GEOMETRÍA

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

En matemáticas, una bitangente a una curva C es una línea L que toca a C en dos puntos distintos P y Q; y que tiene la misma dirección que Cen estos puntos. Es decir, L es tangente en P y en Q. Por extensión, también se designa bitangente a una línea (generalmente recta o circunferencia) que es tangente a dos curvas distintas (de cualquier tipo, por lo general cerradas y convexas, incluyendo círculos o polígonos).

Bitangentes de las curvas algebraicas[editar]

En general, una curva algebraica tendrá infinitas líneas secantes, pero solo un número finito de bitangentes.

El teorema de Bézout implica que una curva plana con una bitangente debe tener un grado de al menos 4. El caso de las 28 bitangentes de una cuártica fue una pieza célebre de la geometría del siglo XIX, relacionado con las 27 líneas de una superficie cúbica.

Bitangentes de polígonos[editar]

Las cuatro bitangentes de dos polígonos convexos disjuntos pueden ser determinadas eficientemente mediante un algoritmo basado en búsqueda binaria en el que se mantiene un puntero de búsqueda binario en las listas de bordes de cada polígono y se mueve uno de los punteros a la izquierda o a la derecha en cada escalón de cálculo, dependiendo de donde las líneas tangentes a los bordes desde las posiciones de los dos punteros se cruzan entre sí. Este cálculo de bitangentes es una subrutina clave en estructuras de datos para mantener envolventes convexas dinámicamente (Overmars y van Leeuwen, 1981). (txt,) describen un algoritmo para enumerar eficientemente todos los segmentos de línea bitangentes que no cruzan ninguna de las otras curvas en un sistema de múltiples curvas convexas disjuntas, usando una técnica basada en pseudotriangulación.

Las bitangentes se pueden utilizar para acelerar el enfoque de grafos de visibilidad en la resolución del problema del camino mínimo Euclídeo: el recorrido más corto entre una colección de obstáculos poligonales puede entrar o salir del límite de un obstáculo por una de sus bitangentes, por lo que el camino más corto puede encontrarse aplicando el Algoritmo de Dijkstra a un subgrafo del gráfico de visibilidad formado por los bordes de visibilidad que se encuentran en las líneas bitangentes (Rohnert, 1986).

Conceptos relacionados[editar]

Una bitangente difiere de un recta secante en que una línea secante puede cruzar la curva en los dos puntos por donde la atraviesa. También se pueden considerar bitangentes que no son líneas rectas; por ejemplo, el conjunto simétrico de una curva es el lugar de los centros de los círculos que son tangentes a la curva en dos puntos.

Las bitangentes a un par de círculos figuran de manera destacada en la construcción ideada por Jakob Steineren 1826 de los círculos de Malfatti; en el problema de la correa consistente en calcular la longitud de una correa de conexión entre dos poleas; y en el teorema de Casey sobre la caracterización de conjuntos de cuatro círculos con un círculo tangente común.

cálculo vectorial, análisis vectorial o cálculo multivariable es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

• Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.
• Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.
• Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.
• Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

Historia[editar]

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial.

Este trabajo se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) y al físico matemático ingles Oliver Heaviside ¹​(1850-1925).

Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales[editar]

Funciones de Rⁿ en R^m. Campos escalares y vectoriales[editar]

Formularemos las definiciones para campos vectoriales. También serán válidas para campos escalares. Sea

${\displaystyle \mathbf {f} :V\longrightarrow W}$

un campo vectorial que hace corresponder a todo punto P definido biunívocamente por su vector posición un vector ${\displaystyle \mathbf {f} {\big (}\mathbf {OP} {\big )}}$ donde el punto O es nuestro origen de coordenadas.

${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n},W\subseteq \mathbb {R} ^{m},}$ con ${\displaystyle n>1}$ y ${\displaystyle m\geqslant 1}$. Cuando ${\displaystyle m=1}$ tenemos un campo escalar. Para ${\displaystyle m>1}$tenemos un campo vectorial. Utilizaremos la norma euclídea para hallar la magnitud de los vectores.

Límites y continuidad[editar]

Sean ${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{m}.}$ Escribimos:

${\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} }$,

o bien,

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\rightarrow \mathbf {b} }$ cuando ${\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }$

para expresar lo siguiente:

${\displaystyle \lim _{{\big \|}\mathbf {x-a} {\big \|}\to 0}{\big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\big \|}=0}$

donde ${\displaystyle {\big \|}\mathbf {x} {\big \|}}$ es la norma euclídea de ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Expresándolo en función de las componentes de ${\displaystyle \mathbf {x} ={\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )},\mathbf {a} ={\big (}a_{1},\ldots ,a_{n}{\big )},}$

${\displaystyle \lim _{{\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )}\to {\big (}a_{1},\ldots ,a_{n}{\big )}}\mathbf {f} {\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )}=\mathbf {b} }$

o, de forma equivalente,

${\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} }$

Decimos que una función ${\displaystyle \mathbf {f} }$ es continua en ${\displaystyle \mathbf {a} \Leftrightarrow \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\big (}\mathbf {a} {\big )}}$

${\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {c} \Rightarrow }$ a) ${\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big [}\mathbf {f} +\mathbf {g} {\big ]}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} +\mathbf {c} }$ b) ${\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda \mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\lambda \mathbf {b} \quad \forall \lambda \in \mathbb {R} }$ c) ${\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} }$ (producto escalar de ${\displaystyle \mathbf {b} }$ con ${\displaystyle \mathbf {c} }$). d) ${\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big \|}={\big \|}\mathbf {b} {\big \|}}$

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Sean ${\displaystyle \mathbf {f} }$ y ${\displaystyle \mathbf {g} }$ dos funciones tales que la función compuesta ${\displaystyle \mathbf {f} \circ \mathbf {g} }$está definida en ${\displaystyle \mathbf {a} }$, siendo ${\displaystyle {\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ es continua en ${\displaystyle \mathbf {a} }$ y ${\displaystyle \mathbf {f} }$ es continua en ${\displaystyle \mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}\Rightarrow {\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}}$ es continua en ${\displaystyle \mathbf {a} }$.

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Derivadas direccionales[editar]

Derivada de un campo escalar respecto a un vector[editar]

Sea ${\displaystyle f:S\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$. Sea ${\displaystyle \mathbf {x} }$ un vector cuyo origen es el origen de coordenadas y cuyo extremo ${\displaystyle \in S,}$ e ${\displaystyle \mathbf {y} }$ un vector arbitrario de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Definimos la derivada de f en ${\displaystyle \mathbf {x} }$ respecto a ${\displaystyle \mathbf {y} }$ como ${\displaystyle f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-f{\big (}\mathbf {x} {\big )}}{h}}}$

Derivadas parciales[editar]

${\displaystyle {\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}x_{1},\ldots ,x_{k}+h,\ldots ,x_{n}{\big )}-f{\big (}x_{1},\ldots ,x_{k},\ldots ,x_{n}{\big )}}{h}}}$

Si derivamos la expresión anterior respecto a una segunda variable, ${\displaystyle x_{j}}$, tendremos ${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}}$. En la práctica, calcularemos ${\displaystyle {\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}}$ derivando respecto a ${\displaystyle x_{k}}$ y suponiendo ${\displaystyle x_{j},\quad \forall j\neq k}$ constante.

La diferencial[editar]

Definición de campo escalar diferenciable[editar]

Decimos que f es diferenciable en ${\displaystyle \mathbf {a} \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \exists f_{L}:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} {\Big |}\lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to \mathbf {0} }f{\big (}\mathbf {a} +\mathbf {v} {\big )}=f{\big (}\mathbf {a} {\big )}+f_{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}}$. ${\displaystyle f_{L}}$ ha de ser una aplicación lineal, que definimos como la diferencial de f en a.

La anterior ecuación es la fórmula de Taylor de primer orden para ${\displaystyle f{\big (}\mathbf {a} +\mathbf {v} {\big )}}$.

Teorema de unicidad de la diferencial[editar]

${\displaystyle f}$ es diferenciable en ${\displaystyle \mathbf {x} }$ con diferencial ${\displaystyle f_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}\Rightarrow }$ a) ${\displaystyle \exists f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}\quad \forall \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$ b) ${\displaystyle f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\sum _{k=1}^{n}y_{k}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}}$

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Regla de la cadena[editar]

Sea ${\displaystyle f:S\subset \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$ un campo escalar y ${\displaystyle \mathbf {x} :J\in \mathbb {R} \longrightarrow S}$. Definimos la función compuesta ${\displaystyle g=f\circ \mathbf {x} }$ como ${\displaystyle g(t)=f{\Big [}\mathbf {x} {\big (}t{\big )}{\Big ]}}$, entonces ${\displaystyle \quad g'{\big (}t{\big )}=\sum _{k=1}^{n}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}\cdot {\cfrac {dx_{k}}{dt}}}$

Diferencial de un campo vectorial[editar]

Sea ${\displaystyle \mathbf {f} :S\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ un campo vectorial. Sea ${\displaystyle \mathbf {x} \in S}$ e ${\displaystyle \mathbf {y} }$ un vector cualquiera. Definimos la derivada ${\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\lim _{h\to 0}{\cfrac {\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}{h}}}$

Expresando ${\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}}$ en función de sus componentes, tenemos ${\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}={\Big [}f'_{1}{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )},\ldots ,f'_{m}{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}{\Big ]}}$

Decimos que ${\displaystyle \mathbf {f} }$ es diferenciable ${\displaystyle \Leftrightarrow \exists \mathbf {f} _{L}:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}$, aplicación lineal que verifica: ${\displaystyle \lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to 0}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} +\mathbf {v} {\big )}=\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}+\mathbf {f} _{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}}$.

Esta es la fórmula de Taylor de primer orden para ${\displaystyle \mathbf {f} .\quad \mathbf {f} _{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}=\mathbf {f} '{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {v} {\big )}}$.

La matriz de ${\displaystyle \mathbf {f} '}$ es su matriz jacobiana.

Diferenciabilidad implica continuidad[editar]

Si un campo vectorial ${\displaystyle \mathbf {f} }$ es diferenciable en ${\displaystyle \mathbf {x} \Rightarrow }$ es continuo en ${\displaystyle \mathbf {x} }$.

Se deduce fácilmente de la fórmula de Taylor de primer orden ya vista.

Regla de la cadena para diferenciales de campos vectoriales[editar]

Sea ${\displaystyle \mathbf {h} {\big (}\mathbf {x} {\big )}={\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}}$ un campo vectorial definido y diferenciable en ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Su diferencial ${\displaystyle \mathbf {h} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}}$ resulta ser ${\displaystyle \mathbf {h} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} '{\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}\circ \mathbf {g} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}}$

Condición suficiente para la igualdad de las derivadas parciales mixtas[editar]

${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}\quad \forall i\neq j\Leftrightarrow }$ ambas derivadas parciales existen y son continuas en ${\displaystyle \mathbf {x} }$.

Aplicaciones del cálculo diferencial[editar]

Cálculo de máximos, mínimos y puntos de ensilladura para campos escalares[editar]

Un campo escalar tiene un máximo en ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} \Leftrightarrow }$ existe una n-bola ${\displaystyle B{\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}}$

Un campo escalar tiene un mínimo en ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} \Leftrightarrow }$ existe una n-bola ${\displaystyle B{\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}}$

Un campo escalar tiene un punto de ensilladura ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}\land \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}}$.

Función con un punto de ensilladura

Para saber si es uno de los casos anteriores:

1. Obtenemos ${\displaystyle \mathbf {x} {\Big |}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}=0\qquad \forall k{\Big |}1\leqslant k\leqslant n}$
2. Obtenemos la matriz hessiana de f. Sea esta ${\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}$.
   1. ${\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}$ es definida positiva ${\displaystyle \Rightarrow f}$ tiene un mínimo local(mínimo relativo) en ${\displaystyle \mathbf {x} }$.
   2. ${\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}$ es definida negativa ${\displaystyle \Rightarrow f}$ tiene un máximo local(máximo relativo) en ${\displaystyle \mathbf {x} }$.
   3. ${\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}$ es indefinida ${\displaystyle \Rightarrow f}$ tiene un punto de ensilladura en ${\displaystyle \mathbf {x} }$.

En lo anteriormente expuesto, hemos supuesto que ${\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$ es continua ${\displaystyle \forall i,j{\big |}1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant n}$