GEOMETRÍA

GEOMETRÍA ALGEBRAICA

 teoría de Donaldson-Thomas es la teoría de los invariantes Donaldson-Thomas. Dado un espacio modular compacto de haces en una variedad de Calabi-Yautriple, su invariante Donaldson-Thomas es el número virtual de sus puntos, es decir, la integral de la cohomología clase 1 contra la clase fundamental virtual. El invariante Donaldson-Thomas es un equivalente holomorfo de la invariante Casson. Los invariantes fueron introducidos por Simon Donaldson y Richard Thomas en 1998. Los invariantes Donaldson-Thomas tienen estrechas relaciones con los invariantes Gromov-Witten de los triples algebraicos y con la teoría de las parejas estables debida a Pandharipande y Thomas.

La teoría de Donaldson-Thomas está motivada físicamente por ciertos estados BPS que se producen en la teoría de cuerdas y en la teoría de campo de gauge.

La idea básica de los invariantes Gromov-Witten es sondear la geometría de un espacio mediante el estudio de mapas de superficies de Riemann a un objetivo suave. La pila de módulos de todos estos mapas admite una clase fundamental virtual, y la teoría de intersección en esta pila produce invariantes numéricos que a menudo pueden contener información enumerativa. En el mismo espíritu, el enfoque de la teoría de Donaldson-Thomas es el estudio de las curvas en un triple algebraico por sus ecuaciones. Más exactamente, mediante el estudio de haces ideales en un espacio. Este espacio de módulos también admite una clase fundamental virtual y produce ciertos invariantes numéricos que son enumerativos.

Mientras que en la teoría de Gromov-Witten, los mapas pueden ser múltiples cubiertas y componentes colapsados de la curva de dominio, la teoría de Donaldson-Thomas permite la información nilpotente contenida en los haces, sin embargo, estos son invariantes de valor entero. Hay conjeturas profundas debidas a Maulik, Okounkov, Nekrasov y Pandharipande, probadas con creciente generalidad, que las teorias Gromov-Witten y Donaldson-Thomas de triples algebraicos son en realidad equivalentes. Más concretamente, sus funciones generadoras son iguales después de un cambio apropiado de variables. Para triples Calabi-Yau, los invariantes Donaldson-Thomas se pueden formular como características ponderadas de Euler en el espacio de los módulos. También ha habido conexiones recientes entre estos invariantes, el álgebra motívica Hall y el anillo de funciones en el toro cuántico.

• El espacio de los módulos de las líneas en el quintico triple es un conjunto discreto de 2875 puntos. El número virtual de puntos es el número real de puntos y por lo tanto el invariante Donaldson-Thomas de este espacio de los módulos es el número entero 2875.
• Del mismo modo, el invariante Donaldson-Thomas del espacio módulos de cónicas en la ecuación del quíntico es 609 250.

Hechos[editar]

• El invariante Donaldson-Thomas del espacio de los módulos M es igual a la característica de Eulerponderada de M. La función de peso asociados a cada punto en M un análogo del número de Milnor de una singularidad hiperplana.

Generalizaciones[editar]

• En lugar de espacios modulares de haces, se tienen en cuenta los espacios módulares de objetos de categoría derivada. Eso da los invariantes Pandharipande-Thomas que cuentan parejas estables de un Calabi-Yau triple.
• En lugar de invariantes de valores enteros, se tienen en cuenta invariantes motívicas.

espectro de un anillo conmutativo R, denotado mediante Spec(R), se define como el conjunto de todos los ideales primos de R. Normalmente es suplementado con una topología, la topología de Zariski, y con un haz estructural, lo que lo convierte en un espacio localmente anillado. Especialmente con R.

Familia de parábolas ${\displaystyle f_{a}(x)=ax^{2}}$
con su vértice en ${\displaystyle (0,0)}$ y parámetro ${\displaystyle a}$

La circunferencia de Apolonio, dos familias de circunferencias ortogonales.

Una familia de curvas es un conjunto de curvas, cada una de las cuales está dada por una función o parametrización en la que uno o más de los parámetros son variables.¹​ En general, los parámetros influyen en la forma de la curva de una manera que es más complicada que una simple aplicación lineal. Los conjuntos de curvas dados por una relación implícita también pueden representar familias de curvas.

Las familias de curvas aparecen con frecuencia en soluciones de ecuaciones diferenciales;²​ cuando se introduce un constante de integración aditiva, generalmente se manipulará algebraicamente hasta que ya no represente una transformación lineal simple.

Las familias de curvas también pueden surgir en otras áreas. Por ejemplo, todas las secciones cónicas no degeneradas se pueden representar utilizando una sola ecuación polar con un parámetro, la excentricidad de la curva:

${\displaystyle r(\theta )={e \over 1+e\cos \theta }}$

a medida que cambia el valor de e, la apariencia de la curva varía de una manera relativamente complicada.

Aplicaciones[editar]

Las familias de curvas pueden surgir en diversos temas de geometría, incluida la envolvente de un conjunto de curvas y en las cáusticas de tipos de curvas determinadas.

Generalizaciones[editar]

En geometría algebraica, su generalización viene dada por la noción de un sistema lineal de divisores.

 fórmula de Porteus, introducida por Porteous (1971), es una expresión para la clases fundamental de una variedad de determinantes en términos de clases de Chern. Kempf & Laksov (1974) han proveído una versión más general.

función elíptica es, hablando toscamente, una función definida sobre el plano complejo y periódica en ambas direcciones. Las funciones elípticas pueden ser vistas como generalizaciones de las funciones trigonométricas (las cuales únicamente tienen la periodicidad en una dirección, paralela a la recta real). Históricamente, las funciones elípticas fueron descubiertas como las funciones inversas de las integrales elípticas; estas fueron estudiadas en relación con el problema de la longitud de arco en una elipse, de donde el nombre se deriva.

Definición[editar]

Formalmente, una función elíptica es una función meromorfa ${\displaystyle f}$ definida sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$ para la que existen dos números complejos no nulos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ tal que

${\displaystyle f(z+a)=f(z+b)=f(z)}$   ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} }$

y tal que ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ no es un real. De esto se deduce que

 ${\displaystyle f(z+ma+nb)=f(z)}$ ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} }$ y para todo entero ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$.

En el desarrollo de la teoría de las funciones elípticas, la mayoría de autores modernos utilizan la notación creada por Karl Weierstrass: la notación de las funciones elípticas en forma de Weierstrass basadas en la función ${\displaystyle \wp }$ es cómoda y cualquier función elíptica puede ser expresada a partir de estas. Weierstrass se interesó en estas funciones cuando era estudiante de Christoph Gudermann, un estudiante de Carl Friedrich Gauss. Las funciones elípticas introducidas por Carl Gustav Jakob Jacobi, y la función auxiliar theta (no doble periódica), son más complicadas pero ambas importantes para la historia y para la teoría general. La diferencia más importante entre estas dos teorías es que las funciones de Weierstrass tienen polos de alto orden situados en las esquinas de un retículo periódico, mientras que las funciones de Jacobi tienen polos simples.

El estudio de las funciones elípticas está estrechamente relacionado con el estudio de las funciones modulares y las formas modulares, relación demostrada por el teorema de Taniyama-Shimura. Algunos ejemplos de esta relación son el invariante j, las series de Eisenstein y la función eta de Dedekind.

Propiedades[editar]

Cualquier número ω tal que f(z + ω) = f(z) para toda z de C se le llama period de f. Si dos periodos a y b son tales que cualquier otro periodo ω puede ser escrito como ω = ma + nb con m y n enteros , entonces a y b se les llama periodos fundamentales. Toda función elíptica tiene un par fundamental de períodos, aunque este par no es único, como se describe más adelante.

Si a y b son periodos fundamentales que describen un retículo, entonces exactamente el mismo retículo puede ser obtenido por los periodos fundamentales a' y b' donde a' = p a + q b y b' = r a + s b donde p, q, r y s son enteros que satisfacen p s − q r = 1. Dicho de otra forma, la matriz ${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}}$ tiene determinante unidad, por lo que pertenece al grupo modular. En otras palabras, si a y b son periodos fundamentales de una función elíptica, entonces también lo son a' y b' .

Si a y b son periodos fundamentales, entonces cualquier paralelogramo con vértices z, z + a, z + b, z + a + b se le llama paralelogramo fundamental. Moviendo dicho paralelogramo múltiples de a y b obtenemos una copia del paralelogramo, y la función f se comporta idénticamente sobre todas esas copias, debido a esta periodicidad.

El número de polos es cualquier paralelogramo es finito (e igualmente para todo paralelogramo fundamental). A no ser que la función elíptica sea constante, todo paralelogramo fundamental tiene al menos un polo como consecuencia del teorema de Liouville.

La suma de los órdenes de los polos en cualquier paralelogramo fundamental se le llama el orden de la función elíptica. La suma de los residuos de los polos en cualquier paralelogramos fundamental es igual a cero, en particular, ninguna función elíptica puede tener orden uno.

El número de ceros (contados con su multiplicidad) en cualquier paralelogramo fundamental es igual al orden de la función elíptica.

La derivada de una función elíptica es otra función elíptica con los mismos periodos. El conjunto de todas las funciones elípticas con el mismo periodo fundamental forman un cuerpo.

Las funciones elípticas en forma de Weierstrass ${\displaystyle \wp }$ son el prototipo de función elíptica, y de hecho, el cuerpo de funciones elípticas para un retículo dado se genera a partir de ${\displaystyle \wp }$ y su derivada ${\displaystyle \wp '}$.