Álgebra lineal

Propiedades de las aplicaciones lineales

Propiedad 1: Una aplicación lineal siempre transforma 0 en 0. Es obvio pues f(0) = A · 0 = 0.

Propiedad 2: Las aplicaciones lineales transforman subespacios vectoriales en subespacios vectoriales.

Prueba:

Sea V un subespacio vectorial de ℜⁿ, generado por una base B = {v₁, . . . , v_k}. Si V = {0} no tiene base, en este caso es obvio que f(V ) = {0}.

Si V ≠ {0} y tomamos v ∈ V entonces existirán escalares tales que v = α₁v₁ + . . . + α_kv_k. Por la linealidad de f se tiene que

f(v) = f(α₁v₁ + . . . + α_kv_k) = α₁f(v₁) + . . . + α_kf(v_k)

Es decir, la imagen del subespacio V está generada por los vectores

{f(v₁), . . . , f(v_k)}

Nota: Cabe señalar que dichos vectores no tienen porqué ser una base de f(V ) : Por ejemplo, si

entonces el subespacio generado por los vectores {[1, 1, 1]^T, [1,-1, 0]^T} es un plano y se transforma en el subespacio generado por {[3, 3]^T, [0, 0]^T}, que es una recta.

Definiciones:

Los subespacios más importantes asociados a una aplicación lineal son el núcleo y la imagen.
El núcleo está formado por todos los vectores que van al cero:

N(f) = {x : f(x) = 0}

Por lo tanto, el núcleo de f es lo mismo que el núcleo de la matriz de f.

La imagen son todos los vectores que son imagen de alguien:

Im(f) = {f(x) : x ∈ℜⁿ}

Por lo tanto, la imagen es lo mismo que el espacio columna (o rango) de la matriz de f. También es cierto que Im(f) = f(ℜⁿ).

Una aplicación que transforma vectores distintos en vectores distintos se dice que es inyectiva. Esto equivale a decir que f es inyectiva si cumple la condición

f(x) = f(y) ⇒ x = y

Propiedad 3: Una aplicación lineal es inyectiva si y sólo si tiene núcleo cero.

Prueba:

Supongamos que la aplicación lineal es inyectiva. Si f(x) = 0 entonces (como es lineal) se tiene que f(0) = 0, por lo tanto f(x) = f(0) ⇒ x = 0. Luego N(f) es {0}.

Recíprocamente, si tiene núcleo cero y f(x) = f(y) entonces, como f es aplicación lineal,

0 = f (x) - f (y) = f (x - y) ⇒ x - y 2 N(f) ∈ x - y = 0 ⇒ x = y:

Luego f es inyectiva.

Propiedad 4: Antes hemos observado que una aplicación lineal f no tiene porqué transformar una base en otra base. Pues bien, si N(f) = {0} entonces transforma un sistema linealmente independiente (base de V ) en otro linealmente independiente (base de f(V )). Por consiguiente, una aplicación lineal con núcleo cero transforma un subespacio en otro con la misma dimensión. Este hecho es consecuencia de la siguiente propiedad.

Propiedad 5: Si V es un espacio vectorial y f es una aplicación lineal entonces se verifica que

dim(f(V )) = dim(V) - dim(V ∩ N(f))

Prueba:

Para demostrar dicha igualdad nos damos cuenta de que V ∩ N(f) es un subespacio de V . Usando ampliaciones de base podemos construir una base de V a partir de una base de V ∩ N(f):

Es obvio que dicha base se transforma en {0, f(v_k+1), . . . , f(v_m)}, que son generadores de f(V). Además, es fácil ver que {f(v_k+1), . . . , f(v_m)} son linealmente independientes, ya que

α_k+1f(v_k+1) + . . . + α_mf(v_m) = 0 ⇒(f es lineal) f(α_k+1v_k+1 + . . . + α_mv_m) = 0

y, por tanto, α_k+1v_k+1 + . . . + α_mv_m ∈ N(f) (y a V ). Observemos que dicho vector no puede estar en la ampliación a menos que sea cero. Si α_k+1v_k+1 + . . . + α_mv_m = 0 entonces todos los escalares son cero pues {v_k+1, . . . , v_m} son linealmente independientes. Si contamos los vectores obtenemos la fórmula.

 algoritmo de Lanczos .- .............................................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Algoritmo_de_Lanczos&printable=yes





La bilinealidad - .........................................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Aplicaci%C3%B3n_bilineal&printable=yes







aplicación lineal .- ..............................................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Aplicaci%C3%B3n_lineal&printable=yes