GEOMETRÍA

CENTROS DEL TRIÁNGULO

ortocentro al punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.

El nombre deriva del término griego orto, que quiere decir recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas.¹​

El ortocentro se encuentra en el interior del triángulo si este es acutángulo; coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla en el exterior del triángulo si es obtusángulo.

Dado un triángulo cualquiera (excluyendo un triángulo rectángulo), el 'triángulo órtico o triángulo pedalrespecto del dado, es el que tiene por vértices los pies de las tres alturas de este, es decir, las proyecciones de los vértices sobre los lados.

• El ortocentro de un triángulo es el incentro de su triángulo órtico (como se observa en la figura).

• Las alturas de un triángulo son las bisectrices de los ángulos del triángulo pedal.²​

• En el caso de un triángulo rectángulo, el vértice del ángulo recto, que con el pie sobre la hipotenusa, a lo más, forman un segmento, en este caso no hay triángulo pedal.

Ortocentro

Alturas de un triángulo

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.

El ortocentro se expresa con la letra H.

Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados, es decir, pertenecen a una misma recta, llamada recta de Euler.

Ejercicio

Hallar las ecuaciones de las alturas y elortocentro del triángulo de vértices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).

Ecuación de la altura que pasa por el vétice A

Hallamos la pendiente de la perpendicular al lado BC.

Aplicamos la ecuación punto-pendiente

Ecuación de la altura que pasa por el vétice B

Ecuación de la altura que pasa por el vétice C

Ortocentro

El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.

ORTOCENTRO DE UN TRIÁNGULO

ANUNCIOS

•   Facebook
•   Twitter
• ¡SÍGUENOS!

 (4 votos, promedio: 4,00 de 5)

El ortocentro de un triángulo H es el punto intersección de las tres alturas del triángulo.

Las alturas (h_a, h_b y h_c) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También pueden entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.

El ortocentro podría estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.

En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triángulo obtusángulo.

Recta de Euler

ANUNCIOS

En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.

Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro(O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.

En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.

Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a  desde un lado y, por tanto,  al vértice, siendo h cualquiera de sus tres alturas.

Ejercicio

Hallar las coordenadas del ortocentro H de un triángulo cuyos vértices tienen las coordenadas A(3,5), B(4,-1) y C(-4,1).

El ejercicio lo resolveremos analíticamente. Para ello tendremos que saber las ecuaciones de las alturas h_a (que parte del vértice A) y h_b(que parte del vértice B) y ver el punto de intersección de ambas alturas, que será H.

Hallaremos la ecuación de la recta que pasa por el lado BC, que es el opuesto al vértice A. Esta ecuación se obtiene sabiendo que pasa por los puntos B(4,-1) y C(-4,1). La ecuación general de la recta que pasa por dos puntos conocidos es:

La ecuación de la recta que contiene al lado BC y su pendiente m serán:

La pendiente de la recta que contiene a la altura h_a, por ser perpendicular al lado BC, es la inversa y de signo contrario a la pendiente de la recta que contiene al lado:

Sabiendo que la altura h_a pasa por el vértice A(3,5), podemos obtener la ecuación de su recta. La ecuación de una recta, conociendo un punto y su pendiente (pendiente inversa y de signo contrario a la hallada para BC, es decir, m_p = 4):

Esta es la ecuación de h_a.

Ahora procedemos del mismo modo para hallar la ecuación de la recta que contiene a la altura h_a, es decir, a la que, partiendo del vértice B es perpendicular al lado AC.

En primer lugar, la pendiente de la recta de AC:

Y, ahora, la ecuación de la recta que contiene a la altura h_b, es decir, la que partiendo del vértice B es perpendicular al lado AC. Su pendiente será, por lo tanto –7/4.

Esta es la ecuación de h_b.

Resolvemos este sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Sus raíces serán las coordenadas de su intersección, es decir, del ortocentro H del triangulo ABC.

Resolviendo este sistema de ecuaciones, tenemos que:

Tenemos que las coordenadas del ortocentro son H(2,26 , 2,04).

https://www.universoformulas.com

punto de Exeter es un punto especial asociado con cualquier triángulo. Es uno de los puntos característicos o "centros" de un triángulo, designado como centro X(22) en la Enciclopedia Clark Kimberling de Puntos Notables del Triángulo.¹​ Fue descubierto en un taller de matemáticas por ordenador en la Academia Phillips Exeter en 1986²​ (la ciudad de Exeter, sede de la academia, pertenece al estado de New Hampshire).

Es uno de los puntos notables de un triángulo definidos más recientemente, a diferencia de los puntos clásicos como el centroide, el incentro, o el punto de Steiner, conocidos en algunos casos desde la más remota antigüedad.

El punto de Exeter se define como sigue:²​⁴​

Sea ABC un triángulo cualquiera dado. Trácense las medianas a través de los vértices A, B y C; conocida la circunferencia circunscrita del triángulo ABC, se obtienen sus intersecciones A', B' y C' con las medianas. Se construye el triángulo DEF, formado por las tangentes en A, B, y C a la circunferencia anterior (siendo D el vértice opuesto al lado formado por la tangente en el vértice A; E el vértice opuesto al lado formado por la tangente en el vértice B; y F el vértice opuesto al lado formado por la tangente en el vértice C). Las líneas a través de DA', EB' y FC' son concurrentes, y su punto de intersección es el punto de Exeter del triángulo ABC.

Coordenadas trilineales[editar]

Las coordenadas trilineales del punto de Exeter son:

( a ( b⁴ + c⁴ − a⁴ ), b ( c⁴ + a⁴ − b⁴ ), c ( a⁴ + b⁴ − c⁴ ) )

Propiedades[editar]

• El punto de Exeter del triángulo ABC pertenece a la recta de Euler (la línea que pasa a través del centroide, el ortocentro y el circuncentro) del triángulo ABC.