GEOMETRÍA

FIGURAS GEOMÉTRICAS - CURVAS

problema del cuadrado inscrito, también conocido como el problema del límite cuadrado o conjetura de Toeplitz, es una pregunta no resuelta en geometría: ¿Cada curva cerrada de un plano simple contiene los cuatro vértices de algún cuadrado? Se conoce que es cierto si la curva es convexa, o suave por partes, y en otros casos especiales. El problema fue propuesto por Otto Toeplitz en 1911.¹​ Algunos primeros resultados positivos fueron obtenidos por Arnold Emch²​ y Lev Schnirelmann.³​ Hasta ahora el caso general permanece abierto.

Sea C una curva de Jordan. Un polígono P se encuentra inscrito en C si todos los vértices de P pertenecen a C. El problema del cuadrado inscrito pregunta:

¿Cada curva de Jordan admite un cuadrado inscrito?

No es necesario que los vértices del cuadrado aparezcan a lo largo de la curva en un orden particular.

Ejemplos[editar]

Algunas figuras, como círculos y cuadrados, admiten cuadrados infinitos inscritos. Si C es un triángulo obtuso, entonces admite exactamente un cuadrado inscrito; los triángulos rectángulos admiten exactamente dos, y en triángulos acutángulos admiten exactamente tres.⁵​

Casos resueltos[editar]

Es tentador intentar solucionar el problema del cuadrado inscrito, demostrando que una clase especial de curvas de buen comportamiento siempre contiene un cuadrado inscrito, y luego acercándose a una curva arbitraria mediante una secuencia de curvas de buen comportamiento e inferir que todavía existe un cuadrado inscrito como un límite de cuadrados inscritos en las curvas de la secuencia. Una de las razones este argumento no se ha llevado a cabo hasta determinar que el límite de una secuencia de cuadrados puede ser un único punto en lugar de ser en sí mismo un cuadrado.

Curvas analíticas por tramos[editar]

Emch (1913) demostró que las curvas analíticas por tramos siempre inscriben cuadrados. Especialmente, esto es cierto para los polígonos. La prueba de Emch considera las curvas trazadas por los puntos medios de los segmentos de la línea secante a la curva, paralela a una líneas dadas. Demostró que, cuando estas curvas se intersecan con las curvas generadas del mismo modo para una línea perpendicular, hay un número impar de cruces. Por lo tanto, siempre existe al menos un cruce, que forma el centro de un rombo inscrito en la curva dada. Al girar las dos líneas perpendiculares continuamente a través de un ángulo recto, y aplicando el teorema del valor intermedio, demostró que al menos uno de estos rombos es un cuadrado.⁴​

Curvas localmente monótonas[editar]

Stromquist demostró que toda curva plana monótona local sencilla admite un cuadrado inscrito.⁶​ La condición es para cualquier punto P, la curva C puede ser representada localmente como la gráfica de una función y = f(x). Más precisamente, para cualquier punto P en C existe un entorno U(p) y una dirección fija n(p) (el sentido del «eje Y») de tal manera que si no está acorde con C esta área es paralela a n(p). Las curvas localmente monótona incluyen todos los polígonos, todas las curvas convexas cerradas y todas las curvas por tramos-C¹ sin cúspides.

Curvas sin trapezoides especiales[editar]

Una condición incluso más débil en la curva de monotonicidad local es que, por algún ε > 0, la curva no tiene algún trapezoide especiale inscrito de tamaño ε. Un trapecio especial es un trapecio isósceles con tres lados iguales, cada uno más largo que el cuarto lado, inscritos en la curva con un vértice ordenado consistente con el orden en sentido de las agujas del reloj de la curva en sí.⁴​

Curvas en coronas circulares[editar]

Si una curva de Jordan inscrita en una corona circular cuyo radio exterior es como máximo ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ veces su radio interior, y se dibuja de una forma que separa el círculo interior de la corona circular del círculo exterior, a continuación, éste contiene un cuadrado inscrito. En este caso, los grandes cuadrados inscritos que contienen el centro de la corona circular se separan topológicamente a partir de los cuadrados inscritos más pequeños que no contienen el centro. El límite de una secuencia de cuadrados grandes debe ser nuevamente un gran cuadrado, en lugar de un punto degenerado, por lo que el argumento de la limitación puede ser utilizado.⁴​

Curvas simétricas[editar]

La respuesta afirmativa también se conoce para las curvas centralmente simétricas.⁷​

Variantes y generalizaciones[editar]

Uno podría preguntarse si otras figuras pueden ser inscritas en una curva de Jordan arbitraria. Se conoce que para cualquier triángulo T y curva de Jordan C, hay un triángulo similar a T e inscrito en C.⁸​⁹​ Más todavía, el conjunto de los vértices de estos triángulos es denso en C.¹⁰​ En particular, siempre hay un triángulo equiláteroinscrito. Es también conocido que cualquier curva de Jordan admite un rectángulo inscrito.

Algunas generalizaciones del problema del cuadrado inscrito consideran polígonos inscritos para las curvas e incluso continuas más generales en mayores espacios euclídeos dimensionales. Por ejemplo, Stromquist demostró que cualquier curva cerrada continuo C en Rⁿ que satisface la «condición A», que no existen dos cuerdas de C en una zona recomendable de cualquier punto, son perpendiculares admitiendo un cuadrilátero inscrito con lados y diagonales iguales.⁶​ Esta clase de curvas incluye todas las curvas C². Nielsen y Wright demostraron que cualquier continua simétrica K en Rⁿ contiene muchos rectángulos inscritos.⁷​ H.W. Guggenheimer demostró que toda hipersuperficie C³-difeomorfa en una esfera S^n-1 contiene 2ⁿ vértices de un n-cubo euclidiano normal.

punto singular de una curva es aquel en el cual la curva no queda expresada por una función continuamente diferenciable de un parámetro. La definición precisa de un punto singular depende del tipo de curva en consideración.

Curvas algebraicas en el plano[editar]

Las curvas algebraicas en el plano pueden quedar definidas por un conjunto de puntos (x, y) que obedecen a una ecuación del tipo f(x, y)=0, donde f es una función polinómica f:R²→R. Si f se desarrolla como

${\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots \,}$

Si el origen (0, 0) se encuentra en la curva entonces a₀=0. Si b₁≠0 entonces el teorema de la función implícitagarantiza que existe una función continuamente diferenciable h es tal que la curva toma la forma y=h(x) cerca del origen. De manera similar, si b₀≠0 entonces existe una función continuamente diferenciable k tal que la curva posee la forma x=k(y) cerca del origen. En cualquiera de los dos casos, existe un mapeo continuamente diferenciable desde R al plano que define la curva en las proximidades del origen. Notar que en el origen

${\displaystyle b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},}$

por lo que la curva no es singular o regular en el origen si por lo menos una de las derivadas parciales de f no es nula. Los puntos singulares son aquellos puntos de la curva donde ambas derivadas parciales se anulan,

${\displaystyle f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.}$

Puntos regulares[editar]

Supongamos que la curva pasa por el origen y escribamos y=mx. Entonces f se puede expresar como

${\displaystyle f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\dots .\,}$

Si b₀+mb₁ no es 0 entonces f=0 posee una solución de multiplicidad 1 en x=0 y el origen es un punto de contacto simple con la línea y=mx. Si b₀+mb₁=0 entonces f=0 posee una solución de multiplicidad 2 o superior y la línea y=mx, o b₀x+b₁y=0, es tangente a la curva. En este caso, si c₀+2mc₁+c₂m² no es 0 entonces la curva posee un punto de doble contacto con y=mx. Si el coeficiente de x², c₀+2mc₁+c₂m², es 0 pero el coeficiente de x³ no lo es entonces el origen es un punto de inflexión de la curva. Si el coeficiente de x² y x³ son ambos 0 entonces el origen se denomina punto de undulación de la curva. Este análisis puede ser aplicado a todo punto de una curva trasladando los ejes coordenados de forma que el origen se encuentre en el punto que se desea estudiar..¹​

Puntos dobles[editar]

Tres caracoles de Pascal ilustran los tipos de puntos dobles. La curva de la izquierda posee un acnodo en el origen, el cual es un punto aislado en el plano. La curva central, la cardioide, posee una cúspide en el origen. La curva de la derecha posee un crunodo en el origen y la curva se cruza a si misma formando un lazo.

Si b₀ y b₁ son ambos 0 en la expansión precedente, pero si por lo menos uno de c₀, c₁, c₂ no es 0 entonces el origen es denominado un punto doble de la curva. Nuevamente haciendo y=mx, f se puede expresar como

${\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\dots .\,}$

Los puntos dobles pueden ser clasificados según las soluciones de c₀+2mc₁+m²c₂=0.

Crunodos[editar]

Si c₀+2mc₁+m²c₂=0 posee dos soluciones reales para m, o sea si c₀c₂−c₁²<0 a="" class="new" denominado="" el="" entonces="" es="" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Crunodo&action=edit&redlink=1" nbsp="" origen="" style="background: none; color: #a55858; text-decoration-line: none;" title="Crunodo (aún no redactado)" un="">crunodo

. En este caso la curva se cruza a si misma en el origen y posee dos tangentes diferentes correspondientes a las dos soluciones de c₀+2mc₁+m²c₂=0. En este caso la función f posee un punto de ensilladura en el origen.

Acnodos[editar]

Si c₀+2mc₁+m²c₂=0 no posee soluciones reales para m, o sea si c₀c₂−c₁²>0, entonces el origen es denominado un acnodo. En el plano real el origen es un punto aislado en la curva, sin embargo si la curva es analizada como una curva compleja el origen no se encuentra aislado y tiene dos tangentes imaginarias correspondientes a las dos soluciones complejas de c₀+2mc₁+m²c₂=0. En este caso la función f posee un extremo local en el origen.

Cúspides[editar]

Si c₀+2mc₁+m²c₂=0 posee una sola solución de multiplicidad 2 para m, o sea si c₀c₂−c₁²=0, entonces el origen es denominado una cúspide. En este caso la curva cambia de dirección en el origen creando un punto aguzado. La curva posee una única tangente en el origen la cual puede ser considerada como dos tangentes coincidentes.

Otras clasificaciones[editar]

El término nodo se utiliza para referirse a un crunodo o un acnodo, o sea un punto doble que no es una cúspide. El número de nodos y el número de cúspides en una curva son dos invariantes utilizados en la fórmula de Plücker.

Si una de las soluciones de c₀+2mc₁+m²c₂=0 es también una solución de d₀+3md₁+3m²d₂+m³d₃=0 entonces la rama correspondiente de la curva posee un punto de inflexión en el origen. En este caso al origen se lo denomina flecnodo. Si ambas tangentes poseen esta propiedad, entonces c₀+2mc₁+m²c₂ es un factor de d₀+3md₁+3m²d₂+m³d₃, entonces el origen es denominado biflecnodo.²​

Puntos múltiples[editar]

Curva con un punto triple en el origen.

En general, si todos los términos con grado inferior que k son 0, y por lo menos un término de grado k no es 0 en f, entonces se dice que la curva tiene un punto múltiple de orden k o un punto k-ésimo. En general la curva tendrá, k tangentes en el origen si bien algunas de dichas tangentes pueden ser imaginarias.³​

Curvas paramétricas[editar]

Una curva parametrizada en R² se define como la imagen de una función g:R→R², g(t) = (g₁(t),g₂(t)). Los puntos singulares son aquellos puntos donde

${\displaystyle {dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.}$

Una cúspide.

Muchas curvas se pueden definir de las dos formas, pero ambas definiciones pueden no concordar. Por ejemplo la cúspide puede definirse como una curva algebraica, x³−y² = 0, o como una curva parametrizada, g(t) = (t²,t³). Ambos definiciones indican un punto singular en el origen. Sin embargo, un nodo tal como el de y²−x³−x² = 0 en el origen es una singularidad de la curva considerada como una curva algebraica, pero si la parametrizamos como g(t) = (t²−1,t(t²−1)), entonces g′(t) nunca se anula, y por lo tanto el nodo no es una singularidad de la curva parametrizada definida anteriormente.