GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Un ejemplo de región compleja donde el teorema de Gauss-Bonnet puede ser aplicado. Se muestra el signo de la curvatura geodésica.

El teorema de Gauss-Bonnet en geometría diferencial es una proposición importante sobre superficies que conecta su geometría (en el sentido de la curvatura) con su topología (en el sentido de la característica de Euler).

Se nombra por Carl Friedrich Gauss que era consciente de una versión del teorema pero que nunca la publicó, y de Pierre Ossian Bonnet que publicó un caso especial en 1848.

Definición[editar]

Supóngase que M es una variedad de Riemann compacta orientable de dimensión 2, con borde ${\displaystyle \partial M}$. Denótese por K la curvatura gaussiana en los puntos de M y por k_g la curvatura geodésica en los puntos de ${\displaystyle \partial M}$. Entonces

${\displaystyle \int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M)}$

donde χ(M) es la característica de Euler de M.

El teorema se puede aplicar en particular si la variedad no tiene borde, en cuyo caso la integral ${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}\;ds}$puede ser omitido.

Si se dobla o deforma la variedad M su característica de Euler no cambiará, mientras que las curvaturas en los puntos dados sí. El teorema requiere algo asombroso, que la integral total de todas las curvaturas siga siendo igual.

Generalizaciones[editar]

Una generalización a n dimensiones fue encontrada en los años 40 por Allendoerfer, Weil y Chern. Ver el teorema de Gauss-Bonnet generalizado y el homomorfismo de Chern-Weil.

teoremas de inmersión de Nash, llamados así por John Forbes Nash, establecen que cada variedad de Riemann puede ser isométricamente embebida en un espacio euclídeo Rⁿ. "Isométricamente" significa "preservando la longitud de las curvas". Este teorema establece que cada variedad de Riemann puede ser visualizada como una subvariedad del espacio euclídeo.

El primer teorema es para funciones de clase C¹, mientras que el segundo teorema es para funciones analíticas o de clase C^k, 3 ≤ k ≤ ∞. Ambos teoremas son muy diferentes entre sí. La prueba del primero de ellos es muy simple, mientras que la del segundo es muy técnica aunque el resultado no es en absoluto inesperado.

El teorema para funciones C¹ fue publicado en 1954, el teorema para funciones C^k en 1956, y el caso para funciones analíticas en 1966 por John Forbes Nash.

teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que dado una variedad de Riemann (o una variedad seudoriemanniana) hay una única conexión libre de torsión que preserva el tensor métrico. Tal conexión se llama conexión de Levi-Civita.

Más exactamente:

Sea ${\displaystyle (M,g)}$ una variedad de Riemann (o variedad pseudoriemanniana) entonces hay una conexión única ${\displaystyle \nabla }$ que satisface las condiciones siguientes:

1. para cualesquiera campos vectoriales ${\displaystyle X,Y,Z}$ tenemos ${\displaystyle Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$, donde ${\displaystyle Xg(Y,Z)}$ denota la derivada de la función ${\displaystyle g(Y,Z)}$ a lo largo del campo vectorial ${\displaystyle X}$.
2. para cualesquiera campos vectoriales ${\displaystyle X,Y}$ tenemos ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$, donde ${\displaystyle [X,Y]}$ denota el corchete de Lie para los campos vectoriales ${\displaystyle X,Y}$.

La prueba técnica siguiente presenta una fórmula para los símbolos de Christoffel de la conexión en un conjunto coordenado local. Para una métrica dada este conjunto de ecuaciones puede llegar a ser algo complicado. Hay métodos más rápidos y más simples de obtener los símbolos de Christoffel para una métrica dada, e.g. con la integral de acción y las ecuaciones asociadas de Euler-Lagrange.

Demostración[editar]

En esta prueba utilizamos la notación de Einstein.

Considérese el conjunto coordinado local ${\displaystyle x^{i},\ i=1,2,...,m=\dim(M)}$ y denotemos por ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{i}={\partial \over \partial x^{i}}}$ el campo de los marcos de base.

Los componentes ${\displaystyle g_{i\;j}}$ son números reales del tensor métrico aplicado a una base, es decir

${\displaystyle g_{ij}\equiv {\mathbf {g} }({\mathbf {e} }_{i},{\mathbf {e} }_{j})}$

Para especificar la conexión es suficiente especificar los símbolos de Christoffel ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$.

Puesto que ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ son los campos coordenados vectoriales tenemos que

${\displaystyle [{\mathbf {e} }_{i},{\mathbf {e} }_{j}]={\partial ^{2} \over \partial x^{j}\partial x^{i}}-{\partial ^{2} \over \partial x^{i}\partial x^{j}}=0}$

para todos i y j. Por lo tanto la segunda propiedad es equivalente a

${\displaystyle \nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}{{\mathbf {e} }_{j}}-\nabla _{{\mathbf {e} }_{j}}{{\mathbf {e} }_{i}}=0,\ \ }$ lo cual es equivalente a ${\displaystyle \ \ \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}}$ para todos los i, j y k.

La primera propiedad de la conexión de Levi-Civita (arriba) entonces es equivalente a

${\displaystyle {\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=\Gamma _{ki}^{a}g_{aj}+\Gamma _{kj}^{a}g_{ia}}$.

Esto da la relación única entre los símbolos de Christoffel (que definen la derivada covariante) y los componentes del tensor métrico.

Podemos invertir esta ecuación y expresar los símbolos de Christoffel con un pequeño truco, escribiendo a esta ecuación tres veces con una elección práctica de los índices

${\displaystyle \quad {\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=+\Gamma _{ki}^{a}g_{aj}+\Gamma _{kj}^{a}g_{ia}}$

${\displaystyle \quad {\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}=+\Gamma _{ji}^{a}g_{ak}+\Gamma _{jk}^{a}g_{ia}}$

${\displaystyle -{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}=-\Gamma _{ij}^{a}g_{ak}-\Gamma _{ik}^{a}g_{ja}}$

Sumando, la mayoría de los términos en el lado derecho se cancelan y nos quedamos con

${\displaystyle g_{ia}\Gamma _{kj}^{a}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}\right)}$

O con el inverso de ${\displaystyle \mathbf {g} }$, definido como (con la delta de Kronecker)

${\displaystyle g^{ki}g_{il}=\delta _{l}^{k}}$

escribimos los símbolos de Christoffel como

${\displaystyle \Gamma _{kj}^{i}={\frac {1}{2}}g^{ia}\left({\frac {\partial g_{aj}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{ak}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{a}}}\right)}$

Es decir los símbolos de Christoffel (y por lo tanto la derivada covariante) son determinados totalmente por la métrica, con las ecuaciones que implican la derivada de la métrica.

theorema egregium (en latín: 'teorema destacable') es un resultado fundamental de la geometría diferencial demostrado por Carl Friedrich Gauss y que se refiere a la curvatura de las superficies. Informalmente, el teorema dice que la curvatura gaussiana de una superficie diferenciable puede determinarse por completo midiendo ángulos y distancias sobre la propia superficie, sin hacer referencia a la forma particular en que se curva dentro del espacio euclídeo tridimensional. Es decir, el concepto de curvatura es un invariante intrínseco de una superficie.

Gauss formuló el teorema (traducido del latín) como:

Por tanto de la fórmula precedente se sigue por sí mismo el destacable teorema siguiente: Si una superficie curva se desarrolla sobre cualquier otra superficie, la medida de la curvatura en cada punto permanece inalterada.

Gauss lo consideró "destacable" (egregium) porque la definición de curvatura gaussiana hace uso directo de la posición de la superficie en el espacio y por tanto es bastante sorprendente que el resultado nodependa de la manera en que la superficie está inmersa en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. En una formulación más actualizada el teorema se podría formular como:

La curvatura gaussiana de una superfice es invariante bajo isometrías locales

Un corolario obvio es que sólo existe una isometría entre dos superficies si tienen la misma curvatura gaussiana.

Aplicaciones elementales[editar]

Animación que muestra la deformación de una helicoide en una catenoide, en donde la curvatura gaussiana en puntos correspondientes es la misma.

• Una esfera de radio R tiene curvatura gaussiana que es igual a R⁻², mientras que el plano tiene curvatura nula. Por tanto, como corolario del theorema egregium una hoja de papel no puede doblarse para formar una porción de la esfera sin arrugarse o rasgarse. Y recíprocamente, la superficie de la esfera no puede "desarrollarse" en una porción del plano sin distorsionar las distancias: matemáticamente hablando, no existe una isometría entre el plano y la esfera, ni siquiera localmente. Este hecho tiene una consecuencia importante para la cartografía: implica que no puede construirse un mapa de la Tierra, en que la escala sea perfectamente constante en cada punto del plano (las proyecciones usadas usualmente alteran la escala en diferentes puntos, produciéndose cierta distorsión).¹​
• La catenoide y el helicoide son dos superficies de aspecto muy diferente. Sin embargo, cada una puede ser continuamente deformada en la otra, puesto que ambas son localmente isométricas. Se sigue del theorema egregium que la curvatura gaussiana en puntos correspondientes de la catenoide y el helicoide es la misma.
• El cilindro o el cono son superficies curvas, cuya curvatura gaussiana es nula además son superficies desarrollables por lo que pueden construirse a partir de un pedazo de cartón plano.