GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Tres superficies con curvatura gaussiana negativa (izquierda), cero (centro) y positiva (derecha).

La curvatura gaussiana de una superficie es un número real ${\displaystyle K}$(P₀) que mide la curvatura intrínseca en cada punto regular P₀ de una superficie. Esta curvatura puede calcularse a partir de los determinantes de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie:

${\displaystyle K(P_{0})={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}={\frac {b_{11}b_{22}-{b_{12}}^{2}}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^{2}}}}$

Esta curvatura gaussiana en general varía de un punto a otro de la superficie y está relacionada con las curvaturas principales de cada punto (k₁ y k₂), mediante la relación K= k₁k₂.

Un caso interesante de superficie es la esfera, que tiene la misma curvatura en todos sus puntos. Calculando la curvatura de Gauss de una esfera (2-esfera). A partir de la fórmula anterior se llega fácilmente a que para una esfera de radio r, la curvatura gaussiana es igual en todos los puntos e igual a ${\displaystyle K(S^{2})=1/r^{2}>0\;}$.

Si bien observamos que hay superficies que tienen curvatura constante, la curvatura gaussiana debe verse como una relación ${\displaystyle K:S\to K(S)}$ donde ${\displaystyle K(S)\in C^{1}(S,\mathbb {R} )}$ (una función diferenciable sobre S) que asigna a cada superficie su función de curvatura gaussiana.
La manera actual de definir la curvatura gaussiana es mediante el operador de forma (del inglés shape operator) de la superficie S:

${\displaystyle N\colon S\to S^{2}\qquad }$, definido mediante ${\displaystyle N(p)={\frac {\partial _{u}\times \partial _{v}}{\|\partial _{u}\times \partial _{v}\|}}|_{p}}$

Donde ${\displaystyle \partial _{u},\partial _{v}}$ son los vectores tangentes coordenados y están siendo evaluados en la posición p.

Con la derivada (jacobiano) del operador de forma

${\displaystyle L(p)=N'(p):T_{p}S\to T_{N(p)}S^{2}}$

uno obtiene una transformación lineal auto-adjunta -llamada transformación de Weingarten- y así, la curvatura gaussiana es determinante de L, i.e.

${\displaystyle K(p)=\det[L(p)]\,}$

Es relativamente fácil verificar que coincide con la definición dada arriba.

En términos de los componentes del tensor de curvatura de Riemann para las 2-variedad diferenciables, uno encuentra la relación

${\displaystyle K={\frac {R_{1212}}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^{2}}}={\frac {h_{11}h_{22}-{h_{12}}^{2}}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^{2}}}}$

Ejemplo, la curvatura gaussiana de un toro es ${\displaystyle {\frac {\cos v}{2+\cos v}}}$ donde se ha usado la parametrización:

${\displaystyle (v,w){\stackrel {\phi }{\to }}((2+\cos v)\cos w,(2+\cos v)\sin w,\sin v)}$

curvatura escalar de una superficie es el doble de la familiar curvatura gaussiana. Para las variedades riemannianas de dimensión más alta (n > 2), es el doble de la suma de todas las curvaturasseccionales a lo largo de todos los 2-planos atravesados por un cierto marco ortonormal. Matemáticamente, la curvatura escalar o escalar de curvatura, que suele designarse con las letras R o S, coincide también la trazatotal de la curvatura de Ricci así como del tensor de curvatura.

Expresión en componentes[editar]

El escalar de curvatura de Ricci R puede expresarse fácilmente en términos del tensor métrico ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$(y sus primeras derivadas ) que define la geometría de la superficie o variedad riemanniana cuyo escalar de curvatura pretendemos encontrar, usando el convenio de sumación de Einstein:

${\displaystyle R=-g^{\mu \nu }\left[\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\sigma }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }\Gamma _{\nu \lambda }^{\sigma }\right]-\partial _{\nu }\left[g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\Gamma _{\mu \sigma }^{\nu }\right]}$

Donde los símbolos de Christoffel que aparecen en la expresión anterior se calculan a partir de las primeras derivadas de los componentes del tensor métrico:

${\displaystyle \Gamma _{kl}^{i}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)}$

La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Definición de derivación[editar]

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable y ${\displaystyle p\in M}$, llamaremos derivación en el punto ${\displaystyle p_{}^{}}$ a

${\displaystyle \forall \delta _{p}:{\mathcal {F}}(M)\longrightarrow {}\mathbb {R} }$ aplicación ${\displaystyle \mathbb {R} -}$lineal, es decir:

${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M),\forall \lambda \in \mathbb {R} ,}$

• ${\displaystyle \delta _{p}^{}(g+f)=\delta _{p}(g)+\delta _{p}(f)^{},}$

• ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\lambda f)=\lambda \delta _{p}(f)^{}.}$

y tal que ${\displaystyle \delta _{p}(f\cdot g)=}$${\displaystyle \delta _{p}(f)g_{|p}+f_{|p}\delta _{p}(g),}$ ${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$, es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$ es el conjunto de funciones diferenciables en ${\displaystyle M_{}^{}}$, y es un ${\displaystyle \mathbb {R} -}$álgebra conmutativa, (es un ${\displaystyle \mathbb {R} -}$espacio vectorial).

${\displaystyle f_{|p}^{}}$ es equivalente a ${\displaystyle f(p)_{}^{}}$, es decir, ${\displaystyle f_{}^{}}$ evaluado en el punto ${\displaystyle p_{}^{}.}$

Ejemplos de derivación[editar]

La derivada parcial[editar]

Sea ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle p\in M}$, veamos que la aplicación siguiente es derivación:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial \;\cdot }{\partial x_{i}}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \;.\\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}\end{matrix}}}$

Demostración

Veamos primero que es ${\displaystyle \mathbb {R} -}$lineal, es decir, que ${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)\;y\;\forall \lambda \in \mathbb {R} }$ vemos que:

• ${\displaystyle {\frac {\partial (f+g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}+{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p},}$

• ${\displaystyle {\frac {\partial (\lambda g)}{\partial x_{i}}}_{|p}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.}$

Veamos finalmente que es una derivación:

${\displaystyle {\frac {\partial (f\cdot g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.}$

Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

La derivada direccional[editar]

Sea ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n},\;p\in M\;y\;v\in M:||v||=1}$, de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{matrix}}.}$

Derivación en variedades[editar]

Artículo principal: Aplicación progrediente

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable y ${\displaystyle p\in M}$, llamaremos espacio tangente a ${\displaystyle M_{}^{}}$ en ${\displaystyle p_{}^{}}$ al ${\displaystyle \mathbb {R} -}$espacio vectorial de las derivaciones de ${\displaystyle M_{}^{}}$en ${\displaystyle p_{}^{}}$, notado por ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}M}$, y sus elementos se llamaran vectores tangentes a ${\displaystyle M_{}^{}}$ en ${\displaystyle p_{}^{}.}$

Consecuencias[editar]

Propiedad de la derivación de una función localmente constante[editar]

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${\displaystyle p\in M}$, ${\displaystyle \forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$ y ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)}$ tal que ${\displaystyle \exists {}U_{}^{}}$ entorno abierto en ${\displaystyle p_{}^{}}$ donde ${\displaystyle f(x)=\lambda }$, ${\displaystyle \forall x\in M}$, entonces tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}f=0.}$

Demostración

Por linealidad de ${\displaystyle \delta _{p}^{}}$ tenemos

${\displaystyle \delta _{p}(f)=\delta _{p}(\lambda )=\delta _{p}(\lambda \cdot 1)=}$ ${\displaystyle \lambda \delta _{p}(1),}$

aquí aplicando la condición de derivación a ${\displaystyle \delta _{p}^{}(1)}$ tenemos

${\displaystyle \delta _{p}(1)=\delta _{p}(1\cdot 1)=}$ ${\displaystyle \delta _{p}(1)1+1\delta _{p}^{}(1)=}$ ${\displaystyle \delta _{p}(1)+\delta _{p}^{}(1),}$

de simplificar, este último, resulta ${\displaystyle \delta _{p}^{}(1)=0}$ aplicadolo al anterior resulta que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=0.}$

Ejemplo[editar]

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$:

• la función meseta ${\displaystyle \rho }$ asociada a ${\displaystyle (p,V)_{}^{}}$, donde ${\displaystyle \rho (x)=1,}$ ${\displaystyle \forall x\in k\subset V,\;k}$ compacto cuyo interior contiene a ${\displaystyle p_{}^{}.}$

Propiedad de la derivación del producto con la función meseta[editar]

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${\displaystyle p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$, ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)}$ y ${\displaystyle \rho }$ una función meseta asociada a ${\displaystyle (p,V)_{}^{}}$, tenemos que:

${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(f).}$

Demostración

Aplicando la regla de Leibniz tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=}$${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho )f(p)+\rho (p)\delta _{p}(f)}$, por la propiedad anterior tenemos que ${\displaystyle \ delta_{p}^{}(\rho \cdot f)=}$${\displaystyle 0\cdot f(p)+1\cdot \delta _{p}^{}(f)=}$${\displaystyle \delta _{p}^{}(f).}$

Propiedad[editar]

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${\displaystyle p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$ y ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$ tal que ${\displaystyle \exists {}V_{}^{}}$ entorno abierto en ${\displaystyle p_{}^{}}$donde ${\displaystyle f_{|V}^{}=g_{|V}}$, entonces tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=\delta _{p}(g)}$.

Demostración

Sea ${\displaystyle \rho }$ una función meseta asociada a ${\displaystyle (p,V)_{}^{}}$, tenemos así que ${\displaystyle \rho \cdot f=\rho \cdot g_{}^{}}$ en todo ${\displaystyle M_{}^{}}$ también ${\displaystyle \rho \cdot f,\rho \cdot g\in {\mathcal {F}}(M)}$ por tanto ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(\rho \cdot g)}$ y por la propiedad anterior tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=\delta _{p}(g).}$