GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

campo espinorial es un tipo de campo físico que generaliza los conceptos de campos vectoriales y tensoriales. Si un campo tensorial es un tipo de representación lineal del grupo de Lorentz ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, un campo espinorial es una representación de su recubridor universal, el grupo lineal especial ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$.

Muchas magnitudes físicas representables mediante campos tensoriales pueden representarse también matemáticamente por campos espinoriales de manera equivalente. Sin embargo algunos campos espinoriales no admiten análogos tensoriales. En ese sentido los campos espinoriales generalizan los campos vectoriales y tensoriales, que pueden ser vistos como casos particulares de magnitudes espinoriales. La mecánica cuánticahace un uso extensivo de los campos espinoriales sin análogo clásico.

Introducción[editar]

Los vectores y tensores pueden ser vistos como espacios vectoriales reales asociados a una cierta representación de grupo del grupo de Lorentz, por lo que sus componentes varían de cierta manera peculiar cuando se expresan respecta a una base vectorial o una base rotada respecto a la anterior por ejemplo. Los espinores son espacios vectoriales complejos asociados a representaciones de grupo del espacio recubridor universal del grupo de Lorentz, es decir, ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ o más exactamente de su álgebra de Lie.

Un campo espinorial se caracteriza por dos peculiaridades:

• Las medidas obtenidas por dos observadores inerciales de un mismo campo tensorial, están relacionadas por leyes de transformación asociadas a una representación de grupos de Lie ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ o ${\displaystyle SU(2,\mathbb {C} )}$ (Los campos vectoriales y tensoriales se transforman según representaciones de ${\displaystyle SO(3,1,\mathbb {R} )}$ o ${\displaystyle SO(3,\mathbb {R} )}$).
• Las únicas magnitudes físicas directamente medibles son funciones "cuadráticas" de las componentes del campo (éstas si se transforman de acuerdo a ${\displaystyle SO(3,1,\mathbb {R} )}$ y ${\displaystyle SO(3,\mathbb {R} )}$).

Matemáticamente los espinores más simples son vectores cuyas componentes son números complejos (la dimensión vectorial sobre los complejos de un espacio de espinores de Weyl es dos, mientras que para los espinores de Dirac es cuatro). La diferencia entre un campo vectorial y un campo espinorial es la ley de transformación de componentes según diferentes observadores. Técnicamente un campo espinorial es una sección del fibrado espinorial del espacio-tiempo.

Formalmente, un campo espinorial es un campo tal que toma valores sobre un espacio vectorial, sobre el que se ha definido una representación del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. El tipo más sencillo vector de dos componentes complejas (espinor ordinario o de dos componentes), cuyas componentes para diferentes observadores están relacionadas mediante matrices que constituyen una representación de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$. Además en la descripción de fermiones y neutrinos es común el uso de espinores de cuatro componentes (espinor de Dirac).

Motivación matemática[editar]

Las simetrías de un problema físico requieren que ciertas ecuaciones y entidades que representan magnitudes físicas, sean invariantes bajo la acción de un grupo sobre cierto conjunto de entes matemáticos. En relatividad especial el espacio-tiempo de Minkowski tiene al grupo de Poincaré como grupo de simetría. Debido a que dicho el grupo de Lorentz es un subgrupo del grupo de Poincaré, la covariancia de una teoría relativista requiere que una acción del grupo de Lorentz deje invariante ciertas expresiones de la teoría. Los aspectos cuánticos de la teoría requieren considerar representaciones proyectivas de dicho grupo.

Un teorema de Wigner lleva a que las representaciones proyectivas de un grupo de Lie, pueden obtenerse a partir de la representaciones ordinarias de su recubridor universal. Los recubridores universales del grupo de Lorentz ${\displaystyle SO(3,1,\mathbb {R} )}$ y del grupo de rotaciones espaciales ${\displaystyle SO(3,\mathbb {R} )}$ son respectivasmente ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ y ${\displaystyle SU(2,\mathbb {C} )}$.

La motivación es que los grupos de Lie ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ y ${\displaystyle SU(2,\mathbb {C} )}$ son además de compactos, simplemente conexos, puesto que el tratamiento cuántico de un campo físico requiere estudiar las representaciones proyectivas del grupo de simetría asociado al campo. Además resulta que las representaciones proyectivas de un grupo de Lie se reducen a las representaciones ordinarias de su recubridor universal. Así substituir los grupos ${\displaystyle SO(3,1,\mathbb {R} )}$ y ${\displaystyle SO(3,\mathbb {R} )}$ por sus recubridores universales ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ y ${\displaystyle SU(2,\mathbb {C} )}$ resuelve el problema de determinar todas la representaciones proyectivas irreducibles de los dos primeros grupos.

Motivación física[editar]

En teoría cuántica de campos cualquier tipo de partícula material es tratada como un campo. Los dos tipos básicos de partículas son los bosones y los fermiones, los primeros pueden ser descritos adecuadamente mediante campos vectoriales o tensoriales mientras que los segundos sólo pueden ser descritos mediante campos espinoriales. Eso se sigue del teorema de Wigner y del teorema espín-estadística.

Espinores en relatividad especial[editar]

Espinores de Weyl[editar]

Los espinores de Weyl toman valores sobre ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} ^{2}}$. Como campos espinoriales no son directamente medibles ya que sólo medibles combinaciones cuadráticas o con que son un producto de un número par de componentes de espinores de Weyl. Por ejemplo la densidad de electrones es de ese tipo. Existen dos tipos de espinores de Weyl usualmente llamados espinores dextrógiros y espinores levógiros. Cada uno de estos tipos de espinores está asociado a dos representaciones del álgebra de Lie del grupo de Lorentz diferentes, aunque ambas tienen la misma dimensión. Dados dos campos espinoriales uno dextrógiro (D) y otro levógiro (L), sus leyes de transformación de componentes vienen dadas por:

${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{D}(x)\to &D_{0,1/2}(\Lambda )\psi _{D}(\Lambda ^{-1}x)\\\psi _{L}(x)\to &D_{1/2,0}(\Lambda )\psi _{L}(\Lambda ^{-1}x)\end{cases}},\quad \Lambda \in SO(1,3,\mathbb {R} ),\ D_{i,j}:SO(1,3,\mathbb {R} )\to gl(\mathbb {C} ^{2})}$

La distinción anterior puede explicarse en los siguientes términos: las representaciones del álgebra de Lie complejificada del grupo de Lorentz ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \otimes {\mathfrak {so}}(3,1,\mathbb {R} )}$ pueden reducirse a las representaciones irreducibles de ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \otimes {\mathfrak {su}}(2)}$ya que dicha álgebra pude considerarse como la suma directa de dos álgebras isomorfas:

${\displaystyle \mathbb {C} \otimes {\mathfrak {so}}(3,1,\mathbb {R} )=(\mathbb {C} \otimes {\mathfrak {su}}(2))\oplus (\mathbb {C} \otimes {\mathfrak {su}}(2))}$

La notación ${\displaystyle \scriptstyle D_{i,j}}$ se refiere a los pesos i y j de la representación en cada uno de los dos espacios ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \otimes {\mathfrak {su}}(2)}$.

Espinores de Dirac[editar]

Un espinor de Dirac no es otra cosa que un elemento del doble producto cartesiano de un espacio de espinores ordinarios o espinores de Weyl:

${\displaystyle \psi _{Dirac}(x)={\begin{bmatrix}\psi _{D}(x)\\\psi _{L}(x)\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{2}\times \mathbb {C} ^{2}}$

Los espinores de Dirac también pueden usarse para representarse espinores de Weyl. Para los espinores de Dirac pueden escogerse diferentes interpretaciones en función de la forma que se tome para las matrices de Dirac. La representación de Weyl para las matrices de Dirac es la más conveniente para calcular transformaciones de Lorenz de espinores porque en ella las componentes

Desde un punto de vista elemental campo espinorial de Dirac es un campo vectorial de cuatro componentes complejas, tal que sus componentes medidas por diferentes observadores están relacionadas por relaciones definibles en términos de espinores ordinarios.

 campo fermiónico es un campo cuántico cuyo cuanto es el fermión; es decir, obedece a la estadística de Fermi-Dirac. Los campos fermiónicos obedecen relaciones de anticonmutación canónica en lugar de las relaciones de conmutación canónicas de campos bosónicos.

El ejemplo más prominente de campo fermiónico es el campo de Dirac, que describe fermiones con espín-1/2 de: electrones, protones y cuarks. El campo de Dirac puede ser descrito como un campo espinorial de 4- componentes o como un par de espinores de Weyl de 2 componentes. Los fermiones de Majorana espín-1/2, tales como el hipotético Neutralino, pueden describirse como un espinor de Majorana dependiente de 4 componentes o un solo espinor de Weyl de 2 componentes. No se sabe si el Neutrino es un fermión de Majorana o un fermión de Dirac (véase también los esfuerzos experimentales para determinar esto en el fenómeno de doble desintegración beta).

Propiedades básicas[editar]

Los campos fermiónicos libres (no interactuantes) obedecen relaciones de anticonmutación canónica, es decir, implican el anticommutator{a,b} = ab + ba en lugar del conmutador [a,b] = ab − ba de la mecánica cuántica estándar o bosónica. Esas relaciones se mantienen también para campos fermiónicos interactuantes entre sí en el escenari de interacción, donde los campos evolucionan en el tiempo como si fuesen libres y los efectos de interacción estuviesen codificados en la evolución de los estados.

Son estas relaciones anticonmutación que implican la estadística de Fermi-Dirac para los cuantos del campo. También resultan en el principio de exclusión de Pauli: dos partículas fermiónicas no pueden ocupar el mismo estado al mismo tiempo.

Campos de Dirac[editar]

El ejemplo más destacado de campo fermiónico espin-1/2 es el campo de Dirac (en honor de Paul Dirac) y se denota por ψ (x). La ecuación del movimiento para un campo libre es la ecuación de Dirac ,

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi (x)=0,\,}$

donde γ^μ son matrices gamma y m es la masa. Las soluciones más simples posibles para esta ecuación son soluciones de onda plana, ${\displaystyle \psi _{1}(x)=u(p)e^{-ip.x}\,}$ y ${\displaystyle \psi _{2}(x)=v(p)e^{ip.x}\,}$. Estas soluciones de onda plana forman una base para los componentes de Fourier de ψ (x), lo que permite la expansión general del campo de Dirac como sigue,

${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\textbf {p}}^{s}u^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\textbf {p}}^{s\dagger }v^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}$

Las etiquetas a y b son índices espinoriales y la etiqueta s representa el índice de espín, así que consecuentemente para el electrón, partícula de espín 1/2, s =+1/2 o s =−1/2. El factor de energía es el resultado de tener una medida de integración invariante de Lorentz. Ya que ψ (x) puede ser considerado como un operador, los coeficientes de sus modos de Fourier deben ser operadores. Por lo tanto, ${\displaystyle a_{\textbf {p}}^{s}}$ y ${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{s\dagger }}$ son operadores. Las propiedades de estos operadores se pueden discernir de las propiedades del campo. Ψ (x) y ${\displaystyle \psi (y)^{\dagger }}$obedecer las relaciones anticonmutación

${\displaystyle \{\psi _{a}({\textbf {x}}),\psi _{b}^{\dagger }({\textbf {y}})\}=\delta ^{(3)}({\textbf {x}}-{\textbf {y}})\delta _{ab}\,.}$

Colocando las expansiones para ψ (x) y ψ (y), se pueden calcular las relaciones anticonmutación para los coeficientes.

${\displaystyle \{a_{\textbf {p}}^{r},a_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=\{b_{\textbf {p}}^{r},b_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}({\textbf {p}}-{\textbf {q}})\delta ^{rs}.\,}$

De manera análoga a la aniquilación no relativista y a los operadores de creación y sus conmutadores, estos álgebras conducen a la interpretación física que ${\displaystyle a_{\textbf {p}}^{s\dagger }}$ crea un fermión de impulso p y espín s, y ${\displaystyle b_{\textbf {q}}^{r\dagger }}$ crea un antifermión de impulso q y espín r. El campo general ψ (x) se ve ahora que es una suma ponderada (por el factor de energía) sobre todos los posibles espines y momentos para la creación de fermiones y antifermiones. Su campo conjugado, ${\displaystyle {\bar {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$, es todo lo contrario, una suma ponderada de todos los posibles espines y momentos para aniquilar fermiones y antifermiones.

Con los modos de campo entendidos y el campo conjugado definido, es posible construir las cantidades invariantes de Lorentz para campos fermiónicos. Lo más sencillo es la cantidad ${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}$. Esto hace que la razón de la elección de ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ sea clara. Esto es porque la transformación general de Lorentz en ψ no es unitaria, así que la cantidad ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$ no sería invariante bajo tales transformaciones, por lo que la inclusión de ${\displaystyle \gamma ^{0}\,}$ sería para corregir esto. La otra posible cantidad invariante de Lorentz no nulo, hasta una conjugación total, construible a partir de los campos fermiónicos es ${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$.

Como combinaciones lineales de esas cantidades son también invariantes de Lorentz, esto conduce naturalmente a la densidad de Lagrange para el campo de Dirac por el requisito de que la ecuación de Euler-Lagrange del sistema recupere la ecuación de Dirac.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi \,.}$

Esta expresión tiene sus índices suprimidos. Cuando se reintrodujo la plena expresión es

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}_{a}(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab})\psi _{b}\,.}$

Dada la expresión para ψ (x) podemos construir el propagador de Feynman del campo fermiónico:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))|0\rangle \,,}$

definimos el producto ordenado en el tiempo para fermiones con un signo menos debido a su naturaleza anticonmutativa

${\displaystyle T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \theta (x^{0}-y^{0})\psi (x){\bar {\psi }}(y)-\theta (y^{0}-x^{0}){\bar {\psi }}(y)\psi (x).}$

Al enchufar nuestra expansión de la onda de plano para el campo de fermiónico en la ecuación anterior se obtiene:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}\,,}$

donde hemos empleado la notación de slash de Feynman. Este resultado tiene sentido ya que el factor

${\displaystyle {\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}}},}$

es simplemente el inverso del operador actuando sobre ψ (x) en la ecuación de Dirac. Tenga en cuenta que el propagador de Feynman para el campo de Klein–Gordon tiene esta misma propiedad. Debido a que todas las observables razonables (como energía, carga, número de partículas, etc.) están construidos en un número par de campos fermiónicos, desaparece la relación de conmutación entre cualesquiera dos observables en los puntos del espacio-tiempo, fuera del cono de luz. Como sabemos por la mecánica cuántica elemental, dos observables que conmutan al mismo tiempo, pueden medirse simultáneamente. Hemos, por tanto, implementado correctamente la invariancia de Lorentz para el campo de Dirac y conservado la causalidad .

Teorías de campo más complicadas, que implican interacciones (como en la teoría de Yukawa o la electrodinámica cuántica) pueden ser analizadas también por varios métodos perturbativos y no perturbativos.

Los campos de Dirac son un ingrediente importante del Modelo Estándar.