GEOMETRÍA DIFERENCIAL
Esta ecuación proporciona una
función de onda útil para describir objetos compuesto como el
barión Delta (Δ) de espín 3/2. Y supuestamente también podría llegar a describir partículas hipotéticas como el
gravitino postulado por teorías supersimétricas como la
teoría de supercuerdas.
Formulación matemática[editar]
En la moderna notación la ecuación de Rarita-Schwinger se escribe como:
donde:
- es el símbolo de Levi-Civita totalmente antisimétrico.
- y son las matrices de Dirac.
- es la masa de las partícula descritas por la ecuación.
- son las componentes (covariantes y contravariantes) de un espinor vectorial con componentes adicionales respecto a los habituales en los espinores de Dirac.
La ecuación anterior de hecho corresponde a la representación:
de esa representación. Además al igual que sucede con la ecuación de Dirac debe tenerse presente que existe variantes de "Weyl" y "Majorana" de la ecuación de Rarita-Schwinger.
Otra propiedad interesante es que al igual que la ecuación de Dirac, la interacción entre el campo electromagnético y un campo de Rarita-Schwinger puede ser modelizado, de acuerdo con el
Principio de acoplamiento mínimo, mediante la substitución de las derivadas parciales por
derivadas covariantes basadas en campos
gauge:
La ecuación de Rarita-Schwinger para un campo sin masa tiene una simetría gauge de invariancia, bajo transformaciones del tipo:
donde
es un campo espinorial arbitrario.
Lagrangiano del campo[editar]
El campo fermiónico de espín 3/2 descrito por la ecuación RS anterior puede derivarse del siguiente
lagrangiano:
Problemas de la ecuación RS[editar]
La descripción habitual de
campos espinoriales con masa, tanto en la formulación de Rarita-Schwinger como en la de Fierz-Pauli, presenta disversos problemas físicos.
Después de considerar transformaciones de gauge, se ha demostrado que las ecuaciones predicen
efectos acausales para campos ferminónicos de alto espín, como por ejemplo
propagación superlumínica. Esto último fue demostrado teóricamente por Velo y Zwanziger en
1969 para un campo de Rarita-Schwinger en interacción con el campo electromagnético. También se han encontrado inconsistencias algebraicas con las transformaciones de gauge, que sólo puede ser evitadas si cualquier restricción que involucre las derivadas del campo deriva de un lagrangiano.
matrices gamma,
, también conocidas como
matrices de Dirac, son un conjunto de
matrices convencionales junto con unas relaciones de
anticonmutación que aseguran que generen una representación matricial del
álgebra de Clifford . También es posible definir matrices gamma en más dimensiones. Interpretadas como las matrices de la acción de un conjunto de
vectores de una base ortogonal para vectores
contravariantes en el
espacio de Minkowski, los vectores columna sobre los que actúa la matriz se transforman en un espacio de
espinores, sobre los que actúa el
álgebra de Clifford del espaciotiempo. Esto a su vez hace posible representar
rotaciones espaciales y
transformaciones de Lorentzinfinitesimales. El empleo de espinores en general facilita los cálculos en el espaciotiempo, y en particular es fundamental en la
ecuación de Dirac para partículas relativistas de
espín ½.
En la representación de Dirac, las cuatro matrices gamma
contravariantes son
es una matriz tipo tiempo y el resto son matrices tipo espacio.
Se pueden definir conjuntos análogos de matrices para cualquier dimensión y signatura de la métrica. Por ejemplo, las
matrices de Pauli forman un conjunto de matrices "gamma" en dimensión 3 con signatura métrica euclidiana (3,0). En cinco dimensiones espaciotemporales, las cuatro matrices gamma de arriba junto con la quinta matriz gamma, presentada más abajo, generan el álgebra de Clifford.
Estructura matemática[editar]
La propiedad que define que las matrices gamma matrices generan un
álgebra de Clifford es la relación de anticonmutación
Esta propiedad es más fundamental que los valores numéricos utilizados en una representación concreta de las matrices gamma. La versión
covariante gamma las matrices están definidas por
Nota que con la signatura métrica opuesta, (− + + +) o bien hay que cambiar la ecuación:
o bien multiplicar todas las matrices gamma por
, lo que naturalmente modifica las propiedades de hermiticidad. Con la convención de signatura alternativa las matrices gamma covariantes son entonces
- .
Estructura física[editar]
El álgebra de Clifford
sobre el espacio-tiempo
puede ser considerado como el conjunto de operadores lineales reales de
a
,
o más generalmente, al complexificar a
, como el conjunto de operadores lineales de cualquier espacio vector complejo dimensional 4 a sí mismo. Dicho de un modo más simple, dada una base para
V,
es el conjunto de todas las matrices complejas 4
× 4, pero dotado con una estructura de álgebra de Clifford. Se supone que el espacio-tiempo está dotado con una métrica de Minkowski
y un espacio de biespinores
en cada punto del espacio-tiempo con la representación biespinorial del
grupo de Lorentz. Los campos biespinoriales
de las ecuaciones de Dirac, evaluados en cualquier punto
en espacio-tiempo, son elementos de
. El álgebra de Clifford asimismo actúa en
(por multiplicación matricial con vectores de columna
en
para todo
). Como se verá, esta será la función primaria de los elementos de
en esta sección.
Para cada tran
sformación lin
eal
de
, hay una transformación de
dada por
para
en
.
Si
p
ertenece a una representación del grupo de Lorentz, la acción inducida
↦ también pertenecerá a una representación del grupo de Lorentz.
Si
es la representación biespinorial que actúa en
de una
transformación de Lorentz arbitraria en el la representación estándar (cuadrivector) que actúa en
, entonces hay un operador correspondiente en
=
dado por
demostrando que
puede ser vista como la
base de un espacio de representación de la representación de cuadrivectores del grupo de Lorentz que se encuentra dentro del álgebra de Clifford. Esto significa que las cantidades de la forma
deberían de ser tratadas como cuadrivectores en las manipulaciones. También significa que los índices de
γ se pueden subir y bajar utilizando la métrica
como con cualquier cuadrivector. La notación presentada se llama
notación slash de Feynman. La operación
slash lleva los vectores unitario
de
, o de cualquier espacio vectorial de dimensión 4, a la base de vectores
. La regla de transformación para cantidades con
slash es sencillamente
Hay que notar que esto es diferente de la regla de transformación para los
, que son ahora tratados como una base vectorial (fija). La designación de la tupla (
) = (
,
,
,
) como cuadrivector que se hace a veces en la literatura puede llevar a errores. Eso correspondería a una transformación activa de los componentes de una cantidad con
slash en términos de la base
, y la forma anterior a una transformación pasiva de la propia base
.
Los elementos
forman una representación del
álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Es una representación con espín. Cuando se hacen exponenciales de estas matrices y de sus combinaciones lineales, se obtienen representaciones biespinoriales del grupo de Lorentz, por ejemplo, el
usado anteriormente. El espacio de 6 dimensiones generado por
es el espacio de representación de una representación tensorial del grupo de Lorentz.
Expresión de la ecuación de Dirac[editar]
donde
es un espinor de Dirac.
La quinta matriz gamma, γ5[editar]
Es útil definir el producto de cuatro matrices gamma:
- (En la base de Dirac).
A pesar de que utiliza la letra gamma,
no es una de las matrices gamma de
. El número 5 es una reliquia de la antigua notación en la que se llamaba "
" a
tiene una definición alternativa:
Esta matriz es útil al emplear el concepto de
quiralidad. Por ejemplo, se puede proyectar un campo de Dirac sus componentes levógira y dextrógira mediante:
- .
Algunas propiedades:
-
- Sus autovalores son ±1 porque:
-
- Anticonmuta con las cuatro matrices gamma:
-
El conjunto
por lo tanto, por las últimas dos propiedades y las del resto de matrices gamma, forma la base del álgebra de Clifford en 5 dimensiones del espacio-tiempo para la signatura métrica (1,4).
1 En la signatura (4,1), se usa el conjunto
, donde las
son las apropiadas para la signatura (3,1).
2 Este patrón se repite para cualquier dimensión de espacio-tiempo par
y la dimensión impar siguiente
para todo
.
3
Identidades[editar]
Las identidades siguientes se siguen de las relaciones fundamentales de anticonmutación, así que son válidas en cualquier base (aunque la última depende de la elección del signo para
).
Identidades varias[editar]
Num | Identidad |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
Identidades de la traza[editar]
Las matrices gamma obedecen las siguientes identidades de traza:
Num | Identidad |
0 | |
1 | La traza de cualquier producto de un número impar de es cero |
2 | La traza de por un producto de un número impar de también es cero |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |
Para demostrar estas identidades se necesitan tres propiedades de la traza:
Para mostrar
-
empleamos la propiedad anterior
-
y las propiedades de la matriz
siguientes:
-
Demostramos la propiedad para el cas de tres matrices. El primer paso es añadir dos matrices
delante de las
s, el segundo paso es llevar una de las
al final mediante la propiedad cíclica de la traza, y el tercer paso, devolverla a su posición original empleando la anticonmutatividad:
-
| |
| |
| |
| |
Esto solamente se verifica si
-
La extensión a
(
entero) matrices gamma es inmediata.
Si hay un número impar de matrices gamma seguidas de
, el objetivo es mover
de la derecha a la izquierda, empleando la propiedad cíclica de la traza. Para hacer este movimiento, tenemos que anticonmutarla con todas las matrices gamma; un número impar de veces, adquiriendo un signo menos. Una traza igual a su negativo debe ser igual a cero.
-
| |
| |
Para el término de la derecha, movemos
hacia la izquierda
-
| |
| |
De nuevo en el término de la derecha desplazamos
a la izquierda
-
| |
| |
La ecuación (3) es el término de la derecha de la ecuación (2), que a su vez es el término de la derecha de (1). También empleamos la tercera identidad para simplificar términos como:
-
Aplicándolo todo a la ecuación (1) se obtiene
-
-
-
-
-
-
-
Empleando la propiedad cíclica
-
Así que (4) queda
-
o
-
Para demostrar
-
- ,
procedemos según
-
| | (porque ) |
| | (anticonmutando con ) |
| | (rotando las matrices dentro de la traza) |
| | (eliminando ) |
Sumando a ambos lados
se tiene
-
- .
Esta misma estrategia se puede usar para demostrar
-
- .
Simplemente hay que añadir dos factores de
, con
distinto de
y de
. Anticonmutando tres veces se obtienen tres signos menos, y usando la propiedad cíclica se llega a
-
- .
Para una demostración de la identidad 6 funciona el mismo truco que en la identidad 5 a no ser que
sea una permutación de (0123), y aparezcan las cuatro matrices gamma distintas. Las reglas de anticonmutación implican que cambiando dos índices cambia el signo de la traza, con lo que
debe ser proporcional a
La constante de proporcionalidad es
como se puede comprobar con el caso
, escribiendo
, y recordando que la traza de la identidad es 4.
Hermiticidad[editar]
Se puede escoger la forma de las matrices gamma con condiciones adicionales de hermiticidad, restringidas por las relaciones de anticonmutación. Podemos imponer
-
- , compatible con
y para el resto de matrices (para k = 1, 2, 3)
-
- , compatible con
Se comprueba inmediatamente que estas propiedades de hermiticidad se cumplen para la representación de Dirac.
Estas relaciones se pueden resumir como
-
Las condiciones de hermiticidad no son invariantes bajo la acción
de una transformación de Lorentz
porque
no es necesariamente una transformación unitaria debido que el grupo de Lorentz no es compacto.
Notación slash de Feynman[editar]
para cualquier cuadrivector a.
Aquí se presentan algunas identidades que involucran la notación slash:
-
- donde
- es el símbolo de Levi-Civita y
Otras representaciones[editar]
Base de Dirac[editar]
Las matrices gamma escritas hasta ahora son las apropiadas para actuar sobre
espinores de Dirac escritos en la base de Dirac; de hecho las base de Dirac está definida por estas matrices. Para resumir, en la base de Dirac:
Base de Weyl (quiral)[editar]
Otra elección común es la
base de Weyl o
quiral, en la que las
tienen la misma forma pero no
, y
es diagonal,
o en notación más compacta:
La base de
Weyl tiene la ventaja que las proyecciones
quirales toman una forma sencilla,
La idempotencia de las proyecciones quirales es evidente. Con un ligero abuso de notación, reusando los símbolos
se puede identificar
donde ahora
y
son los espinores de Weyl (de dos componentes) levógiro y dextrógiro.
Otra elección posible de la base de Weyl la base es
4
Las proyecciones quirales toman una forma ligeramnete deferente
En otras palabras,
donde
y
son de nuevo los espinores de Weyl levógiro y dextrógiro.
Base de Majorana[editar]
En la base de
Majorana todas las matrices gamma son imaginarias y los espinores reales. En términos de las
matrices de Pauli, se pueden escribir como
La razón para hacer las matrices gamma imaginarias es obtener la signatura (+,−,−,−) en la que las masas al cuadrado son positivas. Aun así la representación de Majorana es real. Se puede eliminar la
para obtener otra representación distinta con matrices gamma y espinores reales pero con la signatura (−,+,+,+).
Matrices de Dirac euclídeas[editar]
Representación quiral[editar]
Notar que los factores
se encuentran en las matrices espaciales para obtener el álgebra de Clifford
También hay que notar que hay variantes de esta representación en las que se usa un factor
en una de las matrices espaciales, como en los códigos de QCD en el retículo.
En espacio euclídeo,
Utilizando el anti-conmutador y notando que en el espacio euclídeo
, se demuestra que
En la base quiral en espacio euclídeo
que es igual a la versión de Minkowski.
Representación no relativista[editar]
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