GEOMETRÍA

GEOMETRÍA ALGEBRAICA

anillo local regular es un anillo localnoetheriano que tiene la propiedad que el número mínimo de generadores de su ideal maximal (también llamado máximo ideal) es exactamente el mismo que su dimensión de Krull. El mínimo número de generadores del idealmaximal está siempre acotado inferiormente por la dimensión de Krull. Formalmente, si A es un anillo local con ideal maximal m, y supongamos que m está generado por a₁,..., a_n, entonces n ≥ dim A, y A es regular si y solo si n = dim A.

La denominación de regular está justificada por su significado geométrico: un punto de una variedad algebraica es no-singular si y solo si en anillo local asociado es regular.

axioma de Arquímedes (llamado así en honor al matemático griego Arquímedes) es un antiguo enunciado que forma parte de los axiomas llamados de continuidad; de manera informal, se puede expresar como la propiedad de no tener elementos infinitamente grandes ni infinitamente pequeños. Presente en los Elementos de Euclides, este axioma se inscribe dentro del campo de estudio de la geometría sintética. En un sentido moderno, se le llama arquimediano a estructuras matemáticas cuyos elementos verifican una propiedad análoga al axioma de Arquímedes.

El axioma de Arquímedes es una propiedad utilizada desde la Antigüedad. Se aplica a magnitudes que guardan una proporción entre ellas.

Del libro V de los Elementos de Euclides:

Las magnitudes se dice que guardan una razón entre ellas si, multiplicadas, estas magnitudes pueden excederse mutuamente.

Arquímedes atribuye de hecho este axioma a Eudoxio de Cnido, quien es presumiblemente el autor de los libros V y XII de los Elementos. El axioma se aplica a longitudes, áreas, volúmenes, ángulos rectos. Esta propiedad es utilizada en el libro V para definir la noción de proporción entre magnitudes. Permite demostrar la proposición 1 del libro X, que es frecuentemente utilizada en el método de exhausción:

Dadas dos magnitudes desiguales, si se corta de la mayor una parte más grande que su mitad, si se corta del resto una parte más grande que su mitad, y si se continúa de este modo sucesivamente, quedará una magnitud que será más pequeña que la menor de las dos magnitudes dadas [originalmente].

Axiomas de continuidad[editar]

El matemático alemán David Hilbert expone, en sus fundamentos de la geometría (1899), una formulación moderna del axioma de Arquímedes, que es el primer axioma de continuidad (axioma V.1):

Sean dos segmentos AB y CD tales que C es diferente de D. Entonces existe un entero n, y n puntos A1, ..., An de la recta que contiene al segmento AB, tales que Aj se sitúa entre Aj-1 y Aj+1 si 2 ≤ j < n - 1, AjAj+1 es congruente a CD si 1≤ j <n - 1, A se confunde con A1 y B se sitúa entre A y An.

Propiedad arquimediana[editar]

En álgebra abstracta y análisis, la propiedad arquimediana es una propiedad que poseen ciertas estructuras algebraicas, como por ejemplo algunos grupos o cuerpos ordenados o normados. De manera informal, es la propiedad de no poseer elementos "infinitamente grandes" o "infinitamente pequeños".

Una estructura algebraica en la cual dos elementos no-nulos son comparables, en el sentido que ninguno de ellos es infinitesimal con respecto al otro, se dice que es arquimediano. Inversamente, una estructura que contenga dos elementos no-nulos, uno de los cuales es infinitesimal con repecto al otro, se llama no-arquimediano. Por ejemplo, el cuerpo de los números reales es arquimediano, mientras que el de las funciones racionales es no-arquimediano.

Ejemplos[editar]

Propiedad arquimediana de los números reales:¹​

Si ${\displaystyle y\ }$ es un número real arbitrario y ${\displaystyle x>0\ }$ entonces existe un entero positivo ${\displaystyle n\ }$ tal que ${\displaystyle nx>y\ }$.

Grupo[editar]

Sea (G,+,≤) un grupo conmutativo totalmente ordenado.

(G,+,≤) verifica el axioma de Arquímedes (o es arquimediano) si y solo si:

para cualesquiera elementos a > 0 y b ≥ 0 de G,  existe un número natural n tal que n × a ≥ b.

Formalmente, esto se escribe: ${\displaystyle \forall (a,b)\in G^{2},(a>0,b\geq 0)\Rightarrow \exists n\in \mathbb {N} {\text{ tal que }}\underbrace {a+a+...+a} _{\text{n veces}}\geq b}$

Anillo[editar]

Sea (A,+,×,≤ ) un anillo totalmente ordenado.

(A,+,×,≤) verifica el axioma de Arquímedes (o es arquimediano) si y solo si el grupo conmutativo (A,+,≤) es arquimediano.

Cuerpo[editar]

Sea (K,+,×,≤) un cuerpo totalmente ordenado.

(K,+,×,≤) verifica el axioma de Arquímedes (o es arquimediano) si y solo si el grupo conmutativo (K,+,≤) es arquimediano. Tal cuerpo es isomorfo a un subcuerpo del cuerpo de los reales (R,+,×,≤).²​

Se dice que un cuerpo ordenado K es arquimediano sobre un subcuerpo con el orden inducido F, si para todo β de K hay un y de F con |β| < y, donde se considera valor absoluto de β.

 biholomorfismo o función biholomorfa es una función holomorfa biyectiva cuya inversa también es holomorfa .

Formalmente, una función biholomorfa es una función ${\displaystyle \phi }$ definido en un subconjunto abierto ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle n}$ norte-el espacio complejo dimensional ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$con valores en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ que es holomorfo y uno a uno , de modo que su imagen es un conjunto abierto ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ y el inverso ${\displaystyle \phi ^{-1}:V\to U}$ También es holomorfa. De manera más general, U y V pueden ser variedades complejas . Como en el caso de las funciones de una sola variable compleja, una condición suficiente para que un mapa holomórfico sea biholomórfico en su imagen es que el mapa es inyectivo, en cuyo caso el inverso también es holomórfico (por ejemplo, véase Gunning 1990, Teorema I. 11).

Si existe un biholomorfismo ${\displaystyle \phi \colon U\to V}$, decimos que ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ son biholomorphically equivalentes o que son biholomórfico.

Teorema de mapeo de Riemann y generalizaciones[editar]

Si ${\displaystyle n=1,}$ cada conjunto abierto simplemente conectado que no sea todo el plano complejo es biholomorfo al disco unidad (este es el teorema de mapeo de Riemann). La situación es muy diferente en dimensiones más altas. Por ejemplo, las bolas unitarias abiertas y los polidiscos unitarios abiertos no son biholomorfamente equivalentes para ${\displaystyle n>1.}$. De hecho, no existe ni siquiera una función holomorfa adecuada de uno a otro.

Definiciones alternativas[editar]

En el caso de los mapas f : ${\displaystyle U}$ → ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definidos en un subconjunto abierto ${\displaystyle U}$ del plano complejo ${\displaystyle \mathbb {C} }$, algunos autores (p. e., Freitag 2009, Definición IV.4.1) definen un mapa conforme como un mapa inyectivo con derivada distinta de cero, es decir, f '( z ) ≠ ${\displaystyle 0}$ para cada z en ${\displaystyle U}$. De acuerdo con esta definición, un mapa f : ${\displaystyle U}$ → C es conforme si y solo si f : U → f ( U) es biholomorfa. Otros autores (p. Ej., Conway 1978) definen un mapa conforme como uno con derivada distinta de cero, sin requerir que el mapa sea inyectivo. De acuerdo con esta definición más débil de conformalidad, un mapa conforme no necesita ser biholomórfico a pesar de que es localmente biholomorfa. Por ejemplo, si ${\displaystyle f:U}$ → ${\displaystyle U}$ se define por ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ con ${\displaystyle U}$ = ${\displaystyle \mathbb {C} }$ - {0}, entonces f es conforme en ${\displaystyle U}$ , ya que su derivada f '( z ) = 2 z ≠ 0, pero no es biholomorphic, ya que es 2-1.

conjetura jacobiana es un problema famoso en polinomios en varias variables. Fue planteada por primera vez en 1939 por Ott-Heinrich Keller.¹​ Fue ampliamente publicitada  por Shreeram Abhyankar, como un ejemplo de una cuestión en el área de geometría algebraica que requiere un poco más allá de conocimiento de cálculo para formularla.²​

La conjetura jacobiana es notoria por el gran número de intentos de demostraciones que contienen errores sútiles. Hasta el 2018, no hay afirmaciones verosímiles de haberla probado. Incluso en el caso dos dimensional  ha resistido todos los esfuerzos. No se conocen razones convincentes para creer que sea verdad, y de acuerdo a van den Essen, Arno (1997), hay algunas sospechas que la conjetura es de hecho falsa para varias variables . La conjetura Jacobiana es el problema 16 en lista de Problemas Matemáticos para el Próximo Siglo establecida por Stephen Smale en 1998.³​⁴​

El determinante Jacobiano[editar]

Sea ${\displaystyle n>1}$un entero fijo y considere los polinomios ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$en las variables ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$con coeficientes en un cuerpo ${\displaystyle K}$. Entonces definimos la función ${\displaystyle F:K^{n}\to K^{n}}$como

${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}))}$.

El determinante Jacobiano de ${\displaystyle F}$denotado por ${\displaystyle JF}$es definido como el determinante de la matriz Jacobiana consistente de las derivadas parciales de ${\displaystyle f_{i}}$con respecto a las variables ${\displaystyle x_{j}}$:

${\displaystyle {\displaystyle JF=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\end{matrix}}\right|}}$,

entonces ${\displaystyle JF}$es en sí mismo una función polinomial con respecto a las variables ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}.}$

Formulación de la Conjetura[editar]

De la regla de la cadena multivariable se desprende que si ${\displaystyle F}$ tiene una función inversa polinómica ${\displaystyle G:K^{n}\to K^{n},}$entonces ${\displaystyle JF}$tiene un polinomio recíproco, así que es una constante distinta de cero. La conjetura Jacobiana establece un resultado converso de lo expresado anteriormente:

Conjetura Jacobiana: si ${\displaystyle JF}$es una constante distinta de cero y ${\displaystyle K}$tiene característica cero, entonces ${\displaystyle F}$tiene una función inversa ${\displaystyle G:K^{n}\to K^{n}}$la cual también tiene componentes polinomiales.