GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

 1-forma o uno-forma o covector, intuitivamente es un objeto matemático definido sobre un cierto dominio ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ (o de una variedad diferenciable) que "operado" con un campo vectorial da lugar un campo escalar o función definida sobre el mismo dominio. Es decir:

${\displaystyle T:{\mbox{Vec}}_{n}(\Omega )\to \mathbb {R} \qquad {\mbox{Vec}}_{n}(\Omega )={\mathcal {C}}^{(k)}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

Donde ${\displaystyle {\mbox{Vec}}_{n}(\Omega )}$ denota el conjunto de funciones vectoriales con derivadas parciales continuas hasta orden ndefinidas sobre ${\displaystyle \Omega }$, es decir, es un conjunto formado por campos vectoriales. Una 1-forma o forma uno es un caso particular de n-forma.

Ejemplos de 1-formas en física[editar]

• En mecánica newtoniana diversas magnitudes funcionan como 1-formas. Por ejemplo, el "trabajo infinitesimal" puede ser formalizado adecuadamente como una 1-forma definida a lo largo de la trayectoria de una partícula:

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz}$

Es una 1-forma, que aplicada a un vector velocidad da la potencia realizada por la fuerza:

${\displaystyle \langle \delta W,\mathbf {v} \rangle =F_{x}v_{x}+F_{y}v_{y}+F_{z}v_{z}}$

La integral a lo largo del tiempo de la potencia, que es un escalar, da el trabajo finito realizado por la fuerza. Cuando la 1-forma trabajo infinitesimal debido a la naturaleza de las fuerzas es una diferencial exacta, se dice que el conjunto de fuerzas forma un campo conservativo.

• En termodinámica el llamado impropiamente "calor infinitesimal" es otra 1-forma, normalmente no exacta, que es expresable en diferentes tipos de coordenadas:

${\displaystyle \delta q=T(S,V)\ dS\qquad \delta q=C_{V}(V,T)dT\qquad \delta q=C_{p}(p,T)dT}$

Donde ${\displaystyle C_{v},C_{p}}$ son las capacidades caloríficas bajo volumen y bajo presión constantes respectivamente y ${\displaystyle dS,dT}$ son 1-formas exactas asociadas a las variables de estado, entropía y temperatura respectivamente. Un factor integrante es una función multiplicativa que convierte a una 1-forma no exacta en exacta. Así un factor integrante para la magnitud "calor infinitesimal" es el inverso de la temperatura, en ese caso la 1-forma resultante puede derivarse de la variable de estado llamada entropía.

• En electrodinámica clásica el potencial vector puede ser considerado una 1-forma sobre un espacio-tiempode cuatro dimensiones del que se puede derivar todas las componentes del campo electromagnético. Esta 1-forma nunca es exacta a menos que el campo electromagnético sea nulo.
• Un campo vectorial que derive de un potencial admite una representación como 1-forma exacta.

Ejemplos de 1-formas en matemáticas[editar]

• La diferencial total de una función de varias variables puede ser tratada rigurosamente como una 1-forma. Así si se tiene una función de varias variables f(x,y,z) diferenciable, su diferencial total es una 1-forma exacta:

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz}$

Por ser la anterior una 1-forma exacta, también es también una 1-forma cerrada, lo cual implica que:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}=0}$

Integrabilidad de 1-formas: diferenciales exactas[editar]

Una 1-forma F, se dice exacta si existe una función g tal que:

${\displaystyle \left[\mathbf {F} =\sum _{i}F_{i}\ dx^{i}\quad {\mbox{exacta}}\right]\quad \Longleftrightarrow \quad F_{i}={\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}}$

Se puede probar que una condición necesaria y suficiente para que una 1-forma sea exacta, alrededor de algún punto, de acuerdo con el teorema de Poincaré es que exista algún punto en el que se cumpla que:

${\displaystyle {\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}}$

Cuando la condición anterior se satisface en algún punto entonces la 1-forma es localmente exacta en ese punto, es decir, existe una pequeña región alrededor del punto en el que la 1-forma es exacta.

Diferenciales inexactas en física[editar]

Obviamente no toda 1-forma es exacta, un ejemplo físico interesante lo constituye el calor o el trabajo que aparecen en la forma diferencial de la energía interna tal como suele usarse para formular, el primer principio de la termodinámica:

${\displaystyle dU=\delta Q+\delta W\qquad \delta Q:=T(S,V)\ dS\qquad \delta W:=-p(S,V)\ dV}$

Obviamente esta diferencial de la energía interna sí es una 1-forma exacta puesto que la energía interna es una variable de estado. Sin embargo, ni el calor, ni el trabajo son 1-formas exactas. Para el calor tenemos:

${\displaystyle \delta Q=T(S,V)\ dS+0\ dV\quad \land \quad \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}\neq 0\quad \Rightarrow \quad \lnot \exists {\bar {Q}}(S,V):\left[\left({\frac {\partial {\bar {Q}}}{\partial S}}\right)_{V}=T\land \left({\frac {\partial {\bar {Q}}}{\partial V}}\right)_{S}=0\right]}$

En la anterior ecuación si la derivada de la temperatura respecto al volumen fuera nula significaría que el cuerpo tiene una tasa de dilatación adiabática infinita, lo cual es absurdo. Para el trabajo tenemos que por las relaciones de Maxwell, el trabajo no es una 1-forma exacta a menos que el coeficiente de dilatación adiabática (α_S) sea cero, ya que el trabajo solo puede ser una diferencial exacta en un sistema termodinámico si y solo si:

${\displaystyle \left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V}=-\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}=-{\frac {1}{V\alpha _{S}}}}$

Un abierto coordenado (en sentido topológico) de una variedad topológica X de dimensión n es un abierto no vacío ${\displaystyle U_{}^{}}$ de X junto con n funciones continuas, ${\displaystyle u_{1},\;\dots ,u_{n}}$ (diferenciables en ${\displaystyle U_{}^{}}$) tales que la aplicación

${\displaystyle {\begin{matrix}(u_{1},\;\dots ,u_{n}):&{U}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} ^{n}\\&x&\longmapsto &(u_{1}(x),\;\dots ,u_{n}(x))\end{matrix}}}$.

establece un homeomorfismo de ${\displaystyle U_{}^{}}$ con un abierto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Un abierto coordenado (en sentido diferenciable) de una variedad diferenciable (X, Ox), es un abierto no vacío ${\displaystyle U_{}^{}}$ de X junto con n funciones diferenciables, ${\displaystyle u_{1},\;\dots ,u_{n}}$(pertenecientes al haz de funciones diferenciables de ${\displaystyle U_{}^{}}$) tales que la aplicación

${\displaystyle {\begin{matrix}(u_{1},\;\dots ,u_{n}):&{U}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} ^{n}\\&x&\longmapsto &(u_{1}(x),\;\dots ,u_{n}(x))\end{matrix}}}$.

establece un difeomorfismo de ${\displaystyle U_{}^{}}$ con un abierto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

 son las coordenadas del abierto coordenado .











álgebra multilineal es un área de estudio que generaliza los métodos del álgebra lineal. Los objetos de estudio son los productos tensoriales de espacios vectoriales y las transformaciones multi-lineales entre los espacios.

Notación[editar]

El álgebra multilineal hace un uso intensivo de la notación multi-índice. Una notación de ese tipo hace representar las combinaciones lineales por un conjunto de dos o más índices repetidos.

• En el caso elemental (tensores de rango uno contravariantes) tenemos, usando la convención de la sumade Einstein: ${\displaystyle \scriptstyle X=X^{s}e_{s}\,}$. Lo cual indica que el objeto X, es la combinación lineal:

${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}X^{s}e_{s}=X^{1}e_{1}+X^{2}e_{2}+\cdots +X^{n}e_{n}}$

sobre los vectores básicos ${\displaystyle \scriptstyle e_{s}\,}$, y los ${\displaystyle \scriptstyle X^{s}\,}$ llamados los componentes de X. Aquí ${\displaystyle n}$ es la dimensión (algebraica)de espacio donde "vive" X. Por convención se llama a estos 1-contra-tensores.

• En rango uno también están los 1-co tensores, es decir mapeos lineales desde el espacio elegido hacia el campo de los escalares. Ellos se escriben como combinación lineal de los funcionales lineales ${\displaystyle e^{s}}$, transformaciones lineales ${\displaystyle \scriptstyle V\to \mathbb {K} }$ que satisfacen: ${\displaystyle \scriptstyle e^{s}(e_{\sigma })={\delta ^{s}}_{\sigma }}$, donde (como clásicamente) se está usando la delta de Kronecker. Así cualquier covector ${\displaystyle \scriptstyle f\colon V\to \mathbb {K} }$ se escribe como ${\displaystyle \scriptstyle f=f_{s}e^{s}\,}$, notación que abrevia ${\displaystyle \scriptstyle f=f_{1}e^{1}+\cdots +f_{n}e^{n}\,}$.
• Tensores de rango dos:
  • Un tensor de rango dos contravariante es ${\displaystyle \scriptstyle B=B^{st}e_{s}\otimes e_{t}}$.
  • Un tensor de rango dos covariante es ${\displaystyle \scriptstyle C=C_{st}e^{s}\otimes e^{t}}$.
  • Y un tensor de rango dos mixto es ${\displaystyle \scriptstyle D={D^{s}}_{t}e_{s}\otimes e^{t}}$. Esto indica una combinación lineal bi-indexada.

Por ejemplo,

${\displaystyle B=B^{11}e_{1}\otimes e_{1}+B^{12}e_{1}\otimes e_{2}+B^{21}e_{2}\otimes e_{1}+B^{22}e_{2}\otimes e_{2}}$

si la dimensión del espacio es dos.

• Generalizando lo anterior se escribe ${\displaystyle \scriptstyle {A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}}$ para representar los componentes de un tensor mixto A, que es p-contravariante y q-covariante. Pero

${\displaystyle A={A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{p}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes e^{j_{q}}}$

representa una combinación lineal multi-indexada.

Todo lo anterior sólo ha sido considerando que el espacio vectorial es de dinensión finita igual a n.

Producto tensorial[editar]

Teniendo dos espacios vectoriales V, W, con respectivas bases ${\displaystyle \{b_{1},...,b_{n}\}}$, ${\displaystyle \{c_{1},...,c_{m}\}}$ se define su producto tensorial

${\displaystyle V\otimes W:=\langle \{b_{i}\otimes c_{j}\}\rangle }$

es decir el espacio vectorial generado por los nuevos símbolos

${\displaystyle \{b_{1}\otimes c_{1},b_{1}\otimes c_{2},...,b_{n}\otimes c_{m-1},b_{n}\otimes c_{m}\}}$

Y por lo tanto si un objeto X que vive en (pertenece a) ${\displaystyle \scriptstyle V\otimes W}$ entonces él se puede representar como una combinación lineal

${\displaystyle X=X^{11}b_{1}\otimes c_{1}+X^{12}b_{1}\otimes c_{2}+\cdots +X^{ij}b_{i}\otimes c_{j}+\cdots +X^{nm}b_{n}\otimes c_{m}}$

y la cual se va a abreviar como

${\displaystyle X=X^{st}b_{s}\otimes c_{t}}$

los índices repetidos s o t, una vez arriba y una vez abajo -está convenido- indica sumación, cada uno.

Esta definición es absolutamente abstracta, pero desde el punto de vista algebraico no hay ningún problema explorar todas las posibilidades del producto tensorial. Una plétora de espacios surge (y de importancia capital) simplemente al considerar un espacio vectorial V y su dual ${\displaystyle V^{*}}$ uno obtiene los espacios:

${\displaystyle V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes }}$

${\displaystyle \scriptstyle V\otimes V^{*}={\rm {Hom}}(V)}$

${\displaystyle \scriptstyle V^{*}=\Lambda ^{1}(V)\,}$

${\displaystyle \scriptstyle V\wedge V}$

${\displaystyle \scriptstyle \Lambda ^{k}(V)\,}$

Todos ellos de uso cotidiano en la geometría diferencial, geometría algebraica, álgebra conmutativa, relatividad y cuántica, teorías de campo, QFT, TQFT y otras.

Tensores y formas[editar]

Sea ${\displaystyle V}$ generado por los ${\displaystyle b_{i}}$. Simbolicemos con ${\displaystyle \beta ^{\mu }}$ la base de dual ${\displaystyle \scriptstyle V^{*}}$. Cualquier elemento de ${\displaystyle \scriptstyle V^{*}\otimes V^{*}}$ se escribe de la forma ${\displaystyle \scriptstyle B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}$. Esta misma expresión puede ser vista como un mapa bilineal

${\displaystyle \scriptstyle V\times V{\stackrel {B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}{\longrightarrow }}\mathbb {R} }$

${\displaystyle \scriptstyle (b_{i},b_{j})\mapsto B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})=B_{ij}}$

sabiendo que ${\displaystyle \scriptstyle \beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})={\delta ^{\mu }}_{i}{\delta ^{\nu }}_{j}}$ - kronecker.

Otro de rango dos es . Los elementos de aquí se ven como combinaciones lineales bi-indexadas .