ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL

división entre dos o partición por la mitad, a veces ha sido tratada como una operación matemática diferente de la multiplicación y la división por otros números.¹​ Por ejemplo entre los antiguos egipcios su algoritmo de multiplicación utilizaba la división por dos como uno de sus pasos fundamentales.²​ Algunos matemáticos en el siglo XVI, por ejemplo, continuaban considerando a la división por dos como una operación matemática distintiva,³​⁴​ y la programación de computadoras modernas a menudo aún la trata en forma separada.⁵​ Es muy fácil realizar esta operación tanto en el sistema aritmético decimal, como en el sistema numérico binario utilizado en la programación de computadoras, y otras bases de numeración pares.

Binaria[editar]

En la aritmética binaria, la división entre dos puede efectuarse por medio de una operación conocida como desplazamiento de bits (en inglés bit shift), la cual desplaza el número un lugar a la derecha. Esto es una forma de optimización conocida como "strength reduction" (reducción de fuerza). Por ejemplo, 1101001 en binario (el número decimal 105), desplazado un lugar a la derecha es 110100 (el número decimal 52): el bit de orden menor, el 1, es removido. Similarmente, la división por cualquier potencia de dos 2^k puede efectuarse desplazando a la derecha k posiciones. Como los "bit shifts" son a menudo operaciones mucho más rápidas que la división, reemplazar una división por un desplazo en esta forma puede ser un paso útil en la optimización de programas.⁵​ Sin embargo, para mantener la portabilidad del programa y su legibilidad, a menudo es mejor escribir programas utilizando la operación de división y confiar que el compilador llevará a cabo este reemplazo.⁶​

Sin embargo, no siempre son verdaderas las afirmaciones antedichas, cuando se trata de dividir números binarios con signo. Desplazar a la derecha 1 bit divide por dos, siempre redondeando hacia abajo. Sin embargo, en algunos lenguajes, la división de números binarios con signo se redondea hacia el cero (que si el resultado es negativo, significa que redondea para arriba). Por ejemplo, Java es uno de estos lenguajes: en Java, -3 / 2 da por resultado -1, mientras que -3 >> 1 da por resultado -2. Por lo que en este caso, el compilador no puede optimizar la división por dos reemplazándola por un desplazamiento de bit, cuando es posible que el dividendo pueda ser negativo.

Decimal[editar]

El siguiente algoritmo es para un número expresado en base decimal. Sin embargo el mismo puede ser usado como un modelo para construir un algoritmo para calcular la mitad de todo número N en cualquier base par.

• Escriba N, colocando un cero a su izquierda.
• Recorra los dígitos de N en pares solapados, escribiendo los dígitos del resultado de la siguiente tabla.

Si el primer dígito es	Par	Par	Par	Par	Par	Impar	Impar	Impar	Impar	Impar
Y el segundo dígito es	0 o 1	2 o 3	4 o 5	6 o 7	8 o 9	0 o 1	2 o 3	4 o 5	6 o 7	8 o 9
Escriba	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Ejemplo: 1738/2=?

escriba 01738. Ahora buscaremos el resultado.

• 01: dígito par seguido de 1, escriba 0.
• 17: dígito impar seguido de 7, escriba 8.
• 73: dígito impar seguido de 3, escriba 6.
• 38: dígito impar seguido de 8, escriba 9.

Resultado: 0869.

En el ejemplo se observa que 0 es par.

Si el último dígito de N es impar sume 0.5 al resultado.

 igualdad matemática. Dos objetos matemáticos son considerados iguales si los objetos poseen el mismo valor. Por ejemplo, la frase «la suma de dos y dos» y la expresión «cuatro» se refieren al mismo objeto matemático, un cierto número natural. La expresión «es un perro a» o «es lo mismo que» se suele representar en matemáticas con el signo =. Así, el ejemplo anterior suele escribirse como:

${\displaystyle 2+2=4\,}$

Origen de la notación[editar]

El primer uso del signo igualdad, la ecuación equivale a la notación moderna 14x+15=71, tomado de The Whetstone of Witte de Robert Recorde(1557).

El signo = (igual), utilizado para indicar el resultado de una operación aritmética, fue ideado por el matemático Robert Recorde en 1557.

Cansado de escribir "is equalle to", sic, usó un par de rectas paralelas, ———, en su trabajo Whetstone of Witte. Con la publicación de este libro, Recorde introdujo por primera vez el álgebra en Inglaterra.¹​

Álgebra elemental y análisis[editar]

Dados tres objetos x, y, z, donde el uso de la palabra «objeto» comprende tanto a aquellos presentes en la experiencia sensible, como a los entes de razón. Para indicar que dos objetos x e y son iguales, se utiliza el símbolo = de esta manera:²​

${\displaystyle x=y}$

Esto significa que, si dos objetos representados por diferentes letras son en realidad el mismo, se relacionan a través del signo igual.

Axiomas de igualdad de objetos[editar]

La igualdad se define como una relacion de equivalencia que cumple los siguientes axiomas:²​

• Reflexividad o principio de identidad: x = x,
• Simetría: si x = y entonces y = x,
• Transitividad: si x = y e y = z, entonces x = z.
• Si dos símbolos son iguales, entonces uno puede ser sustituido por el otro.

Proiedades de la igualdad[editar]

Dado un conjunto S, dotado de las operaciones de suma y multiplicación. Si a, b, c, d son cuatro elementos en S, entonces para la relación de igualdad (=) se cumplen las propiedades siguientes:

• Si a = b y c = d entonces
  • a + c = b + d,
  • ac =bd:
• Propiedad cancelativa de la suma: en la adición con cualquier clase de números, sucede que si a + c = b + c, entonces a = b.
• Propiedad de cancelación de la multiplicación: si ac =bc y c no es el neutro de la suma en S, entonces a = b.³​

Tipos[editar]

Las igualdades pueden ser:

1. Condicionales o ecuaciones, en cuyo caso se cumplen para solo algunos valores de la variable, por ejemplo, si 3x=6, solo se cumple la igualdad si x=2.
2. Identidades: se cumplen para todos los valores permisibles de la variable, por ejemplo ${\displaystyle (x-4)^{2}=x^{2}-8x+16\,}$ es una identidad algebraica que se cumple para todos los valores de x. Otro ejemplo es una función ${\displaystyle y=f(x)}$, donde el símbolo x representa a la variable independiente, y el símbolo y representa a la variable dependiente.

Teoría de conjuntos[editar]

• Dos conjuntos son iguales si tienen los mismo elementos; este enunciado es conocido como axioma de la extensión.
• O bien A = B si A está contenido en B, además B está contenido en A.⁴​

Una relación de equivalencia entre los elementos de un conjunto determina sobre el conjunto dado una particióno una colección de clases de equivalencia. El conjunto de las clases de equivalencia se llama conjunto cociente. Decimos que dos elementos del conjunto original son equivalentes si pertenecen a la misma clase de equivalencia.

Por ejemplo, los números naturales se pueden dividir en dos clases, usando la relación de equivalencia 'dos números están relacionados si dan el mismo resto al dividirlos por dos'. Esta relación divide los números en dos clases, los pares y los impares. El conjunto cociente contiene dos elementos, que son, el conjunto de los números pares, y el conjunto de los impares. Según esta relación, 4 y 8 pertenecen a la misma clase y son 'equivalentes', pero 16 y 17 pertenecen a clases distintas.

Reglas que tiene que cumplir una relación ${\displaystyle \sim \,}$ para ser de equivalencia:

• Reflexiva: ${\displaystyle x\sim x\,}$
• Simétrica: Si ${\displaystyle x\sim y\,}$ entonces ${\displaystyle y\sim x\,}$.
• Transitiva: Si ${\displaystyle x\sim y\,}$ , ${\displaystyle y\sim z\,}$ entonces ${\displaystyle x\sim z\,}$.

El axioma de extensionalidad establece las condiciones de igualdad entre conjuntos.

Cálculo de predicados de primer orden con igualdad[editar]

La lógica de predicados contiene los axiomas estándar para la igualdad que formalizan la ley de Leibniz, propuestos por el filósofo Gottfried Leibniz en el siglo XVII. La idea de Leibniz era que dos cosas son idénticas si y solamente si tienen exactamente las mismas propiedades. Para formalizar esto, debemos poder decir:

dados cualesquiera ${\displaystyle x\,}$ y ${\displaystyle y\,}$, ${\displaystyle x=y\,}$ si y solamente si, dado cualquier predicado ${\displaystyle P\,}$, ${\displaystyle P(x)\,}$ si y sólo si ${\displaystyle P(y)\,}$.

Sin embargo, en la lógica de primer orden, no podemos cuantificar sobre predicados. Así, necesitamos utilizar un esquema de axioma:

dados cualesquiera x y y, si x es igual a y, entonces P(x) si y sólo si P(y).

Este esquema de axioma, válido para cualquier predicado P en una variable, responde solamente por una dirección de la ley de Leibniz; si x y y son iguales, entonces tienen las mismas propiedades. Podemos garantizar la otra dirección simplemente postulando:

dado cualquier x, x es igual a x.

Entonces si x e y tienen las mismas propiedades, entonces en particular son iguales con respecto al predicado Pdado por P(z) si y sólo si x = z, puesto que P(x) vale, P(y) deben también valer, luego x = y dependiendo de la variable.

La relación contraria es una relación de diferencia, notada con un igual tachado: ${\displaystyle \neq \,}$

máximo común divisor (MCD) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar residuo.

Precisiones[editar]

Dados ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ dos números enteros distintos de cero. Si un número ${\displaystyle c}$ divide a ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, es decir, ${\displaystyle c|a}$ y ${\displaystyle c|b}$, diremos que ${\displaystyle c}$ es divisor común de ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$.¹​ Obsérvese que dos números enteros cualesquiera tienen divisores comunes. Si los divisores comunes de ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son únicamente 1 y -1 entonces diremos son primos entre sí.

Un número entero d se llama máximo común divisor (MCD) de los números a y b cuando:

1. d es divisor común de los números a y b
2. d es divisible por cualquier otro divisor común de los números a y b.

Ejemplo:

12 es el mcd de 36 y 60. Pues 12|36 y 12|60; a su vez 12 es divisible por 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y -12 que son divisores comunes de 36 y 60.²​

Cálculo del MCD[editar]

Los tres métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

Por descomposición en factores primos[editar]

Artículo principal: Factorización de enteros

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primosde los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.

Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos.

${\displaystyle {\begin{array}{r|l}48&2\\24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}}}$ ${\displaystyle 48=2^{4}\cdot 3\,}$

${\displaystyle {\begin{array}{r|l}60&2\\30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}}}$ ${\displaystyle 60=2^{2}\cdot 3\cdot 5\,}$

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

${\displaystyle \operatorname {mcd} (48;60)=2^{2}\cdot 3=12}$

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera.

Usando el algoritmo de Euclides[editar]

Artículo principal: Algoritmo de Euclides

Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el MCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño.

Ejemplo 1:

Si se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12, el MCD será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el MCD. Formalmente puede describirse como:

${\displaystyle \operatorname {mcd} (a,0)=a}$

${\displaystyle \operatorname {mcd} (a,b)=\operatorname {mcd} (b,a\,\mathrm {mod} \,b).}$

Ejemplo 2:

El MCD de 42 y 56 es 14. En efecto:

${\displaystyle \operatorname {mcd} (42,56)=14\,}$

operando:

${\displaystyle {\frac {42}{14}}=3\;,\quad {\frac {56}{14}}=4}$

Usando el mínimo común múltiplo[editar]

El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común múltiplo. Si a y b son distintos de cero, entonces el máximo común divisor de a y b se obtiene mediante la siguiente fórmula, que involucra el mínimo común múltiplo de a y b:

${\displaystyle \operatorname {mcd} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {MCM} (a,b)}}}$

MCD de tres o más números[editar]

El máximo común divisor de tres o más números se puede definir usando recursivamente: ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (a,b,c)=\operatorname {mcd} (a,\operatorname {mcd} (b,c))}$.³​⁴​

Propiedades[editar]

1. Si ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (a,b)=d}$ entonces ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} \left({\frac {a}{d}},{\frac {b}{d}}\right)=1}$
2. Si ${\displaystyle \ m\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (ma,mb)=|m|\cdot \operatorname {mcd} (a,b)}$
3. Si ${\displaystyle \ p}$ es un número primo, entonces ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (p,m)=p}$ o bien ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (m,p)=1}$
4. Si ${\displaystyle d=\operatorname {mcd} (m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname {mcd} (m'',n'')=1}$, entonces ${\displaystyle \ d=d'}$
5. Si ${\displaystyle \ d'}$ es un divisor común de ${\displaystyle \ m}$ y ${\displaystyle \ n}$, entonces ${\displaystyle d'\mid \operatorname {mcd} (m,n)}$
6. Si ${\displaystyle \ m=nq+r}$, entonces ${\displaystyle \operatorname {mcd} (m,n)=\operatorname {mcd} (n,r)}$
7. Si ${\displaystyle \ m=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}\;\,\mathrm {y} \;\,n=p_{1}^{\beta _{1}}\cdots p_{k}^{\beta _{k}},\;\,\alpha _{i},\beta _{i}\geq 0,\;\,i=1,...,k}$, entonces:

${\displaystyle \operatorname {mcd} (m,n)=p_{1}^{\operatorname {min} (\alpha _{1},\beta _{1})}\cdots p_{k}^{\operatorname {min} (\alpha _{k},\beta _{k})}}$

La última propiedad indica que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente.

Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).

Proposiciones[editar]

1. ${\displaystyle \forall \ a,\ b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \ni }$ ${\displaystyle \ a,\ b\neq \ 0}$ , ${\displaystyle \exists !}$d ≥ 1 ${\displaystyle \ni }$ MCD(a, b) = d.⁵​
2. El m.c.d. de los números a y b puede ser representado en forma de combinación lineal de estos números. Esto es (a, b) = ax + by
3. Si dos números enteros son primos entre sí, i.e. su mcd = 1 o en otra notación (a,b) = 1, entonces cabe la representación ma + nb = 1 donde m y n son números enteros (Identidad de Bézout).
4. si a|bc y (a,b) = 1, será a|c. En otras palabras, si un número a divide un producto de otros dos números y es coprimo con uno de ellos, entonces divide necesariamente el otro número o factor.⁶​
5. MCD(a, m) = 1 ${\displaystyle \land }$ MCD(a, n) = 1 ${\displaystyle \Longrightarrow }$ MCD( a, mn) = 1.⁶​
6. (a,b) es divisor de (a, bc)⁷​
7. t(a,b) = (ta, tb) para todo t entero⁸​
8. Si (m, b)= 1 entonces (am, b)= (a, b)⁹​
9. Si (m,b)= 1, (am, n) = 1 entones (am, bn) = (a, b)
10. Para todo x, (a, b)= (b, a) = (a, -b) = (a, b + ax)¹⁰​
11. " Por definición, (0, 0) = 0 ".¹¹​ De tal modo el mcd se definiría en todo ℤxℤ.
12. (a, b) = b si sólo si b | a, ( O sea si a es múltiplo de b).
13. Si (a,b)= D, entonces (aⁿ, bⁿ) = Dⁿ¹²​
14. mZ + nZ = (m,n)Z. Si sumamos sendos múltiplos de dos enteros es lo mismo que considerar los múltiplos de su máximo común divisor.¹³​
15. ${\displaystyle (a^{2},ab,b^{2})=(a,b)^{2}}$¹⁴​

MCD como operación interna[editar]

• EL Mcd se puede estructurar como una operación en ℤ, de este modo a cualquier par de enteros, o sea a un elemento de ℤxℤ le asigna un único elemento de ℤ.
• Para cualquier par de enteros (a,b) existe un entero no negativo d que es su máximo común divisor. Esto es a*b = (a,b) = d
• El MCD goza de la propiedad asociativa, como de la propiedad conmutativa.
• El mcd posee un elemento identidad, el cero, de modo tal que (a, 0)= (0,a)= a¹⁵​
• El mcd tiene un comportamiento dual que el mínimo común múltiplo y a los enteros no negativos a y b los liga la ecuación ab = (a,b)[a,b]¹⁶​
• Propiedad de 1: (a,1) = 1 para cualquier entero a¹⁷​

Aplicaciones[editar]

El mcd se utiliza para simplificar fracciones. Por ejemplo, para simplificar la fracción ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {48}{60}}}$ se calcula primero el mcd(60, 48) = 12, dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial por 12 para obtener la fracción simplificada ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {4}{5}}}$.

El mcd también se utiliza para calcular el mínimo común múltiplo de dos números. En efecto, el producto de los dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Así, para calcular el mínimo común múltiplo de 48 y de 60, calculamos primero su mcd, 12, siendo su mínimo común múltiplo ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {48\cdot 60}{12}}=240}$.

El mcd y el algoritmo de Euclides se emplea en la resolución de ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas.¹⁸​

El algoritmo de Euclides se emplea en el desarrollo de un número racional en fracción continuada (sic)