GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

 geometría de Riemann es el estudio de las variedades diferenciales con métricas de Riemann; es decir de una aplicación que a cada punto de la variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras magnitudes) ángulo, longitud de curvas, y volumen. A partir de éstas, pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales.

Fue propuesta por primera vez de forma general por Bernhard Riemann en el siglo XIX. Como casos especiales particulares aparecen los dos tipos convencionales (geometría elíptica y geometría hiperbólica) de geometría No-Euclidiana, así como la geometría euclidiana misma. Todas estas geometrías se tratan sobre la misma base, al igual que una amplia gama de las geometrías con propiedades métricas que varían de punto a punto.

Cualquier variedad diferenciable admite una métrica de Riemann y esta estructura adicional ayuda a menudo a solucionar problemas de topología diferencial. También sirve como un nivel de entrada para la estructura más complicada de las variedades pseudo-Riemann, las cuales (en el caso particular de tener dimensión 4) son los objetos principales de la teoría de la relatividad general.

No hay introducción fácil a la geometría de Riemann. Los artículos siguientes pueden servir como introducción:

1. Tensor métrico
2. Variedad de Riemann
3. Conexión de Levi-Civita
4. Curvatura
5. Tensor de curvatura.

Lo que sigue es una lista no completa de los teoremas más clásicos de la geometría de Riemann. La elección se hace dependiendo de su belleza, de la importancia y simplicidad de la formulación.

Teoremas generales[editar]

1. Teorema de Gauss-Bonnet La integral de la curvatura de Gauss en una variedad de Riemann compacta de 2 dimensiones es igual a ${\displaystyle 2\pi \chi (M)}$, aquí ${\displaystyle \chi (M)}$ denota la característica de Euler de M.
2. Teorema de inmersión de Nash también llamado Teorema Fundamental de la geometría de Riemann. Indican que cada variedad de Riemann puede ser isométricamente sumergida en un espacio euclidianoRⁿ.

 conexión de Levi-Civita (nombrada así por Tullio Levi-Civita) es la conexión libre de torsión del fibrado tangente, preservando una métrica de Riemann (o métrica pseudoriemanniana) dada. El teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que hay una conexión única que satisfacen estas propiedades.

En la teoría de una variedad de Riemann o de una variedad pseudoriemanniana el término derivada covariantese utiliza a menudo para la conexión de Levi-Civita. La expresión en coordenadas espaciales de la conexión se llama los símbolos de Christoffel.

Definición formal[editar]

Sea (M, g) una variedad de Riemann (o una variedad pseudoriemanniana) entonces una conexión afín ${\displaystyle \nabla }$ es una conexión de Levi-Civita si satisface las condiciones siguientes

• Preserva la métrica, es decir, para cualesquiera campos vectoriales X, Y, Z tenemos ${\displaystyle Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$, donde X g(Y, Z) denota la derivada de la función g(Y, Z) a lo largo del campo vectorial X.

• Es libre de torsión, es decir, para cualesquiera campos vectoriales X y Y tenemos ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$, donde ${\displaystyle [X,Y]}$ es el corchete de Lie de los campos vectoriales X y Y.

Derivada a lo largo de una curva[editar]

La conexión de Levi-Civita define también una derivada a lo largo una curva, denotada generalmente por D.

Dado curva diferenciable γ sobre (M, g) y un campo vectorial V en γ su derivada se define como

${\displaystyle {\frac {D}{dt}}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V}$.

Conexión estándar de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$[editar]

Para dos campos vectoriales ${\displaystyle X,Y}$ en el espacio euclídeo n-dimensional, ésta está dada por la regla

${\displaystyle D_{X}Y=(JY)X\,}$

donde ${\displaystyle JY}$ es el jacobiano de Y.

Conexión inducida en superficies de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$[editar]

Para un par de campos vectoriales tangentes a una superficie (variedad de codimensión 1 en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) se puede inducir una derivada covariante mediante el cálculo

${\displaystyle \nabla _{X}Y=D_{X}Y-\langle n,D_{X}Y\rangle n}$

relación conocida como ecuación de Gauss. Es fácil demostrar que ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$ satisface las mismas propiedades que D.

desigualdad de Penrose, inicialmente conjeturada por Sir Roger Penrose, estima la masa de un espacio-tiempo en términos del área total de sus agujeros negros y es una generalización del teorema de la masa positiva.

Fundamentos[editar]

La desigualdad riemanniana de Penrose es un caso especial importante. Específicamente, si (M, g) es una variedad tridimensional de Riemann asintóticamente plana con curvatura escalar no negativa y masa ADM m, y Aes el área de la más externa superficie mínima (posiblemente con múltiples componentes conectados), entonces la desigualdad riemanniana de Penrose afirma

${\displaystyle m\geq {\sqrt {\frac {A}{16\pi }}}.}$.

Esto es puramente un hecho geométrico, y se corresponde con el caso de un completo tridimensional espacio-como, totalmente geodésica de una subvariedad espacio-tiempo (3 + 1)-dimensional. Tal subconjunto a menudo se denomina conjunto de datos inicial simétrico en el tiempo para un espacio-tiempo. La condición de (M, g) que tiene una curvatura escalar no negativa es equivalente al espacio-tiempo que obedece a la condición de energía dominante.

Esta desigualdad fue probada por primera vez por Gerhard Huisken y Tom Ilmanen en 1997 en el caso en que Aes el área del componente más grande de la superficie mínima más externa. Su prueba se basó en la maquinaria de flujo de curvatura media inversa débilmente definido , que desarrollaron. En 1999, Hubert Bray dio la primera prueba completa de la desigualdad anterior utilizando un flujo de métricas conforme . Ambos documentos fueron publicados en 2001.

Motivación física[editar]

El argumento físico original que llevó a Penrose a conjeturar tal desigualdad invocó el teorema del área de Hawking y la hipótesis de la censura cósmica.

Caso de igualdad[editar]

Las pruebas de Bray y Huisken-Ilmanen de la desigualdad riemanniana de Penrose afirman que bajo las hipótesis, si

${\displaystyle m={\sqrt {\frac {A}{16\pi }}}}$,

entonces la variedad en cuestión es isométrica a una porción del espacio-tiempo de Schwarzschild fuera de la superficie mínima más externa.

Conjetura de Penrose[editar]

De manera más general, Penrose conjeturó que una desigualdad como la anterior debería ser válida para subvariedades espaciales de espacios-tiempo que no son necesariamente simétricos en el tiempo. En este caso, la curvatura escalar no negativa se reemplaza con la condición de energía dominante, y una posibilidad es reemplazar la condición superficial mínima con una condición de horizonte aparente. Probar tal desigualdad sigue siendo un problema abierto en la relatividad general, llamada conjetura de Penrose.

 espacio maximalmente simétrico (EMS) es un espacio métrico en el que puede definirse el concepto de dimensión y donde el grupo de simetría tiene la dimensión máxima posible. Si se considera un espacio métrico real de dimensión d la dimensión máxima posible del grupo de isometría, que es un grupo de Lie, resulta ser d(d+1)/2.

Espacio euclídeo[editar]

En el espacio euclídeo el grupo de traslaciones tiene dimensión d y el de rotaciones tiene dimensión:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d\\2\end{pmatrix}}={\frac {d(d-1)}{2}}}$

La combinación de traslaciones, rotaciones y simetría especulares y de inversión varias da el grupo de isometría del espacio que por tanto tiene dimensión:

${\displaystyle d+{\frac {d(d-1)}{2}}={\frac {d(d+1)}{2}}}$

El grupo de isometría del espacio euclídeo admite el siguiente isomorfismo:

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mathbb {E} ^{d})\approx \mathbb {R} ^{d}\times {\mbox{O}}(d)}$

donde ${\displaystyle {\mbox{O}}(d)}$ es el grupo ortogonal d-dimensional.

Variedades riemannianas[editar]

Una superficie esférica S²constituye un caso de espacio bidiomensional maximalmente simétrico.

Los espacios de curvatura constante el tensor de curvatura de Riemann viene dado en componentes por la siguiente expresión:

${\displaystyle R_{ijkl}=C(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})\,}$

donde ${\displaystyle \scriptstyle g_{ij}}$ es el tensor métrico expresado en coordenadas curvilíneascualesquiera. En tensor de Ricci ${\displaystyle \scriptstyle R_{ij}}$ y la curvatura escalar ${\displaystyle \scriptstyle S}$son proporcionales respectivamente al tensor métrico y a la curvatura:

${\displaystyle R_{ij}=(n-1)Cg_{ij},\qquad S=n(n-1)C}$

y donde ${\displaystyle \scriptstyle n}$ es la dimensión del espacio.

La geometría hiperbólica y la geometría elíptica (además de la geometría euclídea) son casos particulares de geometrías riemannianas uniformes que son maximalmente simétricas. Para las geometrías hiperbólica y elíptica existe un parámetro llamado "radio" R relacionado con el valor no nulo de C mediante la relación:

${\displaystyle C={\frac {\pm 1}{R^{2}}}}$

escogiendo el sistema de unidades adecuadamente puede obtenerse |R| = 1 y por tanto |C| = 1. En el caso de la geometría elíptica R coincide con el radio de la n-esfera que se use como modelo de geometría elíptica.

Los grupos de isometría de los espacios maximalmente simétricos de curvatura positiva y negativa son:

${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mathbb {S} ^{d})\approx {\mbox{O}}(d+1),\qquad {\mathcal {I}}(\mathbb {H} ^{d})\approx {\mbox{O}}_{+}(d,1)}$

Donde:

${\displaystyle \mathbb {S} ^{d},\mathbb {H} ^{d}\,}$, son repsectivamente el EMS de curvatura positiva y el EMS de curvatura negativa.

${\displaystyle {\mbox{O}}(d+1)\,}$, es el grupo ortogonal d+1-dimensional.

${\displaystyle {\mbox{O}}_{+}(d,1)\,}$, es el subgrupo ortocrono del grupo de Lorentz d+1-dimensional.