Álgebra lineal

PROPIEDADES DE LAS APLICACIONES LINEALES

PROPIEDADES DE LAS APLICACIONES LINEALES.
    A continuación vamos a estudiar algunas propiedades de las aplicaciones lineales, pero antes es necesario considerar las operaciones básicas que se pueden realizar con las aplicaciones lineales.
    Con el fin de entender su significado concreto, definimos como hemos venido haciendo habitualmente en DERIVE las siguientes aplicaciones lineales:

Como se puede observar tenemos que

 
1) SUMA DE APLICACIONES.

 
Podríamos intentar definir la aplicación f1+f2. Si efectuamos con DERIVE esta operación obtendremos que
 

que es una aplicación lineal como se puede comprobar fácilmente. Esta nueva aplicación suma g=f1+f2 estaría definida por la expresión anterior y sería tal que



Si intentamos sumar las aplicaciones f1+f3, obtendremos



Hemos intentado sumar un vector de dos componentes con uno de tres, situación absolutamente imposible por lo que f1+f3 no es ni siquiera una aplicación.
A partir de estas consideraciones podemos definir:
SUMA DE APLICACIONES:
Sean se define la aplicación de  la siguiente forma para todo 

    Como se ha comprobado en los ejemplos anteriores es claro que las suma de las dos aplicaciones que eran lineales vuelve a ser lineal. Veamos un ejemplo en el que sumamos dos aplicaciones, una de ellas no lineal. Consideremos para ello la definición anterior de f1 que es lineal



y definamos otra que no sea lineal



        Si ahora definimos por g(u) a la aplicación suma de f1 y f4 mediante



obsérvese que esta nueva aplicación no es lineal. Si la desarrollamos



obsérvese que si calculamos la imagen de g(1,1,1) se obtiene



Pero si ahora obtenemos la imagen de g(2,2,2) resulta


por lo que g(u) no es lineal. Así pues se pueden intentar demostrar de forma general que
1) LA SUMA DE DOS APLICACIONES LINEALES ES UNA APLICACIÓN LINEAL.
 Ejercicio II.4.
Demostrar de forma teórica que la suma de dos aplicaciones lineales es una aplicación lineal.


        2) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA APLICACIÓN.
Consideremos ahora una segunda operación. Tomando como f1 la misma aplicación utilizada hasta ahora, vamos a construir la aplicación h=3*f1:



se puede observar que h es una aplicación definida por



Además es una aplicación lineal.
Generalizando, se puede definir el
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA APLICACIÓN:
Sea y sea se define la aplicación comoY se verifica que si f es lineal, es lineal.


       3)   PRODUCTO DE APLICACIONES.
Consideremos las aplicaciones f1 y f2 definidas antes, podríamos construir el producto de ambas y se obtendría la aplicación:
 


Por tanto podemos definir el PRODUCTO DE APLICACIONES:Dadas se define la aplicación producto
como para todo 
 

Ejercicio II.5.
Comprobar con DERIVE que el producto de dos aplicaciones lineales no es una aplicación lineal utilizando las aplicaciones lineales f1 y f2 definidas anteriormente.


    4) COMPOSICIÓN DE APLICACIONES.
Continuamos con los ejemplos anteriores, es decir, las funciones f1, f2, f3 definidas anteriormente en DERIVE. Vamos a intentar construir en primer lugar una aplicación que componga f2 con f1 , es decir f1(f2(u)), si efectuamos esto en DERIVE obtendremos:



que como puede observarse no es una aplicación, aparece una construcción extraña. Es evidente que no podría salir una aplicación, pues f2(u) es un vector de dimensión 2, y f1 es una aplicación que toma como entrada vectores de dimensión 3, de ahí la imposibilidad de definirla.
        Si ahora componemos f3 con f1 es decir



Lo que se obtiene es una aplicación perfectamente definida.
    Generalizando esta construcción podríamos definir la COMPOSICION DE APLICACIONES de la siguiente forma:
    Dadas dos aplicaciones y se define la aplicación f compuesto con g : como para todo 
 

    Una vez definida esta operación, podemos intentar comprobar qué sucede cuando componemos dos aplicaciones que son lineales.
Obsérvese que en el ejemplo el resultado nos da una aplicación lineal.
 

Ejercicio II.6.
Definir en DERIVE dos aplicaciones lineales que se puedan componer y comprobar que la composición de ambas es una aplicación lineal.
LA COMPOSICIÓN DE DOS APLICACIONES LINEALES (COMPONIBLES) ES UNA APLICACIÓN LINEAL.

Una demostración general de este resultado podría ser la siguiente:


 #

    5) APLICACIÓN INVERSA.

Consideremos la aplicación f1, que veníamos utilizando hasta ahora
 
Sea la aplicación


Obsérvese que si componemos f1d con f1 obtenemos


es decir , la aplicación identidad en R², pues


y la composición


En este caso habríamos obtenido una aplicación que es "inversa por la derecha" de la aplicación lineal f1.
Por el contrario si intentamos componer f1 con f1d obtenemos


que evidentemente no es la identidad en R³.
 

    En este caso es claro que f1 tiene una inversa por la derecha que es f1d, de tal forma que . Del mismo modo esa misma aplicación f1 podría tener una inversa por la izquierda.
     Sin embargo nosotros buscamos aplicaciones inversas que lo sean por la izquierda y por la derecha de una dada, de tal forma que siempre den la identidad. Por ello vamos a considerar la siguientes aplicaciones lineales en DERIVE: 
 

Se puede comprobar que una es la inversa de la otra independientemente del orden de composición que consideremos:

    Con esto estamos en condiciones de definir el concepto de APLICACIÓN INVERSA.
            Sea una aplicación lineal, diremos que la aplicación 
es la aplicación inversa de f si se verifica que

 para todo 

 
        Las aplicaciones inversas cumplen una propiedad muy importante:
SI UNA APLICACIÓN LINEAL f TIENE INVERSA ENTONCES ES ÚNICA Y ADEMAS ES UNA APLICACIÓN LINEAL.
        Veamos una demostración formal.
Sea lineal y supongamos que existe su inversa . Vamos a comprobar que f^-1 es lineal.
Como f es lineal, dados entonces

 

y por otro lado #
 
Ejercicio II.7.
Dada la aplicación lineal f(x,y,z)=(2x+z,y,z), determinar cual de las siguentes aplicaciones lineales es la aplicación lineal inversa de f:
        a) g₁(x,y,z)=(x+2y,z,x)
        b) g₂(x,y,z)=(y,z,x-2y)
        c) g₃(x,y,z)=(1/2 x - 1/2 z,y,z)


    ALGUNAS PROPIEDADES

         PROPIEDAD 1: APLICACIONES LINEALES SOBRE VECTORES L.D. .
La propiedad que vamos a considerar a continuación intenta mostrar que la DEPENDENCIA LINEAL de vectores es un invariante frente a las aplicaciones lineales.

www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo-2/teoria2-2/2-2-aplicaciones-lineales.htm