GEOMETRÍA

GEOMETRÍA ALGEBRAICA

integral elíptica es una integral de la forma:

${\displaystyle \int {A(x)+B(x){\sqrt {S(x)}} \over C(x)+D(x){\sqrt {S(x)}}}\,dx}$

o de forma alternativa como:

${\displaystyle \int {A(x)\,dx \over B(x){\sqrt {S(x)}}}}$

donde ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle D}$ son polinomios en ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle S}$ es un polinomio de grado 3 ó 4.

La denominación integral elíptica parte de los primeros problemas donde tuvieron lugar estas integrales, relacionados con el cálculo de la longitud de segmentos de elipse.

Las integrales elípticas pueden verse como generalizaciones de la funciones trigonométricas inversas. Las integrales elípticas proporcionan soluciones a una clase de problemas algo más amplia que las funciones trigonométricas inversas elementales, por ejemplo el cálculo de la longitud de arco de una circunferencia sólo requiere de las funciones trigonométricas inversas, pero el cálculo de la longitud de arco de una elipse requiere de integrales elípticas. Otro buen ejemplo es el péndulo, cuyo movimiento para pequeñas oscilaciones puede representarse por funciones trigonométricas, pero para oscilaciones más grandes requiere el uso de funciones elípticas basadas en las integrales elípticas.

Todas las integrales elípticas del tipo anterior pueden ser reescritas en términos en forma de suma de funciones elementales y tres tipos "básicos" de integrales elípticas (llamados de primera especie, de segunda especie y de tercera especie. Para ver esto escribamos la integral elíptica en la forma:

${\displaystyle \int {\frac {P(w,x)}{Q(w,x)}}\ dx}$

Donde ${\displaystyle w}$ es una función de ${\displaystyle x}$, tal que ${\displaystyle w^{2}}$ es un polinomio de tercer o cuarto grado, que contiene al menos una potencia impar de ${\displaystyle x}$.¹​

Integral elíptica de primera especie[editar]

Una integral elíptica de primera especie es un caso particular de la integral elíptica. Existen integrales elípticas de primera especie, completas e incompletas. Las primeras dependen de una sola variable y las segundas dependen de dos variables.

Integral elíptica completa de primera especie[editar]

La integral elíptica completa de primera especie K se define como:

${\displaystyle K(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dv}{\sqrt {(1-v^{2})(1-x^{2}v^{2})}}}}$

y puede calcularse por medio de la media aritmética geométrica, o mediante la serie de Taylor:

${\displaystyle K(x)={\frac {\pi }{2}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}x^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}x^{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}x^{6}+\dots \right]}$

La serie anterior converge para ${\displaystyle |x|<1 annotation="">$.

El método de la media aritmética geométrica tiene la ventaja de que genera una serie que converge de forma extremadamente rápida. Para aplicarlo basta con inicializar el algoritmo de la media aritmética geométrica con los siguientes valores:

${\displaystyle a_{0}=1\quad {\mbox{y}}\quad g_{0}={\sqrt {1-x^{2}}}}$

K(x) se obtiene a partir del enésimo valor a_n mediante:

${\displaystyle K(x)\approx {\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {1}{a_{n}}}}$

Normalmente basta con computar los 5 ó 6 primeros términos de la serie para alcanzar una precisión en el resultado suficiente para cualquier uso práctico. Conseguir lo mismo, por ejemplo, con la serie de Taylor, requeriría calcular un número muy superior, sobre todo según |x| se acerca a 1.

Integral elíptica incompleta de primera especie[editar]

La integral elíptica incompleta de primera especie F se define como:

${\displaystyle u=F(x,\varphi )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {dv}{\sqrt {(1-v^{2})(1-x^{2}v^{2})}}}=F_{x}(\varphi )}$

En este caso el parámetro ${\displaystyle \varphi =\operatorname {am} (u)}$ se llama "amplitud" y si se toma x como un parámetro. Esta "amplitud" viene dada por la inversa de la función anterior F. Las funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta amplitud.

Transformación de Landen[editar]

La transformación de Landen permite expresar integrales elípticas incompletas de un parámetro en integrales elípticas de otro parámetro diferente. Puede probarse que si definimos una nueva amplitud φ₁ y una nuevo parámetro k₁, relacionadas con la antigua amplitud φ y el antiguo parámetro k mediante:

${\displaystyle k_{1}={\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\qquad \tan \varphi ={\frac {\sin 2\varphi _{1}}{k+\cos 2\varphi _{1}}}}$

Entonces existe una relación simple entre las integrales elípticas incompletas asociadas a los parámetros (k₁,φ₁) y (k,φ) dada por:

${\displaystyle F(k,\varphi )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{1+k}}\int _{0}^{\varphi _{1}}{\frac {d\theta _{1}}{\sqrt {1-k_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}}}}}$

Este resultado puede aplicarse iterativamente para calcular las integrales elípticas incompletas en términos de funciones elementales y límites. Si definimos las sucesiones:

${\displaystyle k_{i}={\frac {2{\sqrt {k_{i+1}}}}{1+k_{i}}}\qquad \tan \varphi _{i}={\frac {\sin 2\varphi _{i+1}}{k+\cos 2\varphi _{i+1}}}}$

Entonces tenemos que:

${\displaystyle F(k_{0},\varphi _{0})={\sqrt {\frac {k_{1}k_{2}k_{3}\dots }{k_{0}}}}\int _{0}^{\Phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\sqrt {\frac {k_{1}k_{2}k_{3}\dots }{k_{0}}}}\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\Phi }{2}}\right)}$

Donde:

${\displaystyle \Phi =\lim _{k\to \infty }\varphi _{k}}$

Integral elíptica de segunda especie[editar]

Una Integral elíptica de segunda especie es un caso particular de la integral elíptica.

Integral elíptica completa de segunda especie[editar]

La integral elíptica completa de segunda especie E se define como:

${\displaystyle E(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-x^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt}$

Esta integral elíptica de segunda especie es por tanto una función de una variable puede expresarse en serie de Taylor:

${\displaystyle E(x)={\frac {\pi }{2}}\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}x^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {x^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {x^{6}}{5}}-\dots \left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {x^{2n}}{2n-1}}-\dots \right]}$

Integral elíptica incompleta de segunda especie[editar]

La integral elíptica incompleta de segunda especie es una función de dos variables que generaliza a la integral completa:

${\displaystyle E(x,\varphi )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta =\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {\sqrt {1-x^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt}$

Integral elíptica de tercera especie[editar]

Una integral elíptica de tercera especie es un caso particular de la integral elíptica. Sea ${\displaystyle 0$, la integral elíptica completa de tercera especie se define como:

${\displaystyle \Pi (n;\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{d\theta \over (1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{\sin \phi }{dt \over (1-nt^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$

donde ${\displaystyle n}$ es una constante.

Aplicaciones[editar]

Las integrales elípticas de tercera especie aparecen de modo natural en la integración de las ecuaciones de movimiento de un péndulo esférico.

matriz hessiana o hessiano de una función f de n variables, es la matriz cuadrada de n × n, de las segundas derivadas parciales.

Dada una función real f de n variables reales:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \\&\,\,\,\,\,\,\,x\mapsto f(x)\\\end{aligned}}}$

Si todas las segundas derivadas parciales de f existen, se define la matriz hessiana de f como: ${\displaystyle H_{f}(\mathbf {x} )}$, donde

${\displaystyle H_{f}(\mathbf {x} )_{i,j}={\frac {\partial ^{2}\,f(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}}$.

tomando la siguiente forma

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}}$

Además, se tiene que si :${\displaystyle f\colon A\subseteq {\mathbb {R} }^{n}\to {\mathbb {R} }\,}$ con A un conjunto abierto y f clase ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$, entonces la matriz hessiana está bien definida, y en virtud del teorema de Clairaut (ó teorema de Schwarz), es una matriz simétrica.

Esta matriz debe su nombre al matemático alemán Ludwig Otto Hesse y fue introducido por James Joseph Sylvester.

Aplicación de la matriz hessiana[editar]

Concavidad/Convexidad[editar]

Sea ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ un conjunto abierto y ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ una función con segundas derivadas continuas:

1. ${\displaystyle f\,}$ es convexa si y solo si, ${\displaystyle \forall a\in A}$, la matriz hessiana ${\displaystyle H_{f}(a)\,}$ es semidefinida positiva.
2. Si ${\displaystyle \forall a\in A}$ la matriz hessiana ${\displaystyle H_{f}(a)\,}$ es positiva-definida, entonces ${\displaystyle f\,}$ es estrictamente convexa.
   • Si ${\displaystyle f\,}$ es una función convexa, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un mínimo local.
3. ${\displaystyle f\,}$ es cóncava si y solo si, ${\displaystyle \forall a\in A}$, la matriz hessiana ${\displaystyle H_{f}(a)\,}$ es semidefinida negativa.
4. Si ${\displaystyle \forall a\in A}$ la matriz hessiana ${\displaystyle H_{f}(a)\,}$ es negativa-definida, entonces f es estrictamente cóncava.
   • Si ${\displaystyle f\,}$ es una función cóncava, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un máximo local.

Método para determinar el carácter de los puntos críticos[editar]

Se verá a continuación cómo hallar los puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de inflexión -o silla o de ensilladura) de una función f de múltiples variables.

1. Se igualan las derivadas parciales primeras a cero.
2. Se resuelven las ecuaciones anteriores y se obtienen las coordenadas de los puntos críticos.
3. Se construye la matriz hessiana (derivadas segundas parciales).
4. Se sustituyen los puntos críticos en la matriz hessiana para obtener tantas matrices como puntos críticos tengamos.
5. Dependiendo del tipo de matriz resultante de evaluar la matriz Hessiana en los diferentes puntos críticos, estos puntos se pueden evaluar mediante el criterio de Sylvester:

• Si todos los menores principales son mayores que 0, o sea, |H_i|>0 ∀i=1,...,n ƒ alcanza el mínimo relativo en el punto.
• Si los menores principales de índice par son mayores que 0 y los de índice impar son menores que 0, o sea, |H_impar|<0 i="" y="">H

_par|>0 ∀i=1,...,n ƒ alcanza el máximo relativo en el punto.

Si los menores principales son distintos de 0, es decir, |H_i|≠0 ∀i=1,...,n y no es ninguno de los casos anteriores, es un punto de silla.

Cuando algún |H_i|=0 no se puede determinar nada, por lo que hace un estudio particular. Para n=2. el criterio se mejora en el sentido de que si |H₁|=0 y |H₂|<0 dd="" de="" el="" en="" punto.="" punto="" silla="" tiene="" un="">

De forma análoga podemos evaluar los extremos relativos de un campo escalar f:R^n--->R estudiando los autovalores de su matriz hessiana.

Teorema 9.6(CALCULUS volumen 2. Tom M.Apostol): "Sea f un campo escalar con derivadas parciales segundas continuas D_ijf en una n-bola B(a), y designemos con H(a) la matriz hessiana en el punto estacionario a. Tenemos entonces:

a)Si todos los autovalores de H(a) son positivos, f tiene un mínimo relativo en a.

b)Si todos los autovalores de H(a) son negativos, f tiene un máximo relativo en a.

c)Si H(a) tiene autovalores positivos y negativos, f tiene un punto de ensilladura en a."

El el caso particular en el que la función a evaluar grafica una superficie en R^3, f(x,y)=z, y tiene segundas derivadas continuas, se pueden estudiar los puntos críticos evaluando la matriz hessiana en ellos y luego utilizando el criterio de determinación de extremos. Si (a,b) es un punto crítico de f, (f_x(a,b)=0 y f_y(a,b)=0) entonces:

- Si el determinante de la matriz hessiana evaluado en el punto (a,b) es mayor que 0, |H|>0, y f_xx(a,b)<0 i="">, decimos que f alcanza un máximo relativo en(a,b).

- Si el determinante de la matriz hessiana evaluado en el punto (a,b) es mayor que 0, |H|>0, y f_xx(a,b)>0, decimos que f alcanza un mínimo relativo en(a,b).

- Si el determinante de la matriz hessiana evaluado en el punto (a,b) es menor que 0, |H|<0 decimos="" i="" nbsp="" que="">f(a,b)

es un Punto de silla.

- Si el determinante de la matriz hessiana evaluado en el punto (a,b) es igual a 0, |H|=0, el criterio no concluye resultado alguno.

Generalizaciones[editar]

Matriz hessiana orlada[editar]

La matriz hessiana orlada es una variante de la matriz hessiana utilizada en problemas de optimización restringida. El determinante de sus principales menores se utiliza como criterio para determinar si un punto crítico de una función es un mínimo, máximo, punto silla o no determinado (extremos condicionados).¹​

Aplicación bilineal hessiana[editar]

El concepto de matriz hessiana puede generalizarse a espacios de dimensión infinita, concretamente a aplicaciones definidas sobre espacios vectoriales normados. Si una aplicación (o funcional) está definida es diferenciable en el sentido de Fréchet y su diferencial jacobiana también es diferenciable en el sentido de Fréchet puede definirse una forma bilineal continua (y por tanto acotada) sobre el espacio normado que generaliza la matriz hessiana.

Se dice que una aplicación ${\displaystyle f\colon \Omega \in X\to Y}$ entre espacios vectoriales normados ${\displaystyle X,Y}$ es diferenciable si existe una aplicación lineal continua ${\displaystyle L_{a}\in {\mathcal {L}}(X,Y)}$ tal que:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\|f(a+h)-f(a)-L_{a}(h)\|_{Y}}{\|h\|_{X}}}=0}$

En ese caso se escribe:

${\displaystyle \mathrm {D} f(a)h\equiv L_{a}(h)}$

Puede probarse que ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$ es a su vez otro espacio vectorial normado con la norma:

${\displaystyle \|A\|_{{\mathcal {L}}(X,Y)}:=\sup _{0\neq x\in X}{\frac {\|Ax\|_{Y}}{\|x\|_{X}}}}$

La segunda derivadas cuando existe es:

${\displaystyle \mathrm {D} ^{2}f(a):=\mathrm {D} (\mathrm {D} f(a))\in {{\mathcal {L}}(X,{{\mathcal {L}}(X,Y)})}}$

La forma bilineal hessiana viene dada por:

${\displaystyle H_{f}(a)(h,k):=(\mathrm {D} ^{2}f(a)h)k,\qquad h,k\in X,\ H_{f}(a)\in {\mathcal {L}}(X\times X,Y)\approx {\mathcal {L}}(X,{{\mathcal {L}}(X,Y)})}$