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$, se dirá que a|p b si existe c tal que b = ac. También se dice que b es divisible parmente¹²​

Por ejemplo 8 | 16 pues 16 = 2·8

Primo en ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$

el elemento a es primo en 2Z si no existe un elemento de 2Z que lo divida.

Por ejemplo, 6, 10, pues no hay elemento de 2Z que lo dividan parmente.

• Los primos de ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ son el producto de los impares por 2 únicamente.

Divisores de un número

Fuera de los primos en sentido par, los otros números tienen más de dos divisores

para el caso de 24, tiene como divisores 2, 4, 6, 12, y 8 no es divisor parmente de 24.

Divisores comunes

48 y 32 tienen como divisores comunes 2, 4, 8, y 16 no, porque no divide parmente a 48¹³​

Máximo común divisor parmente[editar]

El mayor de los divisores comunes de dos elementos de ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ se llama máximo común divisor (m.c.d.).

Por ejemplo, m.c.d.(32,48) = 8

Álgebra[editar]

• la suma de números naturales pares es par y cabe la propiedad asociativa, el conjunto de los números pares es un semigrupo conmutativo con la adición; si se admite 0 como natural, sería el elemento neutro aditivo par.
• El conjunto de los números enteros pares con la adición es un grupo abeliano, pues se cumplen: la clausura, asociatividad, existe el elemento neutro par el cero y para cada par existe su opuesto.
• El conjunto de los números naturales impares con la multiplicación es un semigrupo asociativo, con unidad.

Paridad de potencias[editar]

• Si a² es un número par entonces a es un número par. Esta propiedad se usa en la demostración de la irracionalidad de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

El 0 es par. En otras palabras, la «paridad» —es decir la cualidad de un número entero de ser par o impar— que le corresponde al número ceroes la de un número par. El cero cumple con la definición de número par: es un entero múltiplo del dos, 0 = 0 × 2. Como resultado, el cero comparte todas las propiedades que caracterizan a los números pares: 0 es divisible exactamente por 2; 0 está entre dos números impares; 0 es la resta de un entero a sí mismo; un conjunto con 0 objetos puede separarse en dos conjuntos iguales.

Puesto que las definiciones de número par varían, otro acercamiento consiste en considerar la manera en que el cero sigue los mismos patrones que los demás números pares. Las reglas aritméticas de paridad, como por ejemplo par − par = par, requieren que 0 sea par. El cero es el elemento neutro del grupo de los enteros pares, y es el punto de partida para definir los subsiguientes números naturales generados recursivamente. Las aplicaciones de esta recursión, que van desde la teoría de grafos hasta la geometría computacional, dan por sentado que el cero es par.

Entre el público en general, la paridad del cero puede ser fuente de confusión. En experimentos de «tiempo de reacción», la mayoría de la gente tarda más en clasificar al 0 como par que al 2, 4, 6 u 8.

Por qué el cero es par[editar]

Es fácil probar directamente que el cero es un número par.

• Un número se dice que es par si es un múltiplo entero del 2. Entonces, por definición, el cero es par: ${\displaystyle 2\;\mathrm {x} \;0=0\ }$.¹​

Esta demostración comienza con una definición estándar de "número par". También es posible explicar por qué el cero es par sin hacer mención a definiciones formales.²​ Las explicaciones siguientes deben ser comprendidas en términos fundamentales de conceptos de números.

Fundamentos[editar]

La caja con 0 elementos no tiene objetos sin pareja (en rojo).³​

El conteo básico utiliza números. Dado un conjunto de elementos, es común utilizar números para describir cuántos objetos hay en el conjunto. Cero es la cuenta de ningún objeto; en términos más precisos, es el número de objetos que hay en el conjunto vacío. El concepto de paridad es utilizado al formar grupos de dos objetos: si los objetos de un conjunto pueden agruparse de a dos, sin dejar ninguno sin pareja, entonces el número de objetos del conjunto es par; si un objeto queda aislado, entonces el número de objetos del conjunto es non.⁴​

El conjunto vacío contiene cero grupos de dos, y ningún objeto queda aislado con este agrupamiento. No es evidente sin embargo visualizar cero elementos de dos, o poner atención en la no-existencia del objeto aislado; esta concepción de la paridad del cero puede ser ilustrada al comparar al conjunto vacío con otros conjuntos, como en el diagrama de la derecha.⁵​

La recta numérica provee una visualización más uniforme de los números, incluyendo los números positivos, los números negativos y al cero. Cuando los pares y los nones se destacan visualmente, el patrón se vuelve evidente:

Los pares y nones se alternan. Comenzando en cualquier número par, contar hacia arriba o hacia abajo de dos en dos lleva a otro número par, y no hay ninguna razón para excluir al cero.⁶​

La paridad puede establecerse más formalmente con ayuda de expresiones aritméticas. Todo entero es o bien de la forma (2 × ▢) + 0 o bien (2 × ▢) + 1; los primeros números son pares, los siguientes nones. Por ejemplo, 1 es non puesto que 1 = (2 × 0) + 1, y 0 es par dado que 0 = (2 × 0) + 0. Una tabla con estos valores refuerza la idea expresada en la recta numérica.⁷​

Paridad[editar]

La definición precisa de un término matemático, tal como «par significa entero múltiplo de dos» es, en última instancia, una convención. Algunos términos o definiciones matemáticas se construyen explícitamente para excluir casos triviales o degenerados. Los números primos constituyen un conocido ejemplo; la definición de "número primo" ha variado históricamente de "entero positivo con a lo sumo 2 factores" a "entero positivo con exactamente 2 factores", con el notable efecto de que el 1 ya no se puede considerar primo. La mayoría de los autores hacen notar que esta definición conviene mejor a los teoremas matemáticos que conciernen números primos. Por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética es más cómodo de enunciar si el 1 no se considera primo.⁸​

De modo análogo, sería posible redefinir el término «par» de modo que no incluyera al cero. Sin embargo, en este caso, la nueva definición haría más difícil establecer teoremas concernientes a los números pares. Los efectos pueden notarse, por ejemplo, en las leyes que gobiernan la aritmética de los números enteros pares e impares:⁹​

• par ± par = par
• non ± non = par
• par × entero = par.

Al hacer una excepción con el cero en la definición, estas reglas serían incorrectas⁹​ y tendrían que ser cuando menos modificadas. Por otra parte, respetar las leyes obedecidas por los números pares positivos, y requerir que sigan siendo válidas para todos los enteros, fuerza la definición usual y la consecutiva paridad del cero.

prueba del nueve es un artificio matemático utilizado para verificar, de una forma sencilla, si una operación de suma, sustracción, multiplicación o división, realizada a mano, ha dado un resultado erróneo.

Mediante esta prueba se puede comprobar si la operación tiene algún error o no. Si el resultado de la prueba da «erróneo» se puede asegurar que la operación no es correcta; sin embargo, si el resultado de la prueba da «correcto» esto no implica necesariamente que la operación esté bien (existe una probabilidad de sólo el 10% que un resultado erróneo no sea detectado).

Esta prueba fue muy popular hasta mediados de la década de 1970, cuando las calculadoras portátiles se hicieron usuales. Hasta entonces la forma habitual de verificar la bondad de una operación realizada era mediante este tipo de artificios matemáticos o mediante la repetición de la operación por otra persona y el cotejo de los resultados obtenidos.

Definición de la RAE[editar]

Cálculo sencillo que sirve para verificar el resultado de las operaciones aritméticas, especialmente en la multiplicación y en la división, fundado en que el resto de dividir un número por nueve es el mismo que el de dividir también por nueve la suma de sus cifras.¹​

Prueba del nueve para operaciones básicas[editar]

Todas las pruebas del nueve explicadas a continuación requieren el cálculo de la suma de cifras, para un número natural:

${\displaystyle A=a_{n}a_{n-1}\dots a_{1}a_{0}=a_{n}\cdot 10^{n}+a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+\dots +a_{1}\cdot 10^{1}+a_{0}\cdot 10^{0}}$

Donde ${\displaystyle a_{i}}$ son las cifras decimales del número ${\displaystyle A}$

La suma de sus cifras es:

${\displaystyle a=a_{n}+a_{n-1}+\dots +a_{1}+a_{0}}$

esta operación de suma de cifras coincide con el resto de la división entera entre 9:

${\displaystyle \exists k\in \mathbb {N} :\quad A=9k+a}$

razón por la cual al resto a se le califica de "resto módulo 9 de A" y se designa por (A mod 9).

Prueba del nueve en la multiplicación[editar]

Para comprobar si el resultado de una multiplicación (A*B*C=D) es erróneo:

1. Se calcula el resto de dividir el resultado obtenido entre 9. d = (D mod 9).
2. Se calcula el resto de los multiplicandos dividiéndolos entre 9. a = (A mod 9); b = (B mod 9); c = (C mod 9).
3. Se multiplican estos restos y se obtiene su resto al dividirlo entre 9. a*b*c = N; n = (N mod 9).
4. Se comprueba si los dos valores obtenidos son iguales. d = n.

Si d distinto que n ⇒ Sabemos que la multiplicación no es correcta (A x B x C distinto D).

Si d igual que n. Es probable, aunque no seguro, que la multiplicación sea correcta.

Prueba del nueve en la división[editar]

Para comprobar si el resultado de una división entera (A/B=C y con resto D) es erróneo A / B = C con resto D ⇒ A = B*C+D

1. Se calcula el resto de dividir cada uno de los números intervinientes entre 9.

   a = (A mod 9).

   b = (B mod 9).

   c = (C mod 9).

   d = (D mod 9).

2. Se multiplican los restos (de dividir entre 9) del denominador por el del cociente. b*c
3. Se le suma al resultado anterior el resto (de dividir entre 9) del resto de la división. E=b*c + d
4. Se obtiene el resto de dividir entre 9 este resultado obtenido e = (E mod 9).
5. Se comprueba si el resto obtenido es igual al resto del numerador e=a.

Si e distinto que a ⇒ Sabemos que la división no es correcta (A distinto de B*C+D).

Si e igual que a. Es probable, aunque no seguro, que la división sea correcta.

Prueba del nueve para la suma y la resta[editar]

Análogamente puede desarrollarse una prueba del nueve para la resta C = A - B

1. a:= (A mod 9), b:= (B mod 9) y c:= (C mod 9).

   Se calcula a+c (mod 9)

Si este último resultado no coincide con b entonces la operación contiene algún error. Si a+c coinicde con b, entonces probablemente la operación es correcta (aunque no puede excluirse un improbable falso positivo). Para la suma A₁+A₂+...+A_n = B la prueba sería:

1. a_i:= (A_i mod 9) [para i = 1 ... n.

   Se calcula a₁+a₂+...+a_n (mod 9)

   Se calcula b:= (B mod 9)

Si los resultados de los últimos dos pasos difieren existe algún error, si coinciden probablemente la operación es correcta (aunque no puede descartarse del todo un falso positivo).

Base de la prueba del nueve[editar]

La base del método reside en substituir números grandes por otros números más pequeños obtenidos como la suma de sus dígitos. Así para verificar la multiplicación de dos números ${\displaystyle a=a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{m}}$ y ${\displaystyle b=b_{1}b_{2}b_{3}\dots b_{n}}$ cuyo resultado calculado sea ${\displaystyle c=c_{1}c_{2}c_{3}\dots c_{p}}$ (${\displaystyle a_{k},b_{k},c_{k}}$ son las cifras decimales de dichos números), se obtienen la suma de sus cifras:

${\displaystyle {\begin{cases}a=a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{m}\Rightarrow {\bar {a}}=\sum _{k=1}^{m}a_{k}\\b=b_{1}b_{2}b_{3}\dots b_{n}\Rightarrow {\bar {b}}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}\\c=c_{1}c_{2}c_{3}\dots c_{p}\Rightarrow {\bar {c}}=\sum _{k=1}^{p}c_{k}\end{cases}}}$

Puede demostrarse que se cumplen las siguientes implicaciones:

${\displaystyle {\begin{cases}a\cdot b=c\Rightarrow {\bar {a}}\cdot {\bar {b}}={\bar {c}}\\{\bar {a}}\cdot {\bar {b}}\neq {\bar {c}}\Rightarrow a\cdot b\neq c\end{cases}}}$

El éxito de este artificio para saber si una operación es o no correcta se basa en la congruencia entre números y en su facilidad de cálculo. Se basa en el hecho de que para cualesquiera números a y b

${\displaystyle {\begin{cases}a\cdot b=c\Rightarrow (a\ \mathrm {mod} \ 9)\cdot (b\ \mathrm {mod} \ 9)=(c\ \mathrm {mod} \ 9)\\a+b=c\Rightarrow (a\ \mathrm {mod} \ 9)+(b\ \mathrm {mod} \ 9)=(c\ \mathrm {mod} \ 9)\end{cases}}}$

Puesto que la congruencia "mod 9" coincide con la suma de las cifras. Por tanto, si la suma o el producto de dos números dados es igual a un tercero, esto implica que el producto del resto de dividir cada uno de esos números entre 9 es igual al resto del tercer número dividido entre nueve. Ejemplo:

${\displaystyle \overbrace {12.587.626} ^{a}\times \overbrace {9.857.231} ^{b}=\overbrace {124.079.137.223.606} ^{c}}$

Si se suman las cifras de cada uno de los números (si resulta un número de dos o más cifras se vuelve a repetir la operación de sumar las cifras, hasta reducir el dígito; esto es equivalente a encontrar el resto de una división entera con divisor 9), multiplicando la cifras obtenidas se obtiene un número:

${\displaystyle {\begin{matrix}12.587.626\to &(1+2+5+8+7+6+2+6)=37&\to 3+7=10\to 1+0=1\\9.857.231\to &(9+8+5+7+2+3+1)=35&\to 3+5=8\\124.079.137.223.606\to &(1+2+4+0+7+9+1+3+7+2+2+3+6+0+6)=53&\to 5+3=8\end{matrix}}}$

La "prueba del nueve" en este caso en concreto consiste en verificar si la suma de las cifras del multiplicando y la suma de las cifras del multiplicador coincide con la suma de las cifras del resultado:

${\displaystyle \overbrace {1} ^{\bar {a}}\times \overbrace {8} ^{\bar {b}}=\overbrace {8} ^{\bar {c}}}$

En este caso puesto el primer término resulta igual al segundo la prueba se considera satisfactoria.

La sencillez de esta prueba reside en que es fácil encontrar el resto de la división de un número entero entre nueve, que coincide con la suma de las cifras. El resto de dividir un número entre 9 es igual que el resto de dividir la suma de sus cifras entre 9:

(12.587.626 mod 9) = (1+2+5+8+7+6+2+6) mod 9 = 37 mod 9 = (3+7) mod 9 = 10 mod 9 = 1

(9.857.231 mod 9) = (9+8+5+7+2+3+1) mod 9 = 35 mod 9 = (3+5) mod 9 = 8 mod 9 = 8

(124.079.137.223.606 mod 9) = (1+2+4+0+7+9+1+3+7+2+2+3+6+0+6) mod 9 = 53 mod 9 = (5+3) mod 9 = 8 mod 9 = 8

O de una forma más simple, "eliminando los nueves":

(12.587.626 mod 9)

1 + 2 = 3;

3 + 5 = 8;

8 + 8 = 16; Eliminando los nueves (16 mod 9) = 7;

7 + 7 = 14; Eliminando los nueves (14 mod 9) = 5;

5 + 6 = 11; Eliminando los nueves (11 mod 9) = 2;

2 + 2 = 4;

4 + 6 = 10; Eliminando los nueves (10 mod 9) = 1;

(12.587.626 mod 9) = 1;

Historia[editar]

La prueba del nueve fue descubierta por el obispo Hipólito en el siglo tercero y fue empleada por los matemáticos indios del siglo XII.²​

En su libro Synergetics, R. Buckminster Fuller afirma haber usado la prueba del nueve "antes de la 1ª Guerra Mundial".³​ Fuller explica cómo realizar la prueba del nueve y hace otras afirmaciones sobre los resultados, sin embargo es incapaz de captar los falsos positivos de esta prueba.