GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Dos líneas geodésicas, en rojo, sobre una superficie curva, esas geodésicas coinciden con las trayectorias de dos partículas en el campo gravitatorio esférico de una masa central de acuerdo con la teoría general de la relatividad.

Triángulo geodésico sobre una esfera. La línea geodésica sería cualquiera de los arcos que forman los triángulos.

En geometría, la línea geodésica se define como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie. El plano osculador de la geodésica es perpendicular en cualquier punto al plano tangente a la superficie. Las geodésicas de una superficie son las líneas "más rectas" posibles (con menor curvatura) fijado un punto y una dirección dada sobre dicha superficie.

Más generalmente, se puede hablar de geodésicas en "espacios curvados" de dimensión superior llamados variedades riemannianas en donde, si el espacio contiene una métrica natural, entonces las geodésicas son (localmente) la distancia más corta entre dos puntos en el espacio. Un ejemplo físico, de variedad semiriemanniana es el que aparece en la teoría de la relatividad general las partículas materiales se mueven a lo largo de geodésicas temporales del espacio-tiempo curvo.

El término "geodésico" proviene de la palabra geodesia, la ciencia de medir el tamaño y forma del planeta Tierra; en el sentido original, fue la ruta más corta entre dos puntos sobre la superficie de la Tierra, específicamente, el segmento de un gran círculo.

Ecuación de las geodésicas[editar]

En una superficie curva o variedad riemanniana la longitud L_C a lo largo de una curva contenida en ella se evalúa gracias a las componentes g_ij del tensor métrico g del siguiente modo:

${\displaystyle L_{C}=\int _{C}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}x'_{i}(t)x'_{j}(t)}}\ dt}$

Donde x_i(t) es la expresión paramétrica de los puntos de la curva parametrizada mediante el parámetro t. Todas las líneas geodésicas son extremales de la integral anterior. Para encontrar la ecuación de las geodésicas, consideraremos que dichas geodésicas están parametrizadas mediante la longitud de arco s. En ese caso, usando los símbolos de Christoffel asociadas a la conexión sin torsión, la curva geodésica de mínima longitud que pasan por un punto x₀ y tiene el vector tangente v constante satisface la siguiente ecuación:

(1)${\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}+\sum _{\sigma ,\nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\cfrac {dx^{\sigma }}{ds}}{\cfrac {dx^{\nu }}{ds}}=0\\x(0)=x_{0}\quad {\cfrac {dx}{ds}}{\Big |}_{x_{0}}=\mathbf {v} \end{cases}}}$

Puede probarse que la ecuación anterior puede obtenerse también por métodos variacionales de mínima acción. De hecho las geodésicas son una solución particular de las Ecuaciones de Euler-Lagrange para un lagrangiano basado en la forma cuadrática asociada al tensor métrico que interviene en el cálculo de longitudes.

Ecuación en el caso general[editar]

Si consideramos una curva con parametrización totalmente general, mediante un parámetro t que no tenga por qué coincidir con el parámetro longitud de arco s, entonces la ecuación de la curva no cumplirá generalmente la ecuación (1). Sin embargo la curva recorrida seguirá siendo geodésica si y sólo si existe una función ${\displaystyle \phi (t)\;}$ y se cumple la siguiente ecuación:

(2)${\displaystyle {\frac {d^{2}{\tilde {x}}^{\mu }}{dt^{2}}}+\sum _{\sigma ,\nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\frac {d{\tilde {x}}^{\sigma }}{dt}}{\frac {d{\tilde {x}}^{\nu }}{dt}}=\left[{\frac {dx(\phi (t))}{ds}}{\frac {{\ddot {\phi }}(t)}{{\dot {\phi }}^{2}(t)}}\right]}$

Donde ${\displaystyle \phi (t)=s\;}$ es una función cuya derivada no se anula nunca que relaciona el parámetro t con el parámetro s cumpliéndose ${\displaystyle x(\phi (t)):={\tilde {x}}(t)}$.

Ejemplos[editar]

• En un espacio euclídeo dotado de la distancia euclídea usual, cualquier línea recta es una geodésica.
• En una esfera cualquier círculo máximo, obtenido como intersección de la superficie esférica con un plano que pase por su centro, es también una geodésica. En particular, el ecuador y los meridianos de una esfera son líneas geodésicas. Usando coordenadas ${\displaystyle \scriptstyle {(r,\theta ,\phi )}}$esféricas para una esfera de radio R, las ecuaciones de las geodésicas son simplemente:

(3)${\displaystyle {\ddot {\theta }}-\sin(\theta )\cos(\theta ){\dot {\phi }}^{2}=0,\qquad {\ddot {\phi }}+{\frac {2\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}=0}$

En particular un meridiano que atraviese los polos norte y sur, responde a las ecuaciones paramétricas:

(4)${\displaystyle \theta (s)={\frac {s}{R}},\qquad \phi (s)=\phi _{0}={\mbox{cte.}}}$

Que satisface las ecuaciones (3) trivialmente.

hipervolumen de n-dimensiones es una medida que generaliza el concepto de volumen a espacios de dimensión superior a tres. El hipervolumen se define a partir de la medición de distancias definidas por el tensor métrico o en su defecto por una función distancia adecuada.

En espacio euclídeo[editar]

Un espacio euclídeo al ser un espacio métrico admite una medida del volumen mediante suma de volúmenes de hiperesferas. Consideremos un conjunto acotado ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ del espacio euclídeo, y consideremos una colección numerable de bolas abiertas centradas que recubre completamente a ${\displaystyle X\,}$, es decir cuya unión contiene al conjunto ${\displaystyle X\,}$. Si ${\displaystyle d_{i}\,}$ son los diámetros de la colección de bolas numerable entonces el volumen del conjunto cumple:

(1)${\displaystyle {\mbox{vol}}(X)\leq \gamma (n)\sum _{i=1}^{\infty }d_{i}^{n}}$

Donde la función ${\displaystyle \gamma (n)\,}$ viene dado en términos de la función gamma:

(2)${\displaystyle \gamma (n)={\frac {[\Gamma ({\frac {1}{2}})]^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}={\frac {2}{n}}{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$

Considerando todos los posibles recubrimientos numerables y tomando el ínfimo respecto a ellos entonces se puede calcular el hipervolumen:

(3)${\displaystyle {\mbox{vol}}(X)=\inf \sum _{i=1}^{\infty }\gamma (n)d_{i}^{n}}$

Igualmente pueden considerarse colecciones numerables o finitas contenidas en el conjunto ${\displaystyle X\,}$ y tomar el supremo respecto a las colecciones de bolas contenidas en el conjunto.

En variedades de Riemann[editar]

Artículo principal: Variedad de Riemann

Para que en un espacio de n-dimensiones, no necesariamente euclideano, se pueda definir el concepto de hipervolumen deben darse ciertas condiciones. Para poder definir un cálculo de hipervolúmenes mediante el cálculo integral es necesario que en el espacio donde pretendemos medir volúmenes se haya definido un tensor métrico:

${\displaystyle g=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}\ dx^{i}\otimes dx^{j},\qquad \qquad [g_{ij}]={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}&...&g_{1n}\\g_{21}&g_{22}&...&g_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\g_{n1}&g_{n2}&...&g_{nn}\end{pmatrix}}}$

Eso permite hace que el espacio tenga estructura de variedad de Riemann y en él pueda definirse la llamada forma de volumen que es la n-forma siguiente:

${\displaystyle \eta _{V}={\frac {\sqrt {\det g}}{n!}}\ dx^{1}\land dx^{2}\land \dots \land dx^{n}}$

En esas condiciones el hipervolumen de una región Ω (con frontera suficientemente regular) viene definida por la integral:

${\displaystyle HV(\Omega )=\int _{\Omega }\eta _{V}:=\int _{\Omega }\left({\sqrt {\det g}}\right)\ dx^{1}dx^{2}\dots dx^{n}}$

En espacios métricos[editar]

En espacios métricos puede definirse una medida más que generaliza el volumen de un espacio tridimensional euclídeo conocido como n-contenido de Hausdorff-Besicovich. Este valor se obtiene como límite de una aproximación mediante n-esferas de dicho espacio.

isomorfismo musical es un isomorfismo entre el fibrado tangente ${\displaystyle TM}$ y el fibrado cotangente ${\displaystyle T^{*}M}$ de una variedad riemanniana, que viene inducido por su métrica.

Introducción[editar]

Una métrica g en una variedad Riemanniana M es un campo tensorial ${\displaystyle g\in {\mathcal {T}}_{2}(M)}$ que es simétrico, no degenerado y definido positivo. Al fijar uno de los dos parámetros como un vector ${\displaystyle v_{p}\in T_{p}M}$, se obtiene un isomorfismo de espacios vectoriales:

${\displaystyle {\hat {g}}_{p}:T_{p}M\longrightarrow T_{p}^{*}M}$

definido por:

${\displaystyle {\hat {g}}_{p}(v_{p})=g(v_{p},-)}$

es decir,

${\displaystyle \langle {\hat {g}}_{p}(v_{p}),\omega _{p}\rangle =g_{p}(v_{p},\omega _{p})}$

Globalmente,

${\displaystyle {\hat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M}$

es un difeomorfismo.

Motivación para el nombre[editar]

El isomorfismo ${\displaystyle {\hat {g}}}$ y su inversa ${\displaystyle {\hat {g}}^{-1}}$ se denominan isomorfismos musicales porque suben y bajan los índices de los vectores. Por ejemplo, un vector de TM se escribe como ${\displaystyle \alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ y un covector como ${\displaystyle \alpha _{i}dx^{i}}$, así que el índice i sube y baja en ${\displaystyle \alpha }$ del mismo modo que los símbolos sostenido (${\displaystyle \sharp }$) y bemol (${\displaystyle \flat }$) suben y bajan un semitono.

Gradiente[editar]

Los isomorfismos musicales se pueden usar para definir el gradiente de una función diferenciable sobre una variedad riemanniana M como:

${\displaystyle \nabla f=\mathrm {grad} \;f={\hat {g}}^{-1}\circ df=(df)^{\sharp }}$