GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

derivada de Lie es una derivación en el álgebra de funciones diferenciables sobre una variedad diferenciable ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}}$, cuya definición puede extenderse al álgebra tensorial de la variedad. Obtenemos entonces lo que en topología diferencial se denomina derivación tensorial: una aplicación ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$-lineal sobre el conjunto de tensores de tipo (r,s), que preserva el tipo tensorial y satisface la regla del producto de Leibniz y que conmuta con las contracciones.

Para definir la derivada de Lie sobre el conjunto de tensores de tipo (r,s) bastará con definir su acción sobre funciones y sobre campos de vectores: Así, si X es un campo diferenciable de vectores, se define la derivada de Lie con respecto a X como la única derivación tensorial tal que:¹​

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=X(f).}$ para toda función diferenciable f.
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].}$ para todo campo diferenciable Y. Donde [,] es el corchete de Lie.

La derivada así definida satisfará automáticamente las propiedades citadas de una derivación tensorial:

• la regla del producto

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{X}T).}$

• conmutará con las contracciones.

El espacio vectorial de todas las derivadas de Lie en M forma a su vez un álgebra de Lie infinito dimensional con respecto al corchete de Lie.

Aunque menos habitual, también se denota a la derivada de Lie de ${\displaystyle Y}$ respecto de un campo ${\displaystyle X}$ como ${\displaystyle X^{L}Y}$. Esta notación, en ocasiones más limpia que la anterior pues evita subíndices, proviene del profesor Juan Bautista Sancho Guimerá.

Derivada de Lie de campos tensoriales[editar]

En geometría diferencial, si tenemos un tensor diferenciable T de rango (p, q) (es decir una función lineal de secciones diferenciables, α, β, ... del T*M fibrado cotangente y X, Y,... del TM fibrado tangente,

T(α,β...,X,Y ,...)

Tales que para cualesquiera funciones diferenciables

f₁...,f_p...,f_p+q, T(f₁α,f₂β...,f_p+1X,f_p+2Y,...) = f₁f₂... f_p+1f_p+2... f_p+q T(α, β..., X, Y ,...)) y un campo vectorial (sección del fibrado tangente) A diferenciable, entonces la función lineal:

(£_AT)(α, β,..., X, Y,...) ≡ ∇_A T(α, β,..., X, Y,...) - ∇_{T(-,β...,X,Y,...)}A(α)-... + T(α, β...,∇_XA,Y,...)+...

es independiente de la conexión ∇ que se utiliza, mientras sea libre de torsión, y es, de hecho, un tensor.²​

Este tensor se llama la derivada de Lie de T con respecto a A.

 derivada direccional (o bien derivada según una dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados.

Definición[editar]

Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$, mostrando el vector gradiente en negro, y el vector unitario ${\displaystyle {\vec {u}}}$escalado por la derivada direccional en la dirección de ${\displaystyle {\vec {u}}}$ en anaranjado. El vector gradiente es más largo porque apunta en la dirección de la mayor tasa de incremento de una función.

Definición general[editar]

La derivada direccional de una función real de n variables:

${\displaystyle f({\mathbf {x}})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

en la dirección del vector:

${\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}$

es la función definida por el límite:

${\displaystyle D_{\vec {v}}{f}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {x}}+h{\vec {v}})-f({\vec {x}})}{h}}.}$

Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente ${\displaystyle \nabla f}$

${\displaystyle D_{\vec {v}}{f}=\nabla f\cdot {\vec {v}}}$

donde "${\displaystyle \cdot }$" denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En cualquier punto ${\displaystyle {\mathbf {x}}}$, la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada por ${\displaystyle {\vec {v}}}$ en dicho punto.

Definición solo en la dirección de un vector[editar]

Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector ${\displaystyle {\vec {v}}}$ después de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:

${\displaystyle D_{\vec {v}}{f}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\mathbf {x} }+h{\mathbf {v} })-f({\mathbf {x} })}{h|{\mathbf {v} }|}},}$

Si la función es diferenciable, entonces

${\displaystyle D_{\vec {v}}{f}=\nabla f({\mathbf {x} })\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|{\mathbf {v} }|}}}$

Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un vector de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de ${\displaystyle f}$ por unidad de distancia.int a,b,c; a+b=c

Restricción al vector unitario[editar]

Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con respecto a un vector unitario. Con esta restricción, las dos definiciones anteriores se convierten en una misma.

Demostración[editar]

El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable ${\displaystyle z=f(x,y)\;}$. La derivada direccional según la dirección de un vector unitario ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$es:

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\vec {v}}f&=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f(x+v_{x}h,y+v_{y}h)-f(x,y)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f(x+v_{x}h,y+v_{y}h)-f(x,y+v_{y}h)+f(x,y+v_{y}h)-f(x,y)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f(x+v_{x}h,y+v_{y}h)-f(x,y+v_{y}h)}{h}}+\lim _{h\to 0}{\cfrac {f(x,y+v_{y}h)-f(x,y)}{h}}\end{aligned}}}$

El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio ${\displaystyle h'=v_{x}h\;}$ lo cual lleva, por ser diferenciable la función¹​ f, a:

${\displaystyle \lim _{h'\to 0}{\cfrac {f(x+h',y+v_{y}h'/v_{x})-f(x,y+v_{y}h'/v_{x})}{h'/v_{x}}}=\lim _{h'\to 0}v_{x}{\frac {\partial f(x,y+v_{y}h'/v_{x})}{\partial x}}=v_{x}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}}$

Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:

${\displaystyle D_{\vec {v}}f=v_{x}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}}$

Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$:

${\displaystyle (\nabla f)\cdot {\vec {v}}=\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}},{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right)\cdot (v_{x},v_{y})={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}v_{y}=D_{\mathbf {v} }f}$

Notaciones alternas[editar]

La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}({\mathbf {x} })\sim {\frac {\partial {f({\mathbf {x} })}}{\partial {v}}}\sim f'_{\mathbf {v} }({\mathbf {x} })\sim D_{\mathbf {v} }f({\mathbf {x} })\sim \mathbf {v} \cdot {\nabla f({\mathbf {x} })}\sim {\mathbf {v} }\cdot {\frac {\partial f({\mathbf {x} })}{\partial {\mathbf {x} }}}}$

donde ${\displaystyle {\mathbf {v} }}$ es la parametrización de una curva para la cual ${\displaystyle {\mathbf {v} }}$ es tangente y la cual determina su magnitud.

Propiedades[editar]

Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ definidas en la vecindad de un punto ${\displaystyle {\mathbf {p}}}$, donde son diferenciables:

• Regla de la suma:

${\displaystyle D_{\vec {v}}(f+g)=D_{\vec {v}}f+D_{\vec {v}}g}$

• Regla del factor constante:

${\displaystyle D_{\vec {v}}(cf)=cD_{\vec {v}}f}$

donde ${\displaystyle c}$ es cualquier constante.

• Regla del producto (o regla de Leibniz):

${\displaystyle D_{\vec {v}}(fg)=gD_{\vec {v}}f+fD_{\vec {v}}g}$

• Regla de la cadena: Si ${\displaystyle g}$ es diferenciable en el punto ${\displaystyle \textstyle {\mathbf {p} }}$ y ${\displaystyle h}$ es diferenciable en ${\displaystyle g(p)}$, entonces:

${\displaystyle D_{\vec {v}}(h\circ g)({\mathbf {p} })=h'(g({\mathbf {p} }))D_{\vec {v}}g({\mathbf {p} })}$

Campos vectoriales[editar]

El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, del tipo:

${\displaystyle \mathbf {F} :A\subset \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow \subset \mathbb {R} ^{n}}$

En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con funciones de una variable:

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }\mathbf {F} =\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} )}{h}}}$

Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable resulta que la aplicación:

${\displaystyle \mathbf {v} \longmapsto D_{\mathbf {v} }\mathbf {F} }$

Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }\mathbf {F} =(D\mathbf {F} )\mathbf {v} }$

Funcionales[editar]

Artículo principal: Derivada funcional

La derivada funcional, definida como derivada de Gâteaux, es de hecho una derivada direccional definida en general sobre un espacio vectorial de funciones.

 derivada exterior (o diferencial exterior) de la topología diferencial, amplía el concepto del diferencial de una función a formas diferenciales de un grado más alto. Fue inventado, en su forma actual, por Élie Cartan.

Definición[editar]

La derivada exterior de una forma diferencial de grado k es una forma diferencial de grado k+1. La diferenciación exterior satisface tres propiedades importantes:

• dƒ es el diferencial de ƒ para cualquier 0-forma ƒ (funciones de la clase C^∞).

• ${\displaystyle d^{2}=0\,}$, dicho de otro modo, que siempre: ${\displaystyle d(d\omega )=0\,}$, para cualquier forma ${\displaystyle \omega \,}$.

• La regla del producto cuña:

${\displaystyle d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{{\rm {deg\,}}\omega }(\omega \wedge d\eta )}$.

Puede ser demostrado que la derivada exterior está determinada unívocamente por estas propiedades y su coincidencia con el diferencial en 0-formas (funciones).

Los casos especiales de la diferenciación exterior corresponden a los operadores diferenciales familiares del cálculo vectorial a lo largo de las mismas líneas que el diferencial corresponde a gradiente. Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional, la derivada exterior de una 1-forma corresponde al rotacional y la derivada exterior de 2-formas corresponde a la divergencia. Esta correspondencia muestra más de una docena de fórmulas del cálculo vectorial como casos especiales de las tres reglas antedichas de la diferenciación exterior. El núcleo del operador ${\displaystyle d\,}$ consiste en las formas cerradas, y la imagen en las formas exactas (cf. diferenciales exactos).