GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

En relatividad general la curvatura del espacio-tiempo viene dada por el tensor de energía-impulso.

El tensor de tensión-energía, también llamado tensor de energía-impulso (o tensor de energía-momento) es una cantidad tensorialen la teoría de la relatividad de Einstein que se usa para describir el flujo lineal de energía y de momento lineal en el contexto de la teoría de la relatividad, además de ser de suma importancia en las ecuaciones de Einstein para el campo gravitacional.

Introducción[editar]

Fijado un conjunto de coordenadas o una base ${\displaystyle \scriptstyle \{{\mathbf {e} }^{0},{\mathbf {e} }^{1},{\mathbf {e} }^{2},{\mathbf {e} }^{3}\}}$ en cada punto del espacio-tiempo (los elementos de esta base sería matemáticamente 1-formas), el tensor energía-impulso es un tensor de rango 2 que puede describirse como una matriz del tipo:

${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {x} )=T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ){\mathbf {e} }^{\alpha }\otimes {\mathbf {e} }^{\beta },\qquad T_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{bmatrix}}}$

Interpretación usual de las componentes contravariantes del tensor energía-impulso.

Donde en la expresión anterior se ha usado el convenio de sumación de Einstein. Si consideramos ahora un observador que se mueve con cuadrivelocidad ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {u} =u^{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }}$ tenemos que la densidad de energía medida en un punto ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} }$ por dicho observador viene dada por:

${\displaystyle e=T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ){\frac {u^{\alpha }u^{\beta }}{c^{2}}}}$

Y el flujo de energía a través de una superficie (de tipo espacial y en reposo respecto al observador) cuyo vector normal venga dado por ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {n} }$ viene dado por:

${\displaystyle -T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} )u^{\alpha }n^{\beta }}$

Ley de conservación[editar]

En el contexto de la teoría de la relatividad, la ley de conservación de la energía y la ley de conservación de la cantidad de movimiento pueden expresarse de manera muy simple en términos del tensor de energía-impulso. Concretamente ambas leyes pueden escribirse conjuntamente como una ecuación de continuidad del tipo:

${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$

La cantidad

${\displaystyle P^{\mu }={\frac {1}{c}}\int _{V}T^{0\mu }\ d^{3}\mathbf {x} }$

sobre una rebanada de tipo espacio da el cuadrivector energía-momento o cuadrimomento. Este tensor es la corriente de Noether asociada a las translaciones en el espacio-tiempo. En relatividad general, esta cantidad actúa como la fuente de la curvatura del espacio-tiempo, y es la densidad de corriente asociada a las transformaciones de gauge (en este caso transformaciones de coordenadas) por el teorema de Noether. Ahora bien, en el espacio-tiempo curvado,la integral de tipo espacio depende de la rebanada de tipo espacio, en general. No hay de hecho manera de definir un vector global de energía-momento en un espacio-tiempo curvado en general.

Tensores relacionados[editar]

La parte tridimensional del tensor energía-impulso coincide con el tensor tensión de la mecánica de medios continuos.

Ejemplos[editar]

• En teoría de la relatividad el tensor energía-impulso de un fluido perfecto es expresable en términos de su cuadrivelocidad, densidad másica y presión:

(1)${\displaystyle T_{\mu \nu }=\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu }}$

Diferentes tipos de tensor energía-impulso[editar]

Existen diversas formas no equivalentes de definir el tensor tensión para la materia ordinaria. Entre las más comunes se encuentra:

• El tensor energía-impulso de Hilbert.
• El tensor energía-impulso canónico.
• El tensor energía-impulso de Belifante-Rosenfelder.

Tensor energía-impulso de Hilbert[editar]

Este tipo de tensor energía-impulso sólo puede ser definido para un sistema que venga descrito por un lagrangiano relativista en forma de derivada funcional:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g_{\mu \nu }}}=2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g_{\mu \nu }}}+g^{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }.}$

donde ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}$ es la densidad lagrangiana de la materia, que aparece en la integral de acción, para la parte gravitatoria no es posible definir un tensor análogo. Este tensor en un amplio conjunto de circunstancias es simétrico e invariante gauge.

Tensor energía-impulso canónico[editar]

Este tensor resulta de la aplicación del teorema de Noether. Si las traslaciones espacio-temporales locales son una simetría local del lagrangiano, la corriente conservada asociada a dicha simetría es el tensor energía-impulso canónico. Este tensor no resula ser simétrico para algunas teorías de gauge, y por tanto puede no ser invariante guage bajo transformaciones de gauge locales que no conmuten con las traslaciones espacio-temporales.

En relatividad general, las traslaciones sólo se pueden escribir en términos de coordenadas por lo que en general no presentan covariancia.

Tensor energía-impulso de Belinfante–Rosenfeld[editar]

En presencia de espín u otro tipo de momento angular intrínseco, el tensor energía-impuso canónico de Noether no es simétrico como fue anticipado en la sección anterior. El tensor de Belifante-Rosenfeld es una construcción a partir del tensor canónico y la corriente conservada de espín de tal manera que se obtiene un nuevo tensor simétrico y que se conserva. En relatividad general, este tensor modificado coincide con el tensor energía-impulso de Hilbert.

tensor de inercia es un tensor simétrico de segundo orden que caracteriza la inercia rotacional de un sólido rígido. Expresado en una base del espacio viene dado por una matriz simétrica, dicho tensor se forma a partir de los momentos de inercia según tres ejes perpendiculares y tres productos de inercia (dicha construcción se explica en este otro artículo).

Definición[editar]

El tensor de inercia sólido rígido se define como un tensor simétrico de segundo orden tal que la forma cuadrática construida a partir del tensor y la velocidad angular Ω da la energía cinética de rotación, es decir:

${\displaystyle E_{rot}={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\Omega _{x}&\Omega _{y}&\Omega _{z}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\Omega _{x}\\\Omega _{y}\\\Omega _{z}\\\end{matrix}}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{j}\sum _{k}I_{jk}\Omega _{j}\Omega _{k}}$

Donde las componentes de este tensor de inercia en una base ortonormal XYZ pueden calcularse a partir de los tres momentos de inercia según esos tres ejes perpendiculares:

${\displaystyle {\begin{cases}I_{xx}=\int _{M}d_{x}^{2}dm=\int _{V}\rho (y^{2}+z^{2})dxdydz\\I_{yy}=\int _{M}d_{y}^{2}dm=\int _{V}\rho (z^{2}+x^{2})dxdydz\\I_{zz}=\int _{M}d_{z}^{2}dm=\int _{V}\rho (x^{2}+y^{2})dxdydz\end{cases}}}$

Y los tres productos de inercia que se calculan como:

${\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=\int _{M}-xy\ dm=\int _{V}-\rho xy\ dxdydz}$

${\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=\int _{M}-yz\ dm=\int _{V}-\rho yz\ dxdydz}$

${\displaystyle I_{zx}=I_{xz}=\int _{M}-zx\ dm=\int _{V}-\rho zx\ dxdydz}$

Todas las formas anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula tensorial:

${\displaystyle I_{ij}=I_{ji}=\int _{M}\left[\delta _{ij}\left(\sum _{i}x_{i}^{2}\right)-x_{i}x_{j}\right]\ dm=\int _{V}\rho \left[\delta _{ij}\left(\sum _{i}x_{i}^{2}\right)-x_{i}x_{j}\right]\ dV}$

Donde ${\displaystyle i,j\in {1,2,3}}$ y donde ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=(x,y,z)\;}$.

Derivación formal del tensor de inercia[editar]

La velocidad de un cuerpo rígido se puede escribir como la suma de la velocidad del centro de masa más la velocidad de un elemento del sólido, matemáticamente esto es:

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {V} _{CM}+\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} }$

donde ${\displaystyle \mathbf {v} }$ es la velocidad, ${\displaystyle \mathbf {V} _{CM}}$ es la velocidad del centro de masa, ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ es la velocidad angular de un sistema de coordenadas solidario al sólido, medida en el mismo sistema de coordenadas en el que se mide ${\displaystyle \mathbf {V} _{CM}}$ y ${\displaystyle {\vec {r}}}$ es la distancia entre el origen de aquél sistema y el elemento del sólido. Si se toma la norma al cuadrado de este vector se puede obtener la energía cinética de dicho diferencial de cuerpo rígido, a saber

${\displaystyle dT={\frac {1}{2}}v^{2}dm}$

donde ${\displaystyle dm=\rho (\mathbf {r} )dV}$, con ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$ la densidad del cuerpo y ${\displaystyle dV}$ un elemento de volumen. Para obtener la energía cinética total del cuerpo rígido se debe integrar en todo el volumen de éste:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )v^{2}dV}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}MV_{CM}^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )^{2}dV+\int \rho (\mathbf {r} )\mathbf {V} _{CM}\cdot (\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )dV}$

Con el fin de anular el último término, i. e. simplificar la expresión (y las sucesivas), se elige el origen del sistema solidario al sólido en el centro de masa. De este modo:

${\displaystyle \int \rho \mathbf {V} _{CM}\cdot (\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )dV=\int \rho \mathbf {r} \cdot (\mathbf {V} _{CM}\wedge \mathbf {\Omega } )=(\mathbf {V} _{CM}\wedge \mathbf {\Omega } )\cdot \int \rho \mathbf {r} \quad dV=0}$

pues, en virtud de la elección hecha ${\displaystyle \int \rho \mathbf {r} \quad dV=0}$. Se tiene luego que

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}MV_{CM}^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )^{2}dV}$

es evidente, que el primer término es la energía cinética debido a la traslación del cuerpo. El otro término, en consecuencia, debe ser la energía asociada a la rotación del mismo. Si se escribe explícitamente el integrando de este último término se tiene

${\displaystyle \mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} =(\Omega _{2}x_{3}-\Omega _{3}x_{2};\Omega _{3}x_{1}-\Omega _{1}x_{3};\Omega _{1}x_{2}-\Omega _{2}x_{1})}$

${\displaystyle (\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{ij}(\Omega _{i}x_{j}-\Omega _{j}x_{i})^{2}=\sum _{ij}\Omega _{i}^{2}x_{j}^{2}-\Omega _{j}x_{i}\Omega _{i}x_{j}=\sum _{ij}\Omega _{i}\Omega _{j}(\delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j})}$

donde es claro que:

${\displaystyle \Omega _{i}=\sum _{j}\Omega _{j}\delta _{ij}\,}$

con ${\displaystyle \delta _{ij}}$ la delta de Kronecker. Poniendo este resultado en la expresión asociada a la energía cinética debido a la rotación y poniendo la integral dentro de la sumatoria se tiene

${\displaystyle T_{rot}={\frac {1}{2}}\sum _{ij}\Omega _{i}\Omega _{j}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j})dV}$

Debe notarse que el factor correspondiente a la integral depende únicamente de las característica geométricas (físicas) del cuerpo. En efecto, depende de su forma (volumen) y de la masa del cuerpo y de como cómo está distribuida en dicha forma. Este factor es la componente ${\displaystyle i,\,j}$ de una cierta matriz que se conoce como Tensor de Inercia, puesto que toda matriz corresponde a un tensor de segundo rango:

${\displaystyle I_{ij}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\delta _{ij}r^{2}-x_{ij})\quad dV}$

A los elementos ${\displaystyle I_{ii},\,i=1,2,3}$ se los llama momento de inercia respecto del eje ${\displaystyle i}$. Claramente, se ve que el tensor de inercia es simétrico, por lo tanto es siempre diagonalizable. Es decir, siempre se puede encontrar una base de vectores tal que dicha matriz tenga forma diagonal. Tales vectores definen lo que se conoce como ejes principales. En otras palabras, siempre se puede elegir un sistema completo de vectores ortonormales (ejes principales) con los cuales el tensor de inercia toma forma diagonal.

El momento de inercia de un sistema de partículas respecto a un punto A puede definirse de dos maneras: empleando velocidades absolutas respecto a un sistema de referencia inercial

o usando las velocidades relativas

Ambas cantidades se relacionan por la igualdad

con lo cual ambas expresiones son coincidentes en los casos importantes

• A es un punto fijo.
• A es el propio centro de masas.

En el caso particular de un sólido rígido tenemos una expresión simple para las velocidades relativas

por lo que el momento cinético relativo queda, para un sólido

Esta cantidad es proporcional a la velocidad angular en el sentido de que a doble velocidad angular le corresponde doble momento cinético. Sin embargo, en general ambos vectores no son paralelos, por lo que la relación no se reduce a multiplicar la velocidad angular por un número. En su lugar, la proporcionalidad se establece mediante un tensor, el cual se puede representar por una matriz, de manera que la relación entre las componentes del momento cinético y de la velocidad angular se puede escribir en la forma

o, en forma simbólica,

Esta cantidad matricial se denomina el tensor de inercia. En lo que sigue veremos sus principales propiedades y casos particulares.

2 Tensor de inercia

Para obtener las componentes del tensor de inercia a partir del momento cinético, consideramos las componentes cartesianas de los vectores

y aplicamos que

Esto nos da, para la componente x del momento cinético

Por otro lado, si desarrollamos la expresión matricial anterior queda, para la componente x

lo que nos permite identificar las componentes buscadas, como los coeficientes de las componentes de la velocidad angular:

y análogamente para las otras dos filas

y

En forma compacta, podemos escribir el tensor de inercia como la expresión

o, de forma un poco más extensa, pero más simétrica

3 Momento de inercia

Los elementos diagonales del tensor de inercia reciben el nombre de momentos de inercia

Estas cantidades representan la suma de las masas multiplicadas por los cuadrados de las distancias a ejes paralelos, pasando por A, a los respectivos ejes de coordenadas (I_xx con respecto al eje paralelo a OX por A y análogamente para los otros dos).

Más generalmente, se puede definir el momento de inercia respecto a un eje arbitrario como la cantidad

donde R_i es la distancia de una partícula m_i al eje.

Hay que destacar que el momento de inercia depende tanto de la distribución de masas como del eje en cuestión. Un mismo sólido tiene infinitos momentos de inercia diferentes, según el eje que tomemos.

Sistema de dos masas

Consideremos dos masas iguales m₁ = m₂ = m situadas respectivamente en  y . Podemos imaginar las partículas unidas por una varilla ideal, inextensible y sin masa.

Los momentos de inercia de este sistema respecto a los tres ejes coordenados valen

Rotor equilibrado

Consideremos un rotor formado por dos masas iguales de valor m situadas en los extremos de una varilla rígida ideal (sin masa) de longitud Hsituada horizontalmente (eje OX). Si hallamos el momento de inercia respecto a un eje vertical OZ, perpendicular a la varilla y que pasa por su centro, la distancia de cada masa al eje es la mitad de la longitud de la varilla, por lo que

El mismo momento resulta si consideramos un eje horizontal perpendicular a la varilla, OY.

Para el eje OX, que es colineal con la varilla, la distancia de ambas al eje es nula y

En el caso de que tengamos una distribución continua, la expresión correspondiente es la integral

donde R será en general diferente para cada elemento de masa dm.

De la definición del momento de inercia se deduce que sus dimensiones son de una masa por una longitud al cuadrado y sus unidades en el SI son kg·m²

Varilla homogénea

Una barra de longitud H con una masa M distribuida uniformemente posee un momento de inercia respecto a un eje perpendicular a ella por su centro

Para un eje que vaya a lo largo de la varilla, en cambio, el momento de inercia será nulo.

Superficie cilíndrica

Para una superficie cilíndrica de radio R y altura h, el momento de inercia respecto al eje del cilindro es, simplemente

ya que todos los puntos se encuentran a la misma distancia del eje.

Puesto que este resultado no depende de la altura del cilindro también es aplicable al caso de un anillo (superficie cilíndrica de altura muy pequeña).

Cilindro macizo

Si en cambio consideramos un cilindro macizo homogéneo de radio R y altura h, su momento de inercia es igual a

Como elementos de volumen consideramos finas películas cilíndricas de radio r y espesor dr, cada una de las cuales tiene el volumen diferencial

Llevando esto al momento de inercia nos queda

Vemos que para cilindros del mismo material (con la misma densidad de masa), el momento de inercia va como la cuarta potencia del radio (esto es, doble de radio significa que el momento de inercia se multiplica por 16). Sustituyendo el valor de la densidad de masa

El momento de inercia de un cilindro macizo es entonces la mitad del de una superficie cilíndrica de la misma masa y el mismo radio.

Puesto que este resultado no depende de la altura del cilindro también es aplicable al caso de un disco (cilindro macizo de muy pequeño espesor).

3.1 Casos particulares

Por su interés, es conveniente tabular casos particulares de momentos de inercia de sólidos homogéneos. Muchos otros pueden hallarse

Sólido		Eje	Momento de inercia
Superficie cilíndrica de radio R y altura h		El del cilindro
Cilindro macizo de radio R y altura h		El del cilindro
Cilindro hueco de radio interior R1, exterior R2 y altura h		El del cilindro
Varilla rectilínea de longitud H		Perpendicular por el centro
Paralelogramo de lados b y h(incluye cuadrados, rectángulos y rombos)		Perpendicular por el centro
Cubo macizo de arista a		Cualquiera que pase por su centro
Superficie esférica de radio R		Cualquiera que pase por su centro
Esfera maciza de radio R		Cualquiera que pase por su centro

Vemos que para aquellos que se caracterizan por una sola distancia R (radio, longitud,...), la forma del momento de inercia es

con γ un número que depende del objeto. En particular, para objetos redondos (con R el radio) tenemos

Cuerpo	Cilindro hueco	Cilindro macizo	Esfera hueca	Esfera maciza

Esto permite estudiar de forma general los problemas de objetos rodantes, suponiendo un cierto factor γ general y luego particularizando.

REDIRIGIDO DESDE LA GRANDÍSIMA WEB : http://laplace.us.es/wiki/index.php/Momento_y_tensor_de_inercia_(CMR)