GEOMETRÍA

GEOMETRÍA ALGEBRAICA

módulo plano sobre un anillo R es un R-módulo M tal que se preserva sucesiones exactas al tomar el producto tensorial sobre R con M. Un módulo es fielmente plano si al tomar el producto tensorial se produce una sucesión exacta si y sólo si la sucesión original es exacta.

Los espacios vectoriales sobre un campo son módulos planos. Los módulos libres, o más generalmente los módulos proyectivos, son planos sobre cualquier R. Para módulos finitamente generados sobre un anillo localnoetheriano, las propiedades de ser proyectivos, planos y libres son equivalentes.

Los módulos planos fueron introducidos por Jean-Pierre Serre(1956) en su artículo Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique. Véase también morfismo plano.

Anillos conmutativos[editar]

Existen muchas maneras para definir a los módulos planos sobre un anillo conmutativo R.

• Un R-módulo plano es un R-módulo M tal que el funtor

${\displaystyle F_{M}:{\text{Mod}}(R)\to {\text{Mod}}(R),\quad N\mapsto M\otimes _{R}N}$

es exacto, donde Mod(R) es la categoría de los R-módulos.

• Un R-módulo plano es un R-módulo M tal que para todo morfismo inyectivo ${\displaystyle \phi :K\to L}$ de R-módulos K y L, la función inducida,

${\displaystyle F_{M}(\phi ):M\otimes _{R}K\to M\otimes _{R}L}$,

es inyectiva

• Un R-módulo plano es un R-módulo M tal que para cada ideal finitamente generado ${\displaystyle I\hookrightarrow R}$, el morfismo inducido ${\displaystyle I\otimes _{R}M\to R\otimes _{R}M\cong M}$ es inyectivo.
• Un R-módulo plano es un R-módulo M tal que existe un sistema dirigido ${\displaystyle \{F_{\alpha }\}_{\alpha }}$ de R-módulos con las siguientes propiedades:

1. Para todo ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle F_{\alpha }}$ es un R-módulo libre finitamente generado.
2. el límite directo es M: ${\displaystyle \varinjlim _{\alpha }F_{\alpha }=M}$.

• Un R-módulo plano es un R-módulo M tal que para toda dependencia lineal en M,

${\displaystyle r^{T}m=\sum _{i=1}^{k}r_{i}m_{i}=0}$,

donde ${\displaystyle r_{i}\in R,m_{i}\in M}$, existe una matriz ${\displaystyle A\in R^{k\times k}}$ tal que

1. ${\displaystyle An=m}$ tiene solución para alguna${\displaystyle n\in M^{k}}$.
2. ${\displaystyle r^{T}A=0}$.

• Un R-módulo plano es un R-módulo tal que para todo R-módulo N,

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(N,M)=0}$

• Un R-módulo plano es un R-módulo M tal que para todo ideal finitamente generado ${\displaystyle I\subset R}$,

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/I,M)=0}$.

• Un R-módulo plano es un R-módulo M tal que para todo morfismo ${\displaystyle f:F\to M}$, donde F es un R-módulo libre finitamente generado, y para cada R-módulo finitamente generado ${\displaystyle K\leq \ker f}$, f se factoriza a través de un morfismo a un R-módulo libre G que anula a K:

Anillos generales[editar]

Cuando R no es un anillo conmutativo la definición cambia ligeramente. Un R-módulo plano es un R-módulo M tal que el funtor ${\displaystyle F_{M}:Mod(R)\to Ab,\quad N\mapsto M\otimes _{R}N}$ es exacto, donde Ab es la categoría de grupos abelianos. Tomar el producto tensorial (sobre anillos arbitrarios) siempre es un funtor exacto izquierdo. Por lo tanto, el R-módulo M es plano si y sólo si para cualquier morfismo inyectivo de R-módulos, el morfismo inducido también es inyectivo.

El caso de los anillos conmutativos[editar]

Para cualquier subconjunto multiplicativamente cerrado S de R, el anillo de localización ${\displaystyle S^{-1}R}$ es un R-módulo plano.

Cuando R es noetheriano y M es un R-módulo finitamente generado, ser plano es lo mismo que ser localmente libre. Esto es M es plano si y sólo si para todo ideal primo (o incluso solo para todo ideal máximo) P de R, la localización es libre como un módulo sobre la localización ${\displaystyle R_{P}}$.

Si S es una R-álgebra, i.e., hay un morfismo ${\displaystyle f\colon R\to S}$, entonces S tiene una estructura de R-módulo, por lo que tiene sentido preguntar si S es plano sobre R. De ser este el caso, S es fielmente libre sobre R si y sólo si todo ideal primo de R es la imagen inversa bajo f de un ideal primo en S. En otras palabras, si y solo si el morfismo inducido ${\displaystyle f^{*}\colon \mathrm {Spec} (S)\to \mathrm {Spec} (R)}$ es suprayectivo.

Colimites categóricos[editar]

En general, la suma directa arbitraria y límites directos de módulos planos son planos, como consecuencia de que el producto tensorial conmuta con las sumas directas y los límites directos (de hecho con todos los colimites) y del hecho de que tanto la suma directa como los límites directos son funtores exactos. En general los submódulo y los módulos cociente no tienen que ser planos. Sin embargo se tiene el siguiente resultado: la imagen de un módulo plano M bajo un homomorfismo es plano si y sólo si el núcleo es un submódulo puro de M.

D.Lazard probó en 1969 que un módulo M es plano si y sólo si es el límite directo de módulos libres finitamente generados. Como consecuencia, se puede deducir que todo módulo finitamente presentado es proyectivo.

Un grupo abeliano es plano (visto como un Z-módulo) si y sólo si es libre de torsión.

Álgebra homológica[editar]

La propiedad de ser plano se puede expresar usando los funtores Tor, que son los funtores derivados izquierdosdel producto tensorial. Un R-módulo izquierdo es plano si y sólo si Tor_n^R(–, M) = 0 para todo ${\displaystyle n\geq 1}$ ( i.e. si y sólo si Tor_n^R(X, M) = 0 para todo ${\displaystyle n\geq 1}$ y todo R-módulo izquierdo X). De manera similar, un R-módulo M derecho es plano si y sólo si Tor_n^R(M, X) = 0 para todo ${\displaystyle n\geq 1}$ y todo R-módulo izquierdo X. Si se usa la sucesión exacta larga del funtor Tor, se pueden demostrar hechos a cerca de una sucesión exacta corta

• Si A y C son planos, entonces también lo es B
• Si B y C son planos, entonces lo es A

Si A y B son planos, no es cierto que esto implique que C es plano. Sin embargo, se puede mostrar que

• Si A es puro en B y B es plano, entonces C es plano

Resoluciones planas[editar]

Una resolución plana de un módulo es una resolución por módulos planos. Por lo que cualquier resolución proyectiva es inmediatamente una resolución plana. Las resoluciones planas se usan para calcular el funtor Tor.

En algunas áreas de la teoría de módulos, una resolución plana debe de satisfacer la propiedad adicional de que cada morfismo es una precubierta plana del núcleo del morfismo de la derecha. Para las resoluciones proyectivas, esta condición se hace invisible: una precubierta proyectiva es un epimorfismo de un módulo proyectivo. Estas ideas surgieron inspiradas por el trabajo de Auslander sobre aproximaciones. Estas ideas se parecen a la noción más común de resolución proyectiva mínima, donde se pide que cada morfismo sea una cubierta proyectiva del núcleo del morfismo de la derecha. Sin embargo, las cubiertas proyectivas no siempre existen, por lo que el uso de las resoluciones proyectivas está restringido a los módulos sobre anillos perfectos. Por otro lado, las cubiertas planas siempre existen, por lo que las resoluciones planas mínimas pueden ser usadas en muchas circunstancias. La medida de la desviación que tiene una resolución plana de una proyectiva es llama álgebra homológica relativa. Esta materia es tratada en el clásico de MacLane (1963) o en trabajos más recientes que se enfocan en las resoluciones planas como Enochs & Jenda (2000).

En las matemáticas constructivas[editar]

Los módulos planos han ido ganando importancia en las matemáticas constructivas, en donde los módulos proyectivos son menos útiles. Por ejemplo, el hecho de que todo módulo libre es proyectivo es equivalente a el axioma de elección, por lo que los teoremas acerca de módulos proyectivos, incluso habiendo sido demostrados de manera constructiva, no se aplican a los módulos libres. Por otro lado, no es necesario el axioma de elección para probar que todo módulo libre es plano, por lo que los teoremas para módulos planos se siguen aplicando a estos.

Animación de la paradoja del cuadrado perdido.

La paradoja del cuadrado perdido es una ilusión óptica usada en clases de matemáticas, para ayudar a los estudiantes a razonar sobre las figuras geométricas.

Está compuesta de cuatro piezas de rompecabezas que pueden formar dos triángulos de base 13 y altura 5, formados por las mismas piezas, en uno aparenta tener un "agujero" de un cuadrado de un de lado.

Las piezas[editar]

Las cuatro piezas que forman el rompecabezas tienen una forma, tamaño y superficie concretos. El área de cada pieza es:

La pieza roja[editar]

La pieza roja es un triángulo rectángulo de base 8 y altura 3 y, por tanto, su área es:

${\displaystyle A_{ro}={\cfrac {8\cdot 3}{2}}=12}$

La pieza azul[editar]

La pieza azul es también un triángulo rectángulo, de base 5 y altura 2 y, por tanto, su área es de:

${\displaystyle A_{az}={\cfrac {5\cdot 2}{2}}=5}$

La pieza verde[editar]

La pieza verde es un rectángulo de base 5 y altura 2 al que le falta un rectángulo de 2 por 1, su área es:

${\displaystyle A_{ve}=5\cdot 2-2\cdot 1=8}$

La pieza amarilla[editar]

La pieza amarilla es, también, un rectángulo de base 5 y altura 2 al que le falta un rectángulo de 3 por 1, su área es:

${\displaystyle A_{am}=5\cdot 2-3\cdot 1=7}$

La paradoja[editar]

Las cuatro figuras (amarilla, roja, azul y verde) ocupan un total de:

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}A_{ro}&=&12\\A_{az}&=&5\\A_{ve}&=&8\\A_{am}&=&7\\\hline total&=&32\end{array}}}$

pero el triángulo tiene 13 de base por 5 de altura (a derecha en lila), lo que supone un área de:

${\displaystyle A_{T}={\cfrac {13\cdot 5}{2}}=32,5}$

La paradoja tiene una explicación simple: la figura presentada como un triángulo no lo es en realidad, debido a que tiene cuatro lados, y no los tres propios del triángulo. La "hipotenusa" no está formada por una recta, sino por dos con pendientes ligeramente distintas.

Pasa por los puntos no alineados (0,0) (8,3) y (13,5).	Pasa por los puntos no alineados (0,0) (5,2) y (13,5).
La superficie es de 32 cuadrados.	La superficie es de 33 cuadrados.

Si comparamos los ángulos de inclinación de la hipotenusa respecto de la base de los triángulos rojo y azul vemos que son distintos. En el triángulo rojo el ángulo es:

${\displaystyle \tan(\alpha _{ro})={\frac {3}{8}}\;\longrightarrow \quad \alpha _{ro}=20^{\circ }33^{\prime }21.76^{\prime \prime }}$

mientras que en el azul es:

${\displaystyle \tan(\alpha _{az})={\frac {2}{5}}\;\longrightarrow \quad \alpha _{az}=21^{\circ }48^{\prime }5.05^{\prime \prime }}$

y en el triángulo total es:

${\displaystyle \tan(\alpha _{T})={\frac {5}{13}}\;\longrightarrow \quad \alpha _{T}=21^{\circ }2^{\prime }15.04^{\prime \prime }}$

Los puntos: (0,0), (5,2), (8,3) y (13,5) no están alineados, si bien la diferencia es pequeña, las dos figuras representadas son cuadriláteros, no un triangulo, el ángulo en (5,2) es cóncavo y el de (8,3) convexo y la diferencia de superficie entre las dos figuras es el cuadrado que supuestamente aparece en la parte inferior.

Si desde el punto (0,0) trazamos los tres ángulos prolongando las rectas la diferencia geométrica es muy evidente.

La solución[editar]

Esta diferencia puede parecer pequeña en espesor, pero dada su longitud, su superficie es igual a un cuadrado unitario.