CONCEPTOS FÍSICOS

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

 leyes de conservación se refieren a las leyes físicas que postulan que durante la evolución temporal de un sistema aislado, ciertas magnitudes tienen un valor constante. Puesto que el universo entero constituye un sistema aislado, pueden aplicársele diversas leyes de conservación.

En física clásica[editar]

Las leyes de conservación más importantes en mecánica y electromagnetismo clásicos son:

• Conservación del momento lineal.
• Conservación del momento angular.
• Conservación de la carga eléctrica.
• Conservación de la masa.
• Conservación de la energía.

En mecánica clásica la conservación de una magnitud física requiere en virtud del teorema de Noether que exista una simetría del lagrangiano, o equivalentemente que el corchete de Poisson de dicha magnitud se anule (siempre y cuando el hamiltoniano no dependa del tiempo).

En física cuántica[editar]

En mecánica cuántica y física nuclear a las anteriores se les añaden estas otras:

• Conservación del número leptónico.
• Conservación de la carga de color.
• Conservación de la probabilidad.
• Simetría CPT.

En sistemas conservativos puede probarse que una magnitud Â se conserva si y sólo sí conmuta con el hamiltoniano H:

${\displaystyle {\hat {A}}\ {\mbox{conservado}}\Rightarrow [{\hat {A}},{\hat {H}}]=0}$

Leyes de conservación aproximadas[editar]

Además de las anteriores tanto en mecánica clásica (MC) como en mecánica cuántica (MQ) se usan en ciertos contextos leyes de conservación aproximadas, es decir, que no son universales para todos los procesos aunque sí una buena parte de los procesos físicos conocidos:

• Conservación de sabor, violada en algunas interacciones débiles (MQ).
• Conservación del número bariónico. (MQ)
• Conservación del isospín. (MQ)
• Conservación de paridad (MC y MQ).
• Simetría CP (MQ).

Teorema de Noether[editar]

En las teorías físicas que admiten un formalismo lagrangiano puede probarse que las leyes de conservación están ligadas a simetrías del sistema físico. Más concretamente el teorema de Noether para las teorías clásicas establece que si existe una simetría abstracta del lagrangiano asociada a un grupo uniparamétrico existe una magnitud que permanece constante a lo largo de la evolución del sistema, es decir, existe una ley de conservación asociada a esa simetría.

Más aún la magnitud observada funcionalmente puede construirse a partir de los momentos conjugados del lagrangiano y del elemento del álgebra de Lie del grupo uniparamétrico de la simetría.

Leyes de Conservación

Si un sistema no interacciona con su entorno de ninguna manera, entonces determinadas propiedades mecánicas del sistema no pueden cambiar. Algunas veces nos referimos a ellas como "constantes del movimiento". Estas cantidades se dice que son "conservadas" y las leyes de conservación resultante se pueden considerar como los principios mas fundamentales de la mecánica. En mecánica, ejemplos de cantidades conservativas son la energía, el momento y el momento angular. Las leyes de conservación son exactas para un sistema aislado.

Establecidas aquí como principios de la mecánia, estas leyes de conservación tiene profundas implicaciones en la simetría de la naturaleza, que no hemos visto violadas. Ellas sirven como una fuerte restricción en cualquier teoría sobre cualquier rama de la ciencia.

momento angular o momento cinético es una magnitud física de las tres mecánicas (mecánica clásica, cuántica y relativista). En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en kg·m²/s. Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un papel análogo al momento lineal en las traslaciones.

El nombre tradicional en español es momento cinético,¹​ pero por influencia del latín angular momentum hoy son frecuentes momento angular y otras variantes como cantidad de movimiento angular o ímpetu angular.

Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una magnitud física que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema va cambiando, lo cual da lugar a la llamada ley de conservación del momento angular. El momento angular para un cuerpo rígido que rota respecto a un eje es la resistencia que ofrece dicho cuerpo a la variación de la velocidad angular. Sin embargo, eso no implica que sea una magnitud exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento angular de una partícula que se mueve libremente con velocidad constante (en módulo y dirección) también se conserva.

Momento angular de una masa puntual[editar]

El momento angular de una partícula con respecto al punto ${\displaystyle \scriptstyle {O}}$es el producto vectorial de su momento lineal ${\displaystyle \scriptstyle {m\mathbf {v} }}$ por el vector ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {r} }}$.

En mecánica newtoniana, el momento angular de una partícula o masa puntual con respecto a un punto O del espacio se define como el momento de su cantidad de movimiento ${\displaystyle \mathbf {p} }$ con respecto a ese punto. Normalmente se designa mediante el símbolo ${\displaystyle \mathbf {L} }$. Siendo ${\displaystyle \mathbf {r} }$ el vector que une el punto O con la posición de la masa puntual, será

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$

El vector ${\displaystyle \mathbf {L} \,}$ es perpendicular al plano que contiene ${\displaystyle \mathbf {r} \,}$ y ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$, en la dirección indicada por la regla del producto vectorial o regla de la mano derecha y su módulo o intensidad es:

${\displaystyle L=mrv\sin \theta =p\,r\sin \theta =p\,b_{p}}$

esto es, el producto del módulo del momento lineal por su brazo (${\displaystyle b_{p}\,}$ en el dibujo), definido éste como la distancia del punto respecto al que se toma el momento a la recta que contiene la velocidad de la partícula.

Momento angular y momento dinámico[editar]

Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

${\displaystyle {d\mathbf {L} \over dt}={d\ \over dt}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\left({d\mathbf {r} \over dt}\times \mathbf {p} \right)+\left(\mathbf {r} \times {d\mathbf {p} \over dt}\right)}$

El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de ${\displaystyle \mathbf {r} \,}$ con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad ${\displaystyle \mathbf {v} \,}$ y, como el vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento ${\displaystyle \mathbf {p} \,}$, el producto vectorial es cero. En cuanto al segundo paréntesis, tenemos:

${\displaystyle {d\mathbf {L} \over dt}=\mathbf {r} \times {d\mathbf {p} \over dt}=\mathbf {r} \times {d \over dt}\left(m\mathbf {v} \right)=\mathbf {r} \times (m\mathbf {a} )}$

donde ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {a} }}$ es la aceleración de la partícula, de modo que ${\displaystyle m\mathbf {a} =\mathbf {F} \,}$, es la fuerza que actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial de ${\displaystyle \mathbf {r} \,}$ por la fuerza es el momento o momento dinámico aplicado a la masa, tenemos:

${\displaystyle {d\mathbf {L} \over dt}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {M} }$

Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento dinámico que actúa sobre la partícula. Hay que destacar que en esta expresión ambos momentos, ${\displaystyle \mathbf {L} \,}$ y ${\displaystyle \mathbf {M} \,}$ deberán estar referidos al mismo punto O.

Momento angular de un conjunto de partículas puntuales[editar]

El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{k}{\vec {r}}_{k}\times {\vec {p}}_{k}=\sum \mathbf {L} _{i}\,}$

La variación temporal es:

${\displaystyle {d\mathbf {L} \over dt}=\sum {d\mathbf {L} _{i} \over dt}=\sum \mathbf {M} _{i}\,}$

El término de derecha es la suma de todos los momentos producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los momentos producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los momentos de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los momentos externos:

${\displaystyle {d\mathbf {L} \over dt}=\sum {d\mathbf {L} _{i} \over dt}=\mathbf {M} _{ext.}\,}$

El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de momentos externos. Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.

Momento angular de un sólido rígido[editar]

Tenemos que en un sistema inercial la ecuación de movimiento es:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\frac {d}{dt}}\left[\mathbf {I} (t)\mathbf {\omega } (t)\right]}$

Donde:

• ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {\omega } }}$ es la velocidad angular del sólido.
• ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {I} }}$ es el tensor de inercia del cuerpo.

Ahora bien, normalmente para un sólido rígido el tensor de inercia ${\displaystyle \mathbf {I} }$, depende del tiempo y por tanto en el sistema inercial generalmente no existe un análogo de la segunda ley de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los ejes principales de inercia sucede que:

${\displaystyle {d\mathbf {L} \over dt}\neq \mathbf {I} {d\mathbf {\omega } \over dt}=\mathbf {I} \mathbf {\alpha } }$

Donde ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {\alpha } }}$ es la aceleración angular del cuerpo. Por eso resulta más útil plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los ejes principales de inercia del sólido, así se logra que ${\displaystyle \mathbf {I} ={\mbox{cte.}}}$, aunque entonces es necesario contar con las fuerzas de inercia:

${\displaystyle {d\mathbf {L} \over dt}=\mathbf {I} {d\mathbf {\omega } \over dt}+\mathbf {\omega } \times (\mathbf {I} \mathbf {\omega } )}$

Que resulta ser una ecuación no lineal en la velocidad angular.

Conservación del momento angular clásico[editar]

Cuando la suma de los momentos externos es cero ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {M} =0}}$, hemos visto que:

${\displaystyle {d\mathbf {L} \over dt}=0\,}$

Eso quiere decir que ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {L} =\mathrm {constante} }}$. Y como ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {L} }}$ es un vector, es constante tanto en módulo como en dirección.

Consideremos un objeto que puede cambiar de forma. En una de esas formas, su Momento de inercia es ${\displaystyle \scriptstyle {I_{1}}}$ y su velocidad angular ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {\omega } _{1}}}$. Si el objeto cambia de forma (sin intervención de un momento externo) y que la nueva distribución de masas hace que su nuevo Momento de inercia sea ${\displaystyle \scriptstyle {I_{2}}}$, su velocidad angular cambiará de manera tal que:

${\displaystyle \mathbf {I} _{1}\mathbf {\omega } _{1}=\mathbf {I} _{2}\mathbf {\omega } _{2}\,}$

En algunos casos el momento de inercia se puede considerar un escalar. Entonces la dirección del vector velocidad angular no cambiará. Solo cambiará la velocidad de rotación.

Hay muchos fenómenos en los cuales la conservación del momento angular tiene mucha importancia. Por ejemplo:

• En todos las artes y los deportes en los cuales se hacen vueltas, piruetas, etc. Por ejemplo, para hacer una pirueta, una bailarina o una patinadora toman impulso con los brazos y una pierna extendida para aumentar sus momentos de inercia alrededor de la vertical. Después, cerrando los brazos y la pierna, disminuyen sus momentos de inercia, lo cual aumenta la velocidad de rotación. Para terminar la pirueta, la extensión de los brazos y una pierna, permite disminuir la velocidad de rotación. Sucede lo mismo con el salto de plataforma o el trampolín. También es importante en el ciclismo y motociclismo, ya que la conservación del momento angular es la responsable de la sencillez con que es posible mantener el equilibrio.
• Para controlar la orientación angular de un satélite o sonda espacial. Como se puede considerar que los momentos externos son cero, el momento angular y luego, la orientación del satélite no cambian. Para cambiar esta orientación, un motor eléctrico hace girar un volante de inercia. Para conservar el momento angular, el satélite se pone a girar en el sentido opuesto. Una vez en la buena orientación, basta parar el volante de inercia, lo cual para el satélite. También se utiliza el volante de inercia para parar las pequeñas rotaciones provocadas por los pequeños momentos inevitables, como el producido por el viento solar.
• Algunas estrellas se contraen convirtiéndose en púlsar (estrella de neutrones). Su diámetro disminuye hasta unos kilómetros, su momento de inercia disminuye y su velocidad de rotación aumenta enormemente. Se han detectado pulsares con periodos rotación de tan sólo unos milisegundos.
• Debido a las mareas, la Luna ejerce un momento sobre la Tierra. Este disminuye el momento angular de la Tierra y, debido a la conservación del momento angular, el de la Luna aumenta. En consecuencia, la Luna aumenta su energía alejándose de la Tierra y disminuyendo su velocidad de rotación (pero aumentando su momento angular). La Luna se aleja y los días y los meses lunares se alargan.

Ejemplo[editar]

En el dibujo de la derecha tenemos una masa que gira, tenida por un hilo de masa despreciable que pasa por un tubito fino. Suponemos el conjunto sin rozamientos y no tenemos en cuenta la gravedad.

La fuerza que el hilo ejerce sobre la masa es radial y no puede ejercer un momento sobre la masa. Si tiramos del hilo, el radio de giro disminuirá. Como, en ausencia de momentos externos, el momento angular se conserva, la velocidad de rotación de la masa debe aumentar.

Un tirón sobre el hilo comunica una velocidad radial ${\displaystyle \scriptstyle {\Delta V}}$ a la masa. La nueva velocidad es la suma vectorial de la velocidad precedente y ${\displaystyle \scriptstyle {\Delta V}}$

En el dibujo siguiente aparece la masa que gira con un radio ${\displaystyle \scriptstyle {R_{1}}}$en el momento en el cual se da un tirón del hilo. El término correcto del "tirón" física es un impulso, es decir una fuerza aplicada durante un instante de tiempo. Ese impulso comunica una velocidad radial ${\displaystyle \scriptstyle {\Delta V}}$ a la masa. La nueva velocidad será la suma vectorial de la velocidad precedente ${\displaystyle \scriptstyle {V}}$ con ${\displaystyle \scriptstyle {\Delta V}}$. La dirección de esa nueva velocidad no es tangencial, sino entrante. Cuando la masa pasa por el punto más próximo del centro, a una distancia ${\displaystyle \scriptstyle {R_{2}}}$, cobramos el hilo suelto y la masa continuará a girar con el nuevo radio ${\displaystyle \scriptstyle {R_{2}}}$. En el dibujo, el triángulo amarillo y el triángulo rosado son semejantes. Lo cual nos permite escribir:

${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}={R_{1} \over R_{2}}\,}$

o sea:

${\displaystyle V_{1}R_{1}=V_{2}R_{2}\,}$

Y, si multiplicamos por la masa ${\displaystyle \scriptstyle {m}}$, obtenemos que el momento angular se ha conservado, como lo esperábamos:

${\displaystyle mV_{1}R_{1}=mV_{2}R_{2}\,}$

Vemos como el momento angular se ha conservado: Para reducir el radio de giro hay que comunicar una velocidad radial, la cual aumenta la velocidad total de la masa.

También se puede hacer el experimento en el otro sentido. Si se suelta el hilo, la masa sigue la tangente de la trayectoria y su momento angular no cambia. A un cierto momento frenamos el hilo para que el radio sea constante de nuevo. El hecho de frenar el hilo, comunica una velocidad radial (hacia el centro) a la masa. Esta vez esta velocidad radial disminuye la velocidad total y solo queda la componente de la velocidad tangencial al hilo en la posición en la cual se lo frenó.

No es necesario hacer la experiencia dando un tirón. Se puede hacer de manera continua, ya que la fuerza que se hace recobrando y soltando hilo puede descomponerse en una sucesión de pequeños impulsos.

Momento angular en mecánica relativista[editar]

En mecánica newtoniana el momento angular es un pseudovector o vector axial, por lo que en mecánica relativista debe ser tratado como el dual de Hodge de las componentes espaciales de un tensor antisimétrico. Una representación del momento angular en la teoría especial de la relatividad es por tanto como cuadritensorantisimétrico:

${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&ctp_{x}-Ex/c&ctp_{y}-Ey/c&ctp_{z}-Ez/c\\Ex/c-ctp_{x}&0&xp_{y}-yp_{x}&xp_{z}-zp_{x}\\Ey/c-ctp_{y}&yp_{x}-xp_{y}&0&yp_{z}-yp_{z}\\Ez/c-ctp_{z}&zp_{x}-xp_{z}&zp_{y}-yp_{z}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&r_{x}&r_{y}&r_{z}\\-r_{x}&0&L_{z}&-L_{y}\\-r_{y}&-L_{z}&0&L_{x}\\-r_{z}&L_{y}&-L_{x}&0\end{pmatrix}}}$

Puede verse que las 3 componentes espaciales forman el momento angular de la mecánica newtoniana ${\displaystyle \mathbf {L} =(L_{x},L_{y},L_{z})}$ y el resto de componentes ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})\,}$ describen el movimiento del centro de masas relativista.

Momento angular en mecánica cuántica[editar]

En mecánica cuántica el momento angular es un conjunto de tres operadores para los cuales existe un conjunto de estados linealmentemente independientes ${\displaystyle |\alpha ,\beta \rangle }$ que satisface:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}^{2}|\alpha ,\beta \rangle ={\hbar }^{2}\alpha (\alpha +1)|\alpha ,\beta \rangle \qquad ;\qquad {\hat {A}}_{3}|\alpha ,\beta \rangle =\hbar \beta |\alpha ,\beta \rangle }$

Y que además satisfacen las siguientes relaciones de conmutación canónicas:

${\displaystyle [{\hat {A}}_{i},{\hat {A}}_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {A}}_{k},\qquad \left[{\hat {A}}_{i},{\hat {\mathbf {A} }}^{2}\right]=0}$

donde

${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ es el símbolo de Levi-Civita y

${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}^{2}:={\hat {A}}_{x}^{2}+{\hat {A}}_{y}^{2}+{\hat {A}}_{z}^{2}}$

Estas relaciones de conmutación garantizan que dichos operadores constituyen una representación del álgebra de Lie su(2) (que está relacionada, con el grupo recubridor universal del grupo de rotaciones tridimensional).

Por ejemplo el momento angular orbital ${\displaystyle \mathbf {L} }$, el espín ${\displaystyle \mathbf {S} }$ (o momento angular intrínseco), el isospín ${\displaystyle \mathbf {I} }$, el momento angular total ${\displaystyle \mathbf {J} }$, etc.

Momento angular orbital[editar]

El momento angular orbital, tal como el que tiene un sistema de dos partículas que gira una alrededor de la otra, se puede transformar a un operador ${\displaystyle {\hat {L}}}$ mediante su expresión clásica:

${\displaystyle \mathbf {\hat {L}} =-i\hbar \left(\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\nabla }}\right)}$

siendo ${\displaystyle \mathbf {r} }$ la distancia que las separa.

Usando coordenadas cartesianas las tres componentes del momento angular se expresan en el espacio de Hilbert usual para las funciones de onda, ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$, como:

${\displaystyle {\hat {L}}_{x}=-i\hbar \left(y{\frac {\partial }{\partial z}}-z{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\qquad {\hat {L}}_{y}=-i\hbar \left(z{\frac {\partial }{\partial x}}-x{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\qquad {\hat {L}}_{z}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)}$

En cambio en coordenadas angulares esféricas el cuadrado del momento angular y la componente Z se expresan como:

${\displaystyle \ {\hat {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]\qquad {\hat {L}}_{z}=-i\hbar \left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)}$

Los vectores propios o estados propios del momento angular orbital dependen de dos números cuánticos enteros ${\displaystyle l}$ y ${\displaystyle m}$, se designan como ${\displaystyle |l,m\rangle }$ y satisfacen las relaciones:

${\displaystyle {\hat {L}}^{2}|l,m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)|l,m\rangle \qquad {\hat {L}}_{z}|l,m\rangle =\hbar m|l,m\rangle }$

Estos vectores propios expresados en términos de las coordenadas angulares esféricas son los llamados armónicos esféricos Y_{l, m}(θ,φ), que se construyen a partir de los polinomios de Legendre:

${\displaystyle \langle \theta ,\phi |l,m\rangle =Y_{l,m}(\theta ,\varphi )\qquad Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=N\,e^{im\varphi }\,P_{l}^{m}(\cos {\theta })}$

Tienen especial importancia por ser la componente angular de los orbitales atómicos.

Conservación del momento angular cuántico[editar]

Es importante notar que si el hamiltoniano no depende de las variables angulares, como sucede por ejemplo en problemas con potencial de simetría esférica entonces todas las componentes del momento angular conmutan con el hamiltoniano:

${\displaystyle \left[{\hat {L}}_{i},H\right]=0}$

y, como consecuencia, el cuadrado del momento angular también conmuta con el Hamiltoniano:

${\displaystyle \left[{\hat {L}}^{2},H\right]=0}$.

Y tenemos que el momento angular se conserva, eso significa que a lo largo de la evolución en el tiempo del sistema cuántico la distribución de probabilidad de los valores del momento angular no variará. Nótese sin embargo que como las componentes del momento angular no conmutan entre sí no se pueden definir simultáneamente. Sin embargo, si se pueden definir simultáneamente el cuadrado del momento angular y una de sus componentes (habitualmente se elige la componente Z). En particular si tenemos estados cuánticos de momento bien definido estos seguirán siendo estados cuánticos de momento bien definido con los mismos valores de los números cuánticos ${\displaystyle l}$ y ${\displaystyle m}$.

• El momento angular de una partícula puntual: Lo utilizamos para caracterizar el estado de rotación de un punto o de un cuerpo que se pueda tratar como tal. Recuerda que esto sucede cuando las dimensiones del cuerpo son despreciables frente a las de la trayectoria de su movimiento
• Qué es el momento de inercia de una partícula y como se relaciona con el momento angular
• El momento angular de un sistema de partículas: Lo utilizamos, por ejemplo, para caracterizar el estado de rotación del sólido rígido
• Cuándo varía el momento angular
• Bajo qué condiciones se conserva

Adicionalmente, puede que te interese profundizar en el concepto de sólido rígido.

Antes de comenzar a tratar el momento angular en sí, debemos hablar del convenio que seguimos cuando tratamos las magnitudes angulares como vectores.

Magnitudes angulares vectoriales

Para poder describir con precisión y coherencia cómo se comportan los cuerpos cuando rotan hemos de presentar como vectores las magnitudes angulares cinemáticas. Para ello debemos llegar a algún tipo de acuerdo sobre la dirección y sentido que presentarán estás magnitudes, ya que estos nos son tan claros como el caso de la velocidad lineal, por ejemplo, o la fuerza que se ejerce sobre una partícula.

Consideraremos como punto de aplicación el centro geométrico y como dirección el eje de giro. El sentido del vector varía en función de la magnitud que consideramos.

Nombre	Símbolo	Valor	Dirección	Sentido
Posición angular	φ→	--	La del eje de giro	Regla mano derecha
Velocidad angular	ω→	ω=dφdt	La del eje de giro	Regla mano derecha
Aceleración angular	α→	α=dωdt	La del eje de giro	En función de si hace crecer o decrecer ω→

Además, podemos relacionar las magnitudes angulares anteriores con las lineales velocidad instantánea y aceleración tangencial a través de las siguientes expresiones:

v→=ω→×R→

a→t=α→×R→

Momento angular de un punto material

Se define el momento angular o cinético de una partícula material respecto a un punto O como el momento de su cantidad de movimiento, es decir, el producto vectorial de su vector de posición por su momento lineal:

L→=r→×p→=r→×m⋅v→

Donde:

• L→ : Momento angular o cinético del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el kg·m2·s-1
• r→ : Vector de posición del cuerpo respecto al punto O
• p→ :Cantidad de movimiento del cuerpo. También se le conoce como momento lineal. Es el producto de la masa del cuerpo (m), medida en el Sistema Internacional (S.I) en kg, por su velocidad ( v→ ), medida en m/s. Su unidad de medida por tanto, en el Sistema Internacional, es el kg·m·s-1

El momento angular de un punto material se define a partir de un vector de posición y una partícula puntual en movimiento, esto es, con cierta velocidad instantánea. Observa que no es una magnitud propia del cuerpo, sino que depende del punto de referencia que se escoja. Su significado físico tiene que ver con la rotación: El momento angular caracteriza el estado de rotación de un punto material, del mismo modo  que el momento lineal caracteriza el estado de traslación lineal. Para entender bien esta idea, vamos a presentar una nueva magnitud: el momento de inercia.

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