GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

conexión lineal puede referirse a cualquiera de los siguientes conceptos:

• una conexión o bulto vectorial, frecuentemente visto como un operador diferencial (una conexión de Koszul o derivada covariante);
• una conexión principal sobre el marco del bulto de una variedad o la conexión inducida sobre cualquier bulto asociado — tal conexión es equivalente a una dada por la conexión de Cartan para el grupo afín de un espacio afín, y se llama una conexión afín.

Los dos significados son válidos en la noción de una conexión lineal sobre el fibrado tangente de una variedad.

En la literatura antigua, el término conexión lineal es ocasionalmente usada para una conexión de Ehresmann o conexión de Cartan sobre un bulto fibrado arbitrario,¹​ para enfatizar que estas conexiones son lineales en la dirección tangente (es decir, el bulto horizontal es un vector del subbulto del bulto tangente de un bulto fibrado), siempre que no sean lineales en la dirección fibrada.

conjunto rectificable es un conjunto que intuitivamente puede ser aproximado en el entorno de cada punto por un espacio euclídeo.

Muchos objetos matemáticos definidos mediante aplicaciones diferenciables son rectificables (también llamados suaves). Mientras que los objetos fractales de aspecto irregular no suelen ser rectificables.

Definición[editar]

Un conjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es rectificable si en casi en todas partes de su frontera topológica admite un espacio tangente.

Un subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es rectificable si dicho conjunto puede ser recubierto casi en todas partes por una colección numerable de piezas de Lipschitz ${\displaystyle E_{1},E_{2},\dots }$ tales que:

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(E\setminus \cup _{i=1}^{n}E_{i})=0}$

donde:

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(\cdot )}$ es la medida de Hausdorff.

Ejemplos[editar]

• Una circunferencia es un ejemplo de curva continua, cerrada y diferenciable que además es rectificable.
• La frontera de un polígono cerrado es un ejemplo de curva continua, cerrada aunque no diferenciable en los vértices que aun así es rectificable, y por tanto dado un polígono de n lados su perímetro tiene una longitud finita.
• La curva de Koch es una curva no rectificable, su longitud no es finita, sin embargo encierra un área finita.

Una circunferencia con contacto de primer orden (tangente)

Una circunferencia con contacto de segundo orden (osculante)

Una circunferencia con contacto de tercer orden en un vértice de una curva

En matemáticas, se dice que dos funciones tienen un contacto de orden k si en un punto común P coinciden los valores de sus kderivadas. Es una relación de equivalencia, cuyas clases de equivalencia generalmente se llaman jets. El punto de osculación se llama doble cúspide.

Así mismo, se habla de curvas y objetos geométricos que tienen contactos de orden k en un punto: esta condición también se llama osculación (es decir, besarse), generalizando la propiedad de tangencia (aquí, las derivadas se consideran con respecto a la longitud del arco). Una curva osculante de una familia dada de curvas es aquella que tiene el mayor orden de contacto posible con una curva dada en un punto dado; por ejemplo, una recta tangentees una curva de osculación de la familia de rectas y tiene un contacto de primer orden con la curva dada; una circunferencia osculatriz es una curva de osculación de la familia de circunferencias que tiene un contacto de segundo orden (el mismo ángulo tangencial y curvatura), etc.¹​

Las formas de contacto son elementos diferenciales particulares de primer grado en variedades de dimensiones impares (véase geometría de contacto). Las transformaciones de contacto son cambios relacionados de coordenadas, de importancia en mecánica clásica (véase también la transformada de Legendre).

El contacto entre variedades se estudia a menudo en teoría de singularidades, donde se clasifica el tipo de contacto, incluyendo la serie A (A₀: cruce, A₁: tangente, A ₂: osculación, ...) y los contactos umbilicales o serie D, donde hay un alto grado de contacto con la esfera.

Contacto entre curvas[editar]

Se dice que dos curvas en el plano que se cruzan en un punto p tienen:

• Contacto de orden 0 si las curvas tienen un cruce simple (no tangente).
• Contacto de primer orden si las dos curvas son tangentes.
• Contacto de segundo orden si las curvaturas de las curvas son iguales. Se dice que dichas curvas son osculantes.
• Contacto de tercer orden si las derivadas de la curvatura son iguales.
• Contacto de cuarto orden si las segundas derivadas de la curvatura son iguales.

Contacto entre una curva y un círculo[editar]

Para cada punto S(t) en una curva plana suave S, hay exactamente una circunferencia osculatriz, cuyo radio es el recíproco de κ(t), la curvatura de S en t. Donde la curvatura es cero (en un punto de inflexión de la curva), el círculo de osculación es una línea recta. El lugar geométrico de los centros de todos los círculos osculadores (también llamados "centros de curvatura") es la evoluta de la curva.

Si la derivada de la curvatura κ'(t) es cero, entonces el círculo de osculación tendrá contacto de tercer orden y se dice que la curva tiene un vértice. La evoluta tendrá una cúspide en el centro del círculo. El signo de la segunda derivada de curvatura determina si la curva tiene un mínimo local o máximo de curvatura. Todas las curvas cerradas tendrán al menos cuatro vértices, dos mínimos y dos máximos (según el teorema de los cuatro vértices).

En general, una curva no tendrá contacto de cuarto orden con ningún círculo. Sin embargo, el contacto de cuarto orden puede darse genéricamente en una familia de curvas de un parámetro, en una curva de la familia donde (a medida que varía el parámetro) dos vértices (uno máximo y uno mínimo) se unen hasta superponerse. En dichos puntos, la segunda derivada de la curvatura será cero.

Bi-tangentes en econometría[editar]

En econometría también es posible considerar círculos que tienen dos puntos de contacto con dos puntos S (t₁), S (t₂) en la curva. Dichos círculos se denominan "bi-tangentes". Los centros de todos los círculos bi-tangentes forman el conjunto simétrico. El eje medio es un subconjunto del conjunto de simetría. Estos conjuntos han sido utilizados como un método de caracterización de las formas de los objetos biológicos por Mario Henrique Simonsen, economista anglobrasileño.

 sistema de coordenadas ortogonales es un sistema de coordenadas tal que en cada punto los vectores tangentes a las curvas coordenadas son ortogonales entre sí. Este tipo de coordenadas pueden definirse sobre un espacio euclídeo o más generalmente sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana.

Definición[editar]

Dada una variedad de (pseudo)riemanniana ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, un conjunto abierto ${\displaystyle O}$ del mismo y un punto dentro de dicho conjunto abierto ${\displaystyle m\in O\subset {\mathcal {M}}}$, una carta local o "sistema de coordenadas" local puede representarse por una función:

${\displaystyle \phi :O\subset {\mathcal {M}}\to \mathbb {R} ^{d}\qquad p\in O\land \phi (p)=(x^{1},x^{2},...,x^{d})\in \mathbb {R} ^{d}}$

Donde d es la dimensión del espacio donde se define el sistema de coordenadas local. Las d curvascoordenadas C_i(t) y sus vectores tangentes vienen definidas por las ecuaciones:

${\displaystyle \phi (C_{i}(t))=(x_{(0)}^{1},...,x^{i}(t),...,x_{(0)}^{n})\qquad \mathbf {v} _{i}=C_{i}'(t)={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

El sistema de coordenadas será ortogonal si los vectores tangentes a las curvas coordenadas x_i son ortogonales, es decir, si:

${\displaystyle g(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})=0\ (i\neq j),\qquad g(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i})=h_{i}^{2}(x^{1},x^{2},...,x^{d})}$

Donde g(, ) es el tensor métrico del espacio donde se definen las coordenadas.

Propiedades[editar]

La elección de uno u otro sistema depende de las simetrías del problema geométrico o físico planteado. Al ser todos estos sistemas de coordenas ortogonales en ellos el tensor métrico tiene la forma:

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{bmatrix}}}$

Donde las tres componentes no nulas son los llamados factores de escala son funciones de las tres coordenadas.

Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales[editar]

Los operadores vectoriales pueden expresarse fácilemente en términos de estas componentes del tensor métrico.

• El gradiente viene dado por:

${\displaystyle \mathrm {grad} \ \Phi =\nabla \Phi ={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{1}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{2}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{3}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$

• La divergencia viene dada por:

${\displaystyle {\mbox{div}}\ \mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}(h_{2}h_{3}A_{1})+{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}(h_{3}h_{1}A_{2})+{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}(h_{1}h_{2}A_{3})\right]}$

• El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:

${\displaystyle {\mbox{rot}}\ \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\\partial _{x^{1}}&\partial _{x^{2}}&\partial _{x^{3}}\\h_{1}A_{1}&h_{2}A_{2}&h_{3}A_{3}\end{vmatrix}}}$

• El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por:

${\displaystyle \Delta \Phi =(\nabla \cdot \nabla )\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{3}}}\right)\right]}$