GEOMETRÍA

CENTROS DEL TRIÁNGULO

punto simediano, punto de Lemoine o punto de Grebees la intersección de las tres simedianas (líneas simétricas a las medianas con respecto a sus bisectrices asociadas) de un triángulo.

El matemático francés Émile Lemoine probó la existencia del punto simediano en 1873, y Ernst Wilhelm Grebe publicó un artículo sobre él en 1847. Simon Antoine Jean L'Huilliertambién observó este punto en 1809.¹​

Ross Honsberger denominó su existencia como "una de las joyas de la corona de la geometría moderna".

Propiedades[editar]

En la Enciclopedia de Centros del Triángulo, el punto simediano aparece como el sexto punto, X(6).²​ Descansa en el círculo ortocentroidal, y podría ser cualquier punto de su interior.³​

El punto simediano de un triángulo con longitudes de lado a, b y c tiene coordenadas trilineales homogéneas [a : b : c].

El punto de Gergonne de un triángulo coincide con el punto simediano de su triángulo de los contactos con la circunferencia inscrita.⁴​

El punto simediano de un triángulo ABC puede ser construido de la manera siguiente: sean las líneas tangentes de la circunferencia circunscrita de ABC a través de B y C que se cortan en A', y análogamente, se definen B' y C'; entonces A'B'C' es el triángulo tangencial de ABC, y las líneas AA', BB' y CC' se cruzan en el punto simediano de ABC.⁵​ Se puede demostrar que estas tres líneas se cortan en un punto utilizando el teorema de Brianchon. La línea AA' es una simediana, lo que puede verse al dibujar el círculo con centro en A' que pasa a través de B y C.

Para la extensión a un tetraedro irregular véase simediana.

CIRCUNFERENCIAS DE LEMOINE
Si por el simediano K  se trazan paralelas a los lados del triángulo, los seis puntos en que estas rectas cortan al triángulo están en una circunferencia que es la primera circunferencia de Lemoine. Su centro es el punto medio entre K y el circuncentro O.
Si por el simediano K se trazan antiparalelas a los lados del triángulo, los seis puntos en que estas rectas cortan el triángulo están en una circunferencia que es la segunda circunferencia de Lemoine. Su centro es K.

Circ_Lemoine1.mac  El punto de Nagel (N, en azul) de un triángulo (en negro). El triángulo rojo es triángulo extratangente, y en color naranja aparecen las circunferencias exinscritas del triángulo En geometría, el punto de Nagel es uno de los elementos notables de un triángulo, uno de los puntos asociados con un determinado triángulo cuya definición no depende de la ubicación o escala del triángulo. Dado un triángulo ABC, sean TA, TB y TC los puntos extratangentes en el que la circunferencia exinscrita-Ase encuentra con la línea BC ', la circunferencia-B se encuentra con la línea CA, y la circunferencia-C se encuentra con la línea AB, respectivamente. Las líneas ATA, BTB, CTC concurren en el punto de Nagel N del triángulo ABC. El punto de Nagel lleva el nombre de Christian Heinrich von Nagel, un matemático alemán del siglo XIX, que escribió sobre este punto en 1836. Otra construcción del punto TA es comenzar en A y trazar alrededor del triángulo ABC su semiperímetro, y de manera similar para TB y TC. Debido a esta construcción, el punto de Nagel a veces también se llama punto perimetral bisecado, y los segmentos ATA, BTB, CTC se llaman triángulos divisorios. El punto de Nagel es el conjugado isotómico del punto de Gergonne. El punto de Nagel, el centroide y el incentroson colineales en una recta denominada línea de Nagel. El incentro es el punto de Nagel del triángulo medial;1​2​ equivalentemente, el punto de Nagel es el incentro del triángulo anticomplementario. Coordenadas trilineales[editar] Las coordenadas trilineales del punto de Nagel son3​ como ${\displaystyle \csc ^{2}(A/2)\,:\,\csc ^{2}(B/2)\,:\,\csc ^{2}(C/2)}$ o, de manera equivalente, en términos de las longitudes de los lados a = |BC|, b = |CA| y c = |AB |, ${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}\,:\,{\frac {c+a-b}{b}}\,:\,{\frac {a+b-c}{c}}.}$ (siendo csc la función cosecante) En geometría, el punto intermedio (también conocido por su nombre original en alemán, mittenpunkt) de un triánguloes uno de los elementos notables de un triángulo: un punto definido a partir del triángulo que es invariante bajo las transformaciones euclídeas del triángulo. Fue identificado en 1836 por Christian Heinrich von Nagel como el puntosimediano de las circunferencias exinscritas del triángulo dado. El punto intermedio tiene coordenadas trilineales1​ ${\displaystyle (b+c-a):(c+a-b):(a+b-c)}$ donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo dado. Expresado en cambio en términos de los ángulos A, B y C, las coordenadas trilineales son 3​ ${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}:\cot {\frac {B}{2}}:\cot {\frac {C}{2}}=(\csc A+\cot A):(\csc B+\cot B):(\csc C+\cot C).}$ Las coordenadas baricéntricas son3​ ${\displaystyle a(b+c-a):b(c+a-b):c(a+b-c)=(1+\cos A):(1+\cos B):(1+\cos C).}$ Colinealidad[editar] El punto intermedio se encuentra en la intersección de la línea que conecta el centroide y el punto de Gergonne y la línea que conecta el incentro y el punto simediano, estableciendo así dos colineales que incluyen el punto intermedio.4​ Figuras relacionadas[editar] Las tres líneas que conectan los excentros del triángulo dado con los puntos medios del lado correspondiente se encuentran en el punto intermedio; por lo tanto, es el centro de perspectiva del triángulo excentral y del triángulo mediano, con el correspondiente eje de perspectiva siendo el polar trilineal del punto de Gergonne.5​ El punto intermedio es también el centroide de la inelipse de Mandart del triángulo dado, la elipse tangente al triángulo en su puntos extratangentes.