ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL - MEDIAS

Medias potenciales,¹​en Matemáticas, son una generalización de las medias conocidas, como la aritmética, la geométrica, la armónica, la cuadrática. Su capacidad metodológica y conceptual radica en la posibilidad de sintetizar e involucrar a las medias usuales y conocidas.

Definición[editar]

Sea ${\displaystyle x}$ una variable discreta que asume los ${\displaystyle n}$ valores positivos

${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$

, el número

${\displaystyle c_{\beta }=({\frac {x_{1}^{\beta }+x_{2}^{\beta }...+x_{n}^{\beta }}{n}})^{\frac {1}{\beta }}}$

se denomina media potencial de grado ${\displaystyle \beta }$ de los números ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$. En particular, el número²​

${\displaystyle c_{1}={\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}}$

es la media aritmética de los mencionados números; en especial, el número

${\displaystyle c_{2}=({\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...x_{n}^{2}}{n}})^{\frac {1}{2}}}$

se llama media cuadrática;,³​ finalmente, el número

${\displaystyle c_{-1}=({\frac {x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+...x_{n}^{-1}}{n}})^{-1}}$

se denomina media armónica de los números ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$.

Proposiciones[editar]

Comparación con la media geométrica[editar]

Si ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ son números positivos y, a su vez, ${\displaystyle k<0 annotation="" l="">$ entonces se cumple

${\displaystyle c_{k}\leq G\leq c_{l}}$

donde G es la media geométrica; Obsérvese que la media potencial de grado negativo no excede a la media geométrica y que la media potencial de grado positivo no es menor que la media geométrica.

Producto versus suma de n-ésinas potencias[editar]

Dado los números positivos x₁, x₂,..., x_n se cumple que

nx₁ x₂... x_n ≤ x₁ⁿ + x₂ⁿ + x_nⁿ⁴​

Monotonía de la media potencial respecto al grado[editar]

Si x₁, x₂,..., x_n son números posiivos y m < p, se tiene C _m≤ C_p. Ocurre la igualdad C _m = C_p únicamente si

x₁ = x₂ =... = x_n.

Relación de orden entre diversas medias potenciales[editar]

Si se asume que la media geométrica g sea definida como "media potencial de grado cero" y se denota g = c₀, se tiene la siguiente sucesión⁵​

c_-1 ≤ c₀ ≤ c₁ ≤ c₂

Campo de definición[editar]

Desde un punto de vista formal, no hay restricción para el valor del grado ${\displaystyle \beta }$, de modo que puede asumir cualquier valor real

${\displaystyle -\infty <\beta <+\infty }$

Y el valor de x debe ser positivo.⁶​

Alternativa de definición[editar]

${\displaystyle M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{cases}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}&{\mbox{si}}\,m\not =0\\\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}&{\mbox{si}}\,m=0\end{cases}}}$⁷​

Aplicaciones[editar]

Media geométrica[editar]

En el caso de dos pesos aproximados de una cosa, se aplica la media geométrica. Si hay dos pesadas para el mismo objeto que dan 1,085 kg y 0.995. Se halla el la media geométrica, g = 1.034, aproximado a gramos ( o milésimos)

Radio promedio[editar]

Se conocen las medidas de los radios de 4 círculos que son 6, 8, 11 y 15 cm respectivamente. Hállese el radio de círculo cuya área sea el promedio de las áreas circulares propuestas.⁸​

Sean r₁= 6, r₂ = 8, r₃ = 11 y r₄ = 15.

Se aplica la media cuadrática

${\displaystyle r_{m}={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}}{4}}}}$

y para los valores respectivos resulta el valor del radio:

${\displaystyle r_{m}=10.56}$

lo que difiere de la media aritmética de los radios que sería

${\displaystyle r_{a}=10}$

Medida promedial de arista[editar]

Se conocen las medidas de las aristas de 3 cubos que son 8, 10 y 12. Hállese la medida de un cubo que represente el volumen promedio de los cubos dados.⁹​

Sean a₁ = 8, a₂ = 10 y a₃ = 12

En este caso se va a aplicar la media potencial de grado 3

${\displaystyle a_{m}={\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}}{3}}}}$

y con los valores propuestos resulta la medida de la arista:

${\displaystyle a_{m}=10.26}$

resultado diferente a la media aritmética de las medidas de las aristas que sería

${\displaystyle a=10}$

Velocidad promedio[editar]

Si una canoa va en un río, aguas abajo, a la velocidad de 40km/km y aguas arriba a la velocidad de 25km/km, hallar la velocidad promedio. En este caso aplicamos la fórmula del promedio armónico para los valores ${\displaystyle v_{1}=40,v_{2}=25}$,

${\displaystyle v_{p}=({\frac {v_{1}^{-1}+v_{2}^{-1}}{2}})^{-1}}$

, para los datos dados, resulta ${\displaystyle v_{p}=30,77km/h}$ distinto al promedio aritmético ${\displaystyle {\frac {40+25}{2}}=32,5km/h}$.

medio rango o rango medio de un conjunto de valores numéricos ${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ es la media del menor y mayor valor, o la mitad del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor. En consecuencia el medio rango es:

${\displaystyle \mathrm {RangoMedio} (X)={\frac {\min(X)+\max(X)}{2}}}$

Ejemplo[editar]

Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor Min= 3 y el dato de mayor valor Max= 8. El medio rango resolviéndolo mediante la correspondiente fórmula sería:

${\displaystyle \mathrm {RangoMedio} (3,3,5,6,8)={\frac {\ (3+8)}{2}}=5,5}$

Representación del medio rango: 

 moda es el valor con mayor frecuencia en una distribución de datos.

Se hablará de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. En el caso de la distribución uniforme discreta, cuando todos los datos tienen la misma frecuencia, se puede definir las modas como indicado, pero estos valores no tienen utilidad. Por eso algunos matemáticos califican esta distribución como «sin moda».

El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.

La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:

${\displaystyle {\frac {p}{c-p}}={\frac {n_{i}-n_{i-1}}{n_{i}-n_{i+1}}}}$

Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.

${\displaystyle \gamma n_{i-1}\gamma n_{i+1}}$

Moda de datos agrupados[editar]

Para obtener la moda en datos agrupados se usa la siguiente fórmula:

${\displaystyle M=L_{i}+\left({\frac {D_{1}}{D_{1}+D_{2}}}\right)A_{i}}$

Donde:

${\displaystyle L_{i}}$ = ${\displaystyle L}$_{-inferior de la clase modal}.

${\displaystyle D_{1}}$ = es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta premodal.

${\displaystyle D_{2}}$ = es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta postmodal.

${\displaystyle A_{i}}$ = Amplitud del intervalo modal

Propiedades[editar]

Sus principales propiedades son:

• Cálculo sencillo.
• Interpretación muy clara.
• Al depender sólo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es por ello el parámetro más utilizado cuando al resumir una población no es posible realizar otros cálculos, por ejemplo, cuando se enumeran en medios periodísticos las características más frecuentes de determinado sector social. Esto se conoce informalmente como "retrato robot".

Inconvenientes[editar]

• Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy sensible a variaciones muestrales. Por otra parte, en variables agrupadas en intervalos, su valor depende excesivamente del número de intervalos y de su amplitud.
• Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos fuera de la moda, no afectan en modo alguno a su valor.
• No siempre se sitúa hacia el centro de la distribución.
• Puede haber más de una moda en el caso en que dos o más valores de la variable presenten la misma frecuencia (distribuciones bimodales o multimodales).

media truncada a una medida de tendencia central estadística, similar a un promedio y una mediana. Para el cálculo del promedio en este caso previamente se descartan porciones de la distribución de probabilidad o muestra en el extremo inferior y superior, típicamente se descarta igual cantidad en ambos extremos.

Para la mayoría de los usos en estadística se elimina entre el 5 al 25% de los elementos de la muestra en los extremos. En algunas regiones de Europa Central a veces se lo denomina promedio Windsor, pero no se debe confundir este nombre con un promedio Winsorizado: en este último, las observaciones que han sido descartadas son reemplazadas por el más grande o el más pequeño de los valores que restan.

Notación[editar]

El índice de la media es una indicación del porcentaje de datos eliminados en ambos extremos. Por ejemplo, si se fuera a truncar en un 12,5% una muestra con 8 datos al calcular la media truncada, se deben descartar el valor más pequeño y el más grande de la muestra.

Interpolación[editar]

Cuando se debe determinar la media truncada de una muestra, pero no es posible hacerlo en forma precisa, lo mejor es calcular las dos medias truncadas más próximas, y luego interpolar (por lo general en forma lineal). Por ejemplo, si se debe calcular la media truncada al 15% de una muestra conteniendo diez elementos, primero se calcula la media truncada al 10% (eliminando un elemento en cada extremo de la muestra), luego se calcula la media truncada al 20% (eliminando dos datos en cada extremo), y finalmente se interpola para calcular la media truncada al 15%.

Ventajas[editar]

La media truncada es un estimador útil porque es menos sensible a valores atípicos que el promedio y aun así da un razonable estimador de la tendencia central o promedio para numerosos modelos estadísticos. En este sentido es reconocido por ser un estimador robusto.

Un caso en el cual puede ser ventajoso utilizar la media truncada es al estimar el parámetro de ubicación de una distribución de Cauchy, una distribución de probabilidad con forma de campana con colas más prominente que la distribución normal. Es posible demostrar que la media truncada de la muestra truncada al 24% order statistics(es decir, truncando la muestra al 38%) produce un estimador del parámetro de ubicación de la población que es más eficiente que utilizar la mediana de la muestra o el promedio de toda la muestra.¹​²​ Sin embargo, a causa de las colas gruesas de la distribución de Cauchy, la eficiencia del estimador decrece ya que una mayor cantidad de la muestra es utilizada para realizar la estimación.¹​²​ Es de destacar que en el caso de la distribución de Cauchy, ni la media truncada, ni el promedio de toda la muestra o la media de la muestra constituyen un estimador de máxima verosimilitud, ni tampoco es ninguno de ellos eficiente de forma asintótica como estimador de máxima verosimilitud; sin embargo, dado que el estimador de máxima verosimilitud es difícil de calcular, con lo cual la media truncada es una alternativa útil.²​³​

Desventajas[editar]

La media truncada utiliza más información de la distribución o muestra que la mediana, por lo que a menos que la distribución subyacente sea simétrica, la media truncada de una muestra es poco probable que permita obtener un estimador no sesgado de la media o de la mediana.

Ejemplos[editar]

Los métodos de otorgar puntaje en numerosos deportes que son evaluados por un panel de jueces utilizan una media truncada: se descartan el valor más bajo y el valor más alto; y se calcula el puntaje promedio utilizando las otras puntuaciones. El promedio intercuartil es otro ejemplo en el que se descartan el 25% inferior y el 25% superior de los puntos, y se calcula el promedio del resto de los puntajes.