GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Matemáticamente el espacio-tiempo curvo que usa la teoría de la relatividad es un variedad pseudoriemanniana con curvatura dada por la densidad de energía-impulso.

En geometría diferencial, una variedad pseudoriemanniana es una variedad diferenciableequipada con un tensor métrico (0,2)-diferenciable, simétrico, que es no degenerado en cada punto de la variedad. Este tensor se llama un tensor métrico pseudoriemanniano y a diferencia de un tensor métrico riemanniano no tiene por qué ser definido positivo. De hecho la variedades pseudoriemannianas generalizan el concepto de variedad riemannana

Un tipo especial de variedad pseudoriemanniana son las bandas lorentzianas o variedades de Lorentz (en honor a Hendrik Antoon Lorentz). Estas variedades tienen la propiedad de tener signatura (1,n-1) cuando la variedad tiene dimensión n. Las variedades lorentzianas tienen su interés en la teoría de la relatividad general, ya que uno de los supuestos básicos es que el espacio-tiempo puede modelizarse como una variedad pseudoriemanniana de cuatro dimensiones de signatura (1,3), es decir, la variedad pueda interpretarse como formada por 3 dimensiones espaciales y una temporal.

Variedades riemannianas y pseudoriemannianas[editar]

La diferencia clave entre una métrica riemanniana y una métrica pseudoriemanniana es que una métrica pseudoriemanniana no necesita ser definida positiva, simplemente no degenerada. Puesto que cada forma positivo-definida es también no degenerada una métrica riemanniana es un caso especial de pseudoriemanniano. Así las variedades pseudoriemannianas se pueden considerar generalizaciones de las variedades de Riemann.

Cada forma no degenerada, simétrica bilineal tiene una signatura fija (p, q). Aquí p y q denotan el número de los valores propios positivos y negativos de la forma. La signatura de una variedad pseudoriemanniana es justa la signatura del métrico (uno debe insistir que la signatura está igual en cada componente conexo). Observe que p+ q = n es la dimensión de la variedad. Las variedades de Riemann son simplemente esos con la signatura (n, 0).

El espacio modelo para una variedad pseudoriemanniana de signatura (p, q) es R^p, q con la métrica

(1)${\displaystyle g=dx_{1}\otimes dx_{1}+\cdots +dx_{p}\otimes dx_{p}-dx_{p+1}\otimes dx_{p+1}-\cdots -dx_{p+q}\otimes dx_{p+q}}$,

Algunos teoremas básicos de la geometría de Riemann se pueden generalizar al caso pseudoriemanniano. En particular, el teorema fundamental de la geometría de Riemann es verdad en las variedades pseudoriemannianas también. Esto permite que se hable de la conexión de Levi-Civita en una variedad pseudoriemanniana junto con el tensor asociado de curvatura. Por otra parte, hay muchos teoremas en la geometría de Riemann que no se sostienen en el caso generalizado. Por ejemplo, no es verdad que cada variedad diferenciable admite un métrica pseudoriemanniana de una signatura dada; hay ciertas obstrucciones topológicas.

Variedades de Lorentz[editar]

Las métricas pseudoriemannianas de signatura (p, 1) (o a veces (1, q), considerando la convención de signo) se llaman métricas de Lorentz. Un variedad equipada de una métrica de Lorentz naturalmente se llama una variedad de Lorentz. Después de las variedades de Riemann, las variedades de Lorentz, forman la subclase más importante de las variedades pseudoriemannianas. Son importantes debido a sus usos físicos para la teoría de la relatividad general. Una asunción principal de la relatividad general es que el espacio-tiempo se puede modelar como variedad de Lorentz de la signatura (3, 1).

Así pues, el espacio euclídeo Rⁿ se puede pensar como la variedad modelo de Riemann, el espacio de Minkowski R^p,1 con la métrica chata de Minkowski es la variedad modelo de Lorentz.

Una diferencia importante entre las variedades de Riemann y las variedades de Lorentz, es que en las primeras toda curva geodésica es un mínimo local de longitud, mientras que en una variedad lorentziana es un extremo local o una curva de "longitud cero" (un mínimo en el caso de geodésicas espaciales, un máximo en el caso de geodésicas temporales y una curva de "longitud" cero a lo largo de una geodésica lumínica).

Geodésicas[editar]

Una propiedad importante de las variedades pseudoriemannianas es que en ellas las curvas geodésicas o curvas de mínima curvatura no tienen por qué ser localmente curvas de mínima longitud, sino simplemente extremales de las ecuaciones de Euler-Lagrange, es decir, curvas que pueden ser localmente de máxima o de mínima "longitud" (de hecho, el nombre longitud puede ser incorrecto ya que nos referimos a una magnitud que generaliza la longitud de una curva y puede ser positiva, negativa o cero).

variedad subriemanniana es un cierto tipo de generalización de una variedad de Riemann. A grandes rasgos, para medir distancias en una variedad subriemanniana, solo se permite moverse a través de curvas tangentes a los llamados subespacios horizontales.

Las variedades subriemannianas (y, a fortiori, también las variedades Riemannianas) poseen una métrica intrínseca llamada métrica de Carnot–Carathéodory. En estos espacios métricos, la dimensión de Hausdorff es siempre un entero más grande que su dimensión topológica (a menos que sea una variedad riemanniana propiamente).

Las variedades subriemannianas se encuentran a menudo durante el estudio de sistemas constreñidos en mecánica clásica, tales como el movimiento de vehículos en una superficie, el movimiento de brazos mecánicos o la dinámica orbital de satélites. Cantidades geométricas tales como la fase geométrica, pueden ser estudiadas dentro del lenguaje de la geometría subriemanniana. El grupo de Heisenberg, dentro de la mecánica cuántica, posee una estructura subriemanniana natural.

Definiciones[editar]

Por una distribución sobre ${\displaystyle M}$ se entiende un subfribado del fibrado tangente de ${\displaystyle M}$.

Dada una distribución ${\displaystyle H(M)\subset T(M)}$, un campo vectorial en ${\displaystyle H(M)\subset T(M)}$ se llama horizontal. Una curva ${\displaystyle \gamma }$ sobre ${\displaystyle M}$ se llama horizontal si ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)\in H_{\gamma (t)}(M)}$ para todo ${\displaystyle t}$.

Una distribución sobre ${\displaystyle H(M)}$ se llama completamente no-integrable si para todo ${\displaystyle x\in M}$ se cumple que todo vector tangente puede representarse como una combinación lineal de vectores del tipo ${\displaystyle A(x),\ [A,B](x),\ [A,[B,C]](x),\ [A,[B,[C,D]]](x),\dots \in T_{x}(M)}$ en donde todos los campos vectoriales ${\displaystyle A,B,C,D,\dots }$ son horizontales.

Una variedad subriemanniana es una tripla ${\displaystyle (M,H,g)}$, donde ${\displaystyle M}$ es una variedad diferenciable, ${\displaystyle H}$ es una distribución "horizontal" completamente no-integrable y ${\displaystyle g}$ una sección suave de formas cuadráticas definidas positivas.

Toda variedad subriemanniana posee la métrica intrínseca, llamada la métrica de Carnot–Carathéodory, definida como

${\displaystyle d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}},}$

donde el ínfimo se toma a lo largo de todas las curvas horizontales ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ tal que ${\displaystyle \gamma (0)=x}$, ${\displaystyle \gamma (1)=y}$.

Ejemplos[editar]

La posición de un auto en el plano está determinada por tres parámetros: dos coordenadas ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ para su localización y un ángulo ${\displaystyle \alpha }$ que describe la orientación del auto. De este modo, la posición del auto puede ser descrita por un punto en una variedad

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

Nos podemos preguntar cuál es la distancia mínima para llegar de una posición a otra. Esto define una métrica Carnot–Carathéodory en la variedad

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

Un ejemplo cercano relacionado de una métrica subriemanniana puede ser construido en un grupo de Heisenberg: se toman dos elementos ${\displaystyle \alpha }$ y${\displaystyle \beta }$ en la correspondiente álgebra de Lie tales que

${\displaystyle \{\alpha ,\beta ,[\alpha ,\beta ]\}}$

generen toda el álgebra. La distribución horizontal ${\displaystyle H}$ generada por desplazamientos por la izquierda de ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ es completamente no-integrable. Al escoger cualquier forma cuadrática positiva lisa en ${\displaystyle H}$ se obtiene una métrica subriemanniana en el grupo.

Propiedades[editar]

Para toda variedad subriemanniana, existe un hamiltoniano llamado el hamiltoniano subriemanniano, construido a partir de la métrica de la variedad. A su vez, todo hamiltoniano cuadrático de este tipo induce una variedad subriemanniana. La existencia de geodésicas correspondientes a las ecuaciones de Hamilton-Jacobipara el hamiltoniano subriemanniano está dada por el teorema de Chow–Rashevskii.

 vector de Killing o campo vectorial de Killing es un vector definido sobre una variedad de Riemann o pseudoriemanniana que define un grupo uniparamétrico de isometrías. En teoría de la relatividad general los vectores de Killing son de gran importancia porque permiten definir tanto leyes de conservación como construir otros invariantes útiles en la resolución de problemas físicos.

El concepto de vector de Killing se debe a Wilhem Killing (1847-1923).

Definiciones[editar]

Los vectores de Killing se definen mediante la condición de que la derivada de Lie de la métrica en la dirección dada por un campo vectorial de Killing k es nula:

(1)${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathbf {k} }g=0}$

En una variedad (pseudo)riemanniana en la que la conexión es la conexión sin torsión asociada de manera natural a la métrica la expresión (1) se puede expresar en términos de la derivada covariante:

(2)${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathbf {k} }g_{ab}=k^{c}\nabla _{c}g_{ab}+g_{ac}\nabla _{b}k^{c}+g_{cb}\nabla _{a}k^{c}=\nabla _{a}k_{b}+\nabla _{b}k_{a}=0}$

Donde se ha usado el hecho de que el primer término del segundo miembro es cero y además se ha usado la operación de subir y bajar índices.

Vectores de Killing e isometrías[editar]

Dado un campo vectorial de Killing diferenciable entonces puede definirse un grupo uniparamétrico local de isometrías sobre la variedad de Riemann a partir de las curvas integrales asociadas a ese campo vectorial. Para cada punto p de la variedad con coordenadas ${\displaystyle \varphi (p)=\{x_{0}^{a}\}}$, en una cierta carta local ${\displaystyle \varphi \;}$, consideremos la curva integral que es solución de la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac {dx^{a}}{dt}}=k^{a}\\x^{a}(t_{0})=x_{0}^{a}\end{cases}}}$

Definamos un grupo uniparamétrico de isometrías ${\displaystyle \phi _{s}\;}$ asociado al vector de Killing como:

${\displaystyle \varphi (\phi _{s}(p))=x(s+t_{0})}$

El carácter isométrico de ${\displaystyle \phi _{s}}$ para cada valor de s se refleja en que el pullback de dicha aplicación satisface:

${\displaystyle \phi _{s}^{*}g_{ab}=g_{ab}}$

Es decir la aplicación anterior aplica puntos de la variedad en puntos que tiene una forma idéntica de métrica, dicho de otro modo, la métrica es "invariante" bajo la acción del grupo de isometrías asociado a un vector de Killing.