GEOMETRÍA

FIGURAS GEOMÉTRICAS - CURVAS

Trocoide, en geometría analítica, es una curva del plano, determinada por un punto fijo de una circunferenciallamada generatriz, la misma que rueda, tangencialmente, sin resbalar sobre una recta nombrada directriz.

Una cicloide es un caso particular de trocoide.

La palabra proviene de la raíz griega trokos (rueda), un término propuesto por el matemático Roberval (1602-1675).

Al generarse la curva trocoide, el centro de la circunferencia se desplaza paralelamente a la recta directriz.

Las ecuaciones paramétricas de la trocoide, cuando la recta directriz es el eje X, son las siguientes:

${\displaystyle x=a\theta -b\sin(\theta )\,}$

${\displaystyle y=a-b\cos(\theta )\,}$

donde ${\displaystyle \theta }$ es la variable del ángulo que describe la circunferencia de radio a, y la distancia del centro al punto P es b.

Dependiendo de donde se encuentra ${\displaystyle P}$ respecto de la circunferencia generatriz, se llama:

• cicloide acortada, si ${\displaystyle P}$ se encuentra en el interior de la circunferencia generatriz, ${\displaystyle (b$ ,
• cicloide común, cuando ${\displaystyle P}$ pertenece a la circunferencia generatriz, ${\displaystyle (a=b)}$,
• cicloide alargada, en el caso de que ${\displaystyle P}$ esté en el exterior de la circunferencia generatriz, ${\displaystyle (b>a)}$.

Ejemplos[editar]

Una trocoide acortada puede ser descrita por el movimiento del pedal de una bicicleta (respecto de la carretera).

Las partículas de agua de las olas, describen un movimiento trocoidal respecto del fondo de mar .

Una elipse (en rojo) y su evoluta(en azul). Los puntos son los vértices de la curva, cada uno correspondiente a una cúspide en la evoluta.

En la geometría de las curvas planas, un vértice es un punto donde la primera derivada de la curvatura es cero.¹​ Es un caso clásico de máximo o mínimo local del valor de la curvatura.²​ Algunos autores definen más específicamente un vértice como un punto de curvatura extrema local.³​ Sin embargo, pueden ocurrir otros casos especiales, como por ejemplo cuando la segunda derivada también es cero, o cuando la curvatura es constante. Para curvas espaciales, por otro lado, un vértice es un punto donde la torsión se anula.

Una hipérbola tiene dos vértices, uno en cada rama; son los más cercanos a dos puntos que se encuentren en las ramas opuestas de la hipérbola y sobre el eje principal. En una parábola, el único vértice se encuentra en el eje de simetría y en una curva cuadrática de la forma:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}$

se puede encontrar completando el cuadrado o por diferenciación.²​ En una elipse, dos de los cuatro vértices se encuentran en el eje mayor y dos se encuentran en el eje menor.⁴​

Para un circunferencia, que tiene una curvatura constante, cada punto es un vértice.

Cúspides y osculación[editar]

Los vértices son puntos donde la curva tiene contacto de orden 4 con la circunferencia osculatriz en ese punto.⁵​⁶​ En contraste, los puntos genéricos en una curva generalmente solo tienen un contacto de orden 3 con su círculo osculador. La evoluta de una curva tendrá genéricamente un cúspide cuando la curva tenga un vértice;⁶​ otras singularidades más degeneradas y no estables se pueden producir en vértices de orden superior, en los que el círculo de osculación tiene un contacto de orden superior a cuatro.⁵​ Aunque una sola curva genérica no tendrá vértices de orden superior, se producirán genéricamente dentro de una familia de curvas de un parámetro, en la curva de la familia para la que dos vértices ordinarios se unen para formar un vértice superior hasta que se superponen.

El conjunto simétrico de una curva tiene puntos finales en las cúspides correspondientes a los vértices, y el eje medio, un subconjunto del conjunto simétrico, también tiene sus puntos finales en las cúspides.

Otras propiedades[editar]

De acuerdo con el teorema de los cuatro vértices clásico, cada curva suave, plana, cerrada y simple, debe tener al menos cuatro vértices.⁷​ Un hecho más general es que cada curva cerrada simple del espacio que se encuentra en la superficie de un cuerpo convexo, o incluso limita un disco localmente convexo, debe tener cuatro vértices.⁸​

Si una curva plana es bilateralmente simétrica, tendrá un vértice en el punto o puntos donde el eje de simetría cruza la curva. Por lo tanto, la noción de un vértice para una curva está estrechamente relacionada con la de un vértice óptico, el punto donde un eje óptico cruza la superficie de una lente.

La Vesica Piscis.

La vesica piscis (vejiga de pez en latín) es un símbolo hecho con dos círculos del mismo radio que se intersecan de manera que el centro de cada círculo está en la circunferencia del otro. Esta forma se denomina también mandorla (que significa "almendra" en italiano).

Era un símbolo conocido en las antiguas civilizaciones de Mesopotamia, África y Asia.

Tapa del Pozo del Cáliz con un trabajo artístico de la vesica piscis.

En diversos periodos de la historia ha sido tema de especulaciones místicas; probablemente los primeros fueron los Pitagóricos, que la consideraban una figura sagrada. La razón matemática de su anchura (medida por los puntos extremos del "cuerpo", sin incluir la "cola") por su altura fue aproximada por el cociente 265:153. Esta razón, que da 1,73203, se consideró un número sagrado llamado la medida del pez. Exactamente, la razón geométrica de estas dimensiones es la raíz cuadrada de 3, o 1,73205... (ya que si se traza la línea recta que une los centros de ambos círculos, junto con los dos puntos donde los círculos se intersecan, se obtienen dos triángulos equiláteros unidos por un lado). El cociente 265:153 es una aproximación a la raíz cuadrada de 3, y tiene la propiedad de que no se puede obtener ninguna aproximación mejor con números más pequeños. El número 153 aparece en el Evangelio de Juan (21:11) como el número de peces que Jesús hizo que se capturaran en la milagrosa captura de los peces, lo que algunos consideran como una referencia cifrada de las creencias pitagóricas. Coventry Patmoreescribió un poema titulado Vessica Piscis, en la parte XXIV del Libro I de su ciclo The Unknown Eros (El Eros desconocido, 1877).¹​²​³​⁴​⁵​

Jesús dentro de una forma de vesica piscis o mandorla en un manuscrito medieval iluminado -en las esquinas de la mandorla dentro de sus cuatro respectivos círculos están las alegorías de los cuatro evangelistas.

Usos de la forma[editar]

En el arte cristiano, algunas aureolas tienen la forma de una vesica piscis vertical, y hay algunos sellos de organizaciones eclesiásticas que están rodeados de una vesica piscis vertical (en vez de la más usual forma circular).

La tapa del pozo del Cáliz de Glastonbury (Somerset) contiene una versión estilizada del diseño de una vesica piscis.