ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL

acarreo es el nombre utilizado para describir un recurso mnemotécnico en una operación aritmética, principalmente en la operación suma.

Se usa cuando un dígito ha sido transferido de una columna de dígitos a otra columna de mayor potencia en un algoritmo de cálculo.¹​

Ejemplo

En el siguiente algoritmo escrito de suma, el dígito 1 es el acarreo:

${\displaystyle {\begin{array}{crr}&{\color {Blue}1}&\\&2&7\\+&5&9\\\hline &8&6\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Blue}\longleftarrow \;acarreo}\\\longleftarrow \;1^{\circ }\;sumando\\\longleftarrow \;2^{\circ }\;sumando\\\longleftarrow \;Suma\end{array}}}$

Explicación

Para escribir la suma de los números 27 más 59, ordeno sus dígitos por columnas (decenas y unidades)

Primero sumo la columna de las unidades (7 + 9) y obtengo el número 16 (1 decena y 6 unidades).

Escribo sólo 6 debajo de la columna de unidades y acarreo (o me llevo)²​ 1 decena a la columna siguiente: la columna de las decenas.

En informática[editar]

En referencia a un circuito digital como un sumador, la palabra acarreo es usada de forma similar. En la mayoría de las computadoras, el acarreo del bit de mayor potencia de una operación aritmética (o el desplazamiento del último bit, en una operación de desplazamiento) es ubicado en un bit especial, llamado bit de acarreo, el cual podrá ser usado como entrada de acarreo en una operación aritmética de precisión múltiple, o será usado para el control de ejecución de un programa informático.³​

El acarreo reserva es, en la suma, la señal que marca el desbordamiento de la suma de dos números y que se añade como 1 al valor de su izquierda.

base al número que define el orden de magnitud en que se ve incrementada cada una de las cifras sucesivas que componen el número. Es también la cantidad de símbolos presentes en dicho sistema. Por ejemplo, el sistema de numeración decimal (el más utilizado en la actualidad) utiliza como base el número 10 (diez): hay 10 símbolos o dígitos, y cada uno de ellos se incrementa en un orden de magnitud de 10 por cada posición consecutiva.

En cualquier sistema de numeración, el número ${\displaystyle x}$ y su base ${\displaystyle y}$ se denotan convencionalmente como ${\displaystyle (x)_{y}}$, esto se cumple para todos los sistemas salvo el decimal, por ser la manera más habitual de expresar valores, donde se omite la base. Así, por ejemplo, ${\displaystyle (100)_{10}}$ (o sin la base) es el número ${\displaystyle 100}$ en el sistema decimal; y ${\displaystyle (100)_{2}}$ es el número ${\displaystyle 4}$ en el sistema binario.

Bases más comunes[editar]

Las bases más comunes son:

Base	Sistema
2	Sistema binario
3	Sistema ternario
5	Sistema quinario
8	Sistema octal
10	Sistema decimal
12	Sistema duodecimal
16	Sistema hexadecimal
20	Sistema vigesimal
60	Sistema sexagesimal
64	Base64

cero (0) es el signo numérico de valor nulo, que en notación posicional ocupa los lugares donde no hay una cifra significativa. Si está situado a la derecha de un número entero se multiplica por 10 su valor;¹​ colocado a la izquierda, no lo modifica.

Utilizándolo como número, se pueden realizar con él operaciones algebraicas como sumas, restas, multiplicaciones, entre otras. Pero, por ser la expresión del valor nulo (nada, nadie, ninguno...), puede dar lugar a expresiones indeterminadas o que carecen de sentido.

Es el elemento del conjunto ordenado de los números enteros(ℤ, ≤) que sigue al –1 y precede al 1. Algunos matemáticos lo consideran perteneciente al conjunto de los naturales (ℕ) ya que estos también se pueden definir como el conjunto que nos permite contar el número de elementos que contienen los demás conjuntos, y el conjunto vacío tiene ningún elemento. El número cero se puede representar como cualquier número más su opuesto (o, equivalentemente, menos él mismo): X + (–X) = 0.

Historia[editar]

Antiguas y grandes civilizaciones —como las del Antiguo Egipto, Babilonia, la Antigua Grecia y la civilización Maya— poseen documentos de carácter matemático o astronómico mostrando símbolos indicativos del valor cero; pero por diversas peculiaridades de sus sistemas numéricos, no supieron obtener el verdadero beneficio de este capital descubrimiento.²​

En el Antiguo Egipto se utilizó el signo "-nfr-" ( ) para indicar el cero (en el Papiro Boulaq 18, datado hacia el 1700 a. C.). El cero apareció por primera vez en Babilonia en el siglo III a. C., aunque su escritura en tablillas de arcilla se remonta al 2000 a. C. Los babilonios escribían en arcilla sin cocer, sobre superficies planas o tablillas. Su notación era cuneiforme. En tablillas datadas en el año 1700 a. C. se ven anotaciones numéricas en su particular forma. Los babilonios utilizaban un sistema de base 60. Con su sistema de notación no era posible distinguir el número 23 del 203 o el 2003, aunque esta ambigüedad no pareció preocuparles. Alrededor del 400 a. C., los babilonios comenzaron a colocar el signo de «dos cuñas» en los lugares donde en nuestro sistema escribiríamos un cero, que se leía «varios». Las dos cuñas no fueron la única forma de mostrar las posiciones del cero; en una tablilla datada en el 700 a. C. encontrada en Kish, antigua ciudad de Mesopotamia al este de Babilonia, utilizaron un signo de «tres ganchos». En otras tablillas usaron un solo «gancho» y, en algunos casos, la deformación de este se asemeja a la forma del cero. Glifo maya para el cero, año 36 a. C. Es el primer uso documentado del cero utilizando notación posicional. El cero también surgió en Mesoamérica e ideado por las civilizaciones mesoamericanas antes de la era cristiana, por la Cultura Maya. Posiblemente fue utilizado antes por la cultura Olmeca. El primer uso documentado mostrando el número cero corresponde al año 36 a. C., haciendo uso de la numeración Maya. A causa de la anomalía introducida en el tercer lugar de su notación posicional, les privó de posibilidades operativas.3​ Claudio Ptolomeo en el Almagesto, escrito en 130 d. C., usaba el valor de «vacío» o «0». Ptolomeo solía utilizar el símbolo entre dígitos o al final del número. Podría pensarse que el cero habría arraigado entonces, pero lo cierto es que Ptolomeo no usaba el símbolo como «número» sino que lo consideraba un signo de anotación. Este uso no se difundió, pues muy pocos lo adoptaron. Los romanos no utilizaron el cero. Sus números eran letras de su alfabeto; para representar cifras usaban: I, V, X, L, C, D, M, agrupándolas. Para números con valores iguales o superiores a 4000, dibujaban una línea horizontal sobre el «número», para indicar que el valor se multiplicaba por 1000. El cero posicional[editar] La civilización india es la cuna de la notación posicional, de uso casi universal en el siglo XXI. La palabra «cero» proviene de la traducción de su nombre en sánscrito shunya (vacío) al árabe sifr (صفر), a través del italiano. La voz española «cifra» también tiene su origen en sifr. Es posible que el matemático indio Brahmagupta (siglo VI) fuera el primero en teorizar sobre el concepto de "cero" no sólo como definición de una cantidad nula, sino como posible sumando para números negativos y positivos. El primer testimonio del uso del «cero indio» está datado en el año 683: una inscripción camboyana de Angkor Wat, tallada en piedra, que incluye el número "605".4​ Otras pruebas de uso se datan hacia el año 810. Las inscripciones de Gwalior están datados en 875-876.5​ Abu Ja'far Mujammad ibn Musa (Al-Juarismi), en su obra titulada «Tratado de la adición y la sustracción mediante el cálculo de los indios» explica el principio de numeración posicional decimal, señalando el origen indio de las cifras. La décima figura, que tiene forma redondeada, es el «cero».6​ Los árabes lo transmitieron por el Magreb y Al-Ándalus, pasando posteriormente al resto de Europa. Los primeros manuscritos que muestran las cifras indias (llamadas entonces «árabes») provienen del norte de España y son del siglo X: el Codex Vigilanus y el Codex Aemilianensis. El cero no figura en los textos, pues los cálculos se realizaban con ábaco, y su uso aparentemente no era necesario. Aunque se atribuyen los primeros usos del cero en Francia, o al controvertido papa Silvestre II, alrededor del año 1000, la mayor parte de las referencias indican que el cero (llamado zefhirum) fue introducido en Europa por el matemático italiano Fibonacci en el siglo XII, mostrando el álgebra árabe en su Liber abaci (El libro del ábaco), aunque por la facilidad del nuevo sistema, las autoridades eclesiásticas lo tildaron de mágico o demoniaco.7​ La iglesia y la casta de los calculadores profesionales —clérigos en su mayoría, que utilizaban el ábaco— se opusieron frontalmente, vetando la nueva álgebra, en algunos lugares hasta el siglo XV.8​ Representaciones del cero[editar] El cero se representa en textos occidentales con la cifra «0». Desde el siglo XX, y especialmente con el desarrollo de la informática, es frecuente que este signo aparezca cortado por una barra diagonal (/), nueva notación que evitaba la confusión con la grafía de la letra «o». Hasta hace poco, la conjunción disyuntiva "o" debía llevar tilde: «ó», cuando iba escrita entre cifras para no ser confundida con el signo numérico 0. Actualmente, dicha regla no está en vigor.9​ Representación gráfica del valor cero[editar] En coordenadas cartesianas el origen de coordenadas se asocia al valor 0 (cero). El cero y los números naturales[editar] El cero, por ser un concepto numérico especial, no se incluía en el conjunto de los números naturales ℕ, por convenio. Y se representaba como ℕ0, al conjunto de los números naturales cuando incluye al cero, por ello es posible encontrar muchos libros donde los autores no consideran al cero como número natural. De hecho, aún no hay consenso al respecto. A algunos matemáticos les resulta conveniente tratarlo como a los otros números naturales, por eso la discrepancia. Desde un punto de vista histórico el cero aparece tan tarde que algunos no creen que sea justo llamarlo natural. Operaciones matemáticas con el cero[editar] Cero en la suma[editar] En la suma, el cero es el elemento neutro; es decir, cualquier número a sumado con 0 vuelve a dar a. Ejemplo:25 + 0 = 25 Cero en la resta[editar] En la resta, el cero es el elemento neutro; es decir, cualquier número a restado con 0 vuelve a dar a, excepto cuando el cero es el minuendo, en cuyo caso resulta -a. Ejemplos: 37 – 0 = 37 0 - 37 = -37 Cero en la multiplicación[editar] En el producto, el cero es el elemento absorbente; cualquier número operado con 0 da 0. Ejemplo: 25 × 0 = 0 Cero en la división[editar] El cero puede ser dividido por otros números, en cuyo caso es el elemento absorbente (ejemplo: 0:25 = 0). El cero no puede dividir a ningún número. División por cero en los números reales[editar] Artículo principal: División por cero En los números reales (incluso en los complejos) la división entre cero es una indeterminación; así, las expresiones: 8⁄0; 0⁄0 carecen de sentido. Intuitivamente, significa que no tiene 'sentido' «repartir» 8 manzanas entre niños de un aula vacía. Tampoco tiene 'sentido', distribuir 0 billetes entre cero personas: nada entre nadie. Matemáticamente, el cero es el único número real por el cual no se puede dividir. Por eso 0 es el único real que no tiene inverso multiplicativo. Ejemplo: x⁄2 = x · 1⁄2 (correcto). x⁄0 = x · 1⁄0 (incorrecto porque 1⁄0 no es un número real). Cero en la división de límites[editar] Véase también: Forma indeterminada En el análisis matemático existen definiciones de distintos tipos de límites. Por ejemplo: ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}}{t}}=0}$, ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t}}=1}$, ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}=\infty }$. Sin embargo, si se analiza cada numerador y denominador por separado, el límite de todo ellos es cero. Por eso se dice que 0⁄0 es indeterminado, pues pueden obtenerse resultados tan diferentes como infinito, uno o cero. Cero en la potenciación[editar] Véase también: Potenciación Si a es distinto de 0, entonces ${\displaystyle a^{0}=1.}$ Si n es mayor de 0, entonces ${\displaystyle 0^{n}=0.}$ El valor ${\displaystyle 0^{0}}$ no está definido como potencia, pero según el contexto o por comodidad se puede elegir uno de los resultados mediante una definición. Algunas calculadoras científicas dan 1 como resultado. En el contexto de los límites, ${\displaystyle 0^{0}}$ es una indeterminación pues los límites de potencias tales que los límites de base y exponente por separado son cero, pueden terminar dando cualquier cosa. Paridad[editar] Artículo principal: Paridad del cero En el conjunto de los enteros, ℤ el 0 es un número par; satisface la definición de paridad, así como también todas las características de los números pares. El cero es un número par, situado entre dos números impares (el –1 y el 1). El cero en la Identidad de Euler[editar] El cero, junto con los números 1, π, i, e están relacionados en la célebre Identidad de Euler: eiπ + 1 = 0 Matemática avanzada[editar] En otra ramas de la matemática, especialmente en el álgebra, se llama «cero» y se simboliza también con «0» a elementos de otros conjuntos muy diferentes de los reales. Es el caso del vector nulo en el conjunto de los vectores del plano o del espacio. En general se le dice cero al elemento neutro de un grupo abeliano. Sistemas digitales[editar] El 0 se asocia con la posición de "apagado" en lógica positiva (el 1 se asocia con la posición de "encendido") y es uno de los dos dígitos (0 y 1) del sistema binario. Cero absoluto[editar] Artículo principal: Cero absoluto El cero absoluto es, en el campo de la física, la temperatura más baja que teóricamente puede alcanzar la materia. Esta temperatura da lugar a la escala Kelvin, que establece como 0 K dicha temperatura. Su equivalencia en grados celsius es de –273,15 °C.