GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Carta se incluye en terminología matemática en el sentido cartográfico, el objetivo es el de unir una serie de cartaso “mapas” para que nos permitan definir completamente una atlas o “colección de mapas” de la totalidad de un espacio topológico al que queremos estudiar.

Para una ampliación contextual de la definición vea variedades diferenciables.

Definición de cartas[editar]

Dado ${\displaystyle M_{}^{}}$ un espacio topológico, llamaremos carta de dimensión ${\displaystyle m_{}^{}}$ en ${\displaystyle M_{}^{}}$ a un par ${\displaystyle (U,\Phi _{}^{})}$ tal que la aplicación ${\displaystyle \Phi :U={\stackrel {\circ }{U}}\subset M\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ cumpla que ${\displaystyle \Phi _{}^{}(U)}$ sea un abierto y ${\displaystyle \Phi _{}^{}}$ sea un homeomorfismo(biyectiva, continua e inversa continua).

Notas

• Diremos que ${\displaystyle U_{}^{}}$ es un abierto coordenado.
• Si ${\displaystyle p\in U}$, diremos que ${\displaystyle U_{}^{}}$ es un entorno coordenado de ${\displaystyle p_{}^{}}$.

• Si ${\displaystyle \Phi (p)=0_{}^{}}$, diremos que la carta está centrada en ${\displaystyle p_{}^{}}$.

Ejemplos triviales[editar]

1) Si ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ podemos ver que ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\;id:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n})}$ es carta ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :n>0}$.

2) Si ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ pordemos ver que ${\displaystyle ((a,b),\;i:(a,b)\hookrightarrow \mathbb {R} )}$ es carta ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} :a$.

3) Si ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ podemos ver que ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\;x\mapsto x^{3})}$ es carta, también lo es ${\displaystyle x^{2n+1}\forall n>1}$.

Demostración:

${\displaystyle \mathbb {R} }$ es espacio topológico, ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\;\exists !x^{3},\exists !{\sqrt[{3}]{x}}}$, luego es biyectiva y como es continua tenemos un homeomorfismo.

4) Si ${\displaystyle M=S^{1}\subset \mathbb {R^{2}} \cong \mathbb {C} }$ podemos ver que ${\displaystyle (S^{1}\ \{i\},\;\phi )}$ es carta para:

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}\\&z&\longmapsto &{\theta :=\det -\arg _{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}(z)}\end{matrix}}}$.

5) Si ${\displaystyle M=S^{1}\subset \mathbb {R^{2}} \cong \mathbb {C} }$ podemos ver que ${\displaystyle (S^{1}\ \{i\},\;\psi )}$ es carta para:

la proyección estereográfica ${\displaystyle {\begin{matrix}\psi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&z&\longmapsto &{x:={\frac {cos(arg(z))}{1-sen(arg(z))}}}\end{matrix}}}$.

Caso particular en el que n=2

6) Si ${\displaystyle M=S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ podemos ver que ${\displaystyle (S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\},\;\phi )}$ es carta para:

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi :&{S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} ^{n}\\&(x_{1},\;\dots ,\;x_{n+1})&\longmapsto &{\frac {(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})}{1-x_{n+1}}}\end{matrix}}}$.

Circunferencia osculatriz.

En geometría diferencial de curvas, la círcunferencia osculatriz(del latín osculari 'besar') o círculo osculador a una curva en un punto dado es una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta normal a la curva y tiene la misma curvatura que la curva dada en ese punto. El centro y el radio de la circunferencia osculatriz en un punto de la curva son llamados centro de curvatura y radio de curvatura de la curva en ese punto. El plano en el que está contenida la circunferecia osculatriz se denomina plano osculador.

La circunferencia osculatriz tiene con la otra curva un contacto de segundo orden en el punto considerado, o sea, las primeras y las segundas derivadas de ambas curvas son iguales.

Esta circunferencia, que es tangente en el punto dado a la curva fue llamado "circulum osculans" ("círculo que besa") por Leibniz.

Obtención[editar]

Una construcción geométrica de la circunferencia osculatriz fue descrita por Isaac Newton en su Principia:

There being given, in any places, the velocity with which a body describes a given figure, by means of forces directed to some common centre: to find that centre.

Isaac Newton, Principia; Proposition V. Problem I.

Dados tres puntos de una curva (no necesariamente plana), existe un único plano y una circunferencia contenida en este plano que contiene a los tres puntos. Si los puntos se toman suficientemente próximos entre sí, la circunferencia definida por la construcción anterior constituye una aproximación a la circunferencia osculatriz en el punto intermedio de los tres dados. Si se imagina un proceso de paso límite de tal manera que los tres puntos acaben coincidiendo, la circunferencia límite obtenida es precisamente la circunferencia osculatriz. Este proceso de límite es análogo al seguido para obtener la recta tangente a una curva haciendo coincidir dos puntos arbitrariamente cercanos.

Descripción matemática[editar]

Si tenemos γ(s) siendo una curva parámetrica regular, donde s es la Longitud de arco, o un parámetro natural. Este determina el vector unitario T, el vector unitario normal N y la curvatura k(s) y el radio de curvatura para cada punto:

${\displaystyle T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.}$

Suponemos que P es un punto en C donde k ≠ 0, o lo que es lo mismo donde halla cierta curvatura. Se demuestra que el centro de curvatura correspondiente es el punto Q a una distancia R sobre el vector normal N, en la misma dirección si k es positiva y en la dirección contraria si k es negativa. El círculo con centro en Q y con radio R es llamado el círculo osculatriz o circunferencia osculatriz de la curva C en el punto P.

Si C es una curva espacial regular entonces la circunferencia osculatriz es definida de una forma similar, usando el principio del vector normal N. Este círculo descansaría sobre el plano osculador, el plano que generan los vectores T y N en el punto P. Aunque en las 3 dimensiones es más común hablar de la esfera osculatriz.

La curva plana puede ser dada por la siguiente parametrización regular: ${\displaystyle \gamma (t)\,=\,{\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}\,}$ donde regular significa que ${\displaystyle \gamma '(t)\neq 0}$ para todo ${\displaystyle t}$. Entonces las fórmulas para la curva descrita tendría una curvatura k(t), un vector normal unitario N(t), radio de curvatura R(t), y centro de la circunferencia osculatriz Q(t) de la forma

${\displaystyle k(t)={\frac {x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t)}{{\Big (}x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}{\Big )}^{\frac {3}{2}}}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad N(t)\,=\,{\frac {1}{||\gamma '(t)||}}\cdot {\begin{pmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {{\Big (}x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}{\Big )}^{\frac {3}{2}}}{x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t)}}\right|\qquad \qquad \mathrm {,} \qquad \qquad Q(t)\,=\,\gamma (t)\,+\,{\frac {1}{k(t)\cdot ||\gamma '(t)||}}\cdot {\begin{pmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{pmatrix}}\,.}$

clase característica es un elemento del módulo de cohomología de un espacio topológicoy que satisfacen ciertos axiomas considerando varias de ellas. Son un concepto unificador entre la topología algebraica, geometría diferencial y geometría algebraica. La teoría explica, en términos muy generales, por qué los fibrados no siempre pueden tener secciones. Es decir las clases características son invariantes globales que miden la desviación de una estructura de producto local de una estructura de producto global.

Definición[editar]

Sea G un grupo, y para un espacio topológico X, escríbase b_G(x) para el conjunto de las clases de isomorfismode G-fibrados principales. Esto es un funtor de Top a Set, enviando una función f a la operación f^* del pullback. Una clase característica c de G-fibrados principales es entonces una transformación natural de b_G a un funtorH^* de cohomología, visto también como funtor a Set.

Es decir deseamos asociar a cualquier G-fibrado principal P → X un elemento c(P) en H ^*(X) tal que, si f: Y → Xes una función continua, entonces c(f^* P) = f^* c(P). A la izquierda está la clase del pullback de P a Y; a la derecha está la imagen de la clase de P bajo la función inducida en cohomología.

Motivación[editar]

Las clases características son un medio para medir hasta que punto un fibrado discrepa del trivial. También son fenómenos de la teoría cohomológica de modo en que para una sección (matemática) y para decidir su existencia, necesitamos esa variancia.

Las clases características desde su infancia en los años 30 (como parte de teoría de la obstrucción) era una razón importante por la que una teoría 'dual' a la homología fue buscada: La cohomología. El enfoque de clases características a los invariantes de la curvatura era una razón particular para hacer una teoría, también probar un teorema de Gauss-Bonnet generalizado.

Cuando la teoría fue puesta en una base organizada alrededor de 1950 (con las definiciones reducidas a la teoría homotópica) llegó a estar claro que las clases características más fundamentales conocidas en aquella época (la clase de Stiefel-Whitney, la clase de Chern, y las clases de Pontryagin) eran reflejos de los grupos lineales clásicos y la estructura de su toro maximal. Lo que es más, la clase de Chern misma no era tan nueva, siendo reflejada en el cálculo de Schubert en Grassmannianas, y en el trabajo de la escuela italiana de geometría algebraica. Por otra parte ahora había un marco que producía familias de clases, siempre que hubiera un fibrado vectorial implicado.

El mecanismo primordial entonces parecía ser éste: dado un espacio X que llevaba un fibrado vectorial, ello implicaba en la categoría homotópica una función de X a un espacio clasificante BG, para el grupo lineal relevante G, Para la teoría de homotopía la información relevante está en subgrupos compactos tales como los grupos ortogonales y grupos unitarios como G. Ésta sigue siendo la explicación clásica, aunque en una teoría geométrica dada es provechoso tomar la estructura adicional en cuenta. Cuando la cohomología llegó a ser 'extraordinaria' con la llegada de la K-teoría y de la teoría del cobordismo de 1955 en adelante, solamente era necesario cambiar la letra H por todas partes para determinar las clases características.

Las clases características se determinaron más adelante para las foliaciones de variedades; tienen (en un sentido modificado, para las foliaciones con algunas singularidades permitidas) una teoría del espacio clasificante en la teoría de homotopía.

En un trabajo posterior al rapprochement de las matemáticas y la física, nuevas clases características fueron encontradas por Simon Donaldson y Dieter Kotschick en la teoría del instantón. El trabajo y el punto de vista de Chern también se han mostrado importantes: véase las Formas de Chern-Simons.