GEOMETRÍA

FIGURAS GEOMÉTRICAS - CURVAS

cuerda¹​ (o subtensa de una curva) es un segmento con sus extremos sobre dicha curva. La recta que contiene a una cuerda se denomina secantea la curva.

Entre las propiedades de las cuerdas de un círculo se encuentran las siguientes:

1. Las cuerdas son equidistantes del centro si y solo si sus longitudes son iguales.
2. La mediatriz de una cuerda pasa por el centro.
3. Si las extensiones lineales (líneas secantes) de las cuerdas AB y CD se intersecan en un punto P, entonces sus longitudes satisfacen AP·PB = CP·PD, (ver potencia de un punto).
4. La cuerda de mayor longitud posible para un determinado círculo es cualquiera de sus diámetros.

La superficie limitada por un arco y la cuerda que la subtiende se llama segmento circular. El área que corta una cuerda circular es denominada un segmento circular.

Cuerdas en trigonometría[editar]

Las cuerdas fueron usadas extensivamente en el desarrollo inicial de la trigonometría. La primera tabla trigonométrica conocida, compilada por Hiparco de Nicea, tabulaba el valor de la función cuerda por cada 7,5 grados.

La función cuerda es definida geométricamente como en la imagen. La cuerda de un ángulo es la longitud dimensional de una cuerda entre dos puntos en una unidad circular separada por un ángulo. Al tomar uno de los puntos como cero, puede fácilmente ser relacionada con la moderna función trigonométrica seno:

${\displaystyle {\mbox{crd}}\ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}=2\sin {\frac {\theta }{2}}.}$

El último paso utiliza la fórmula de medio ángulo. Gran parte de la trigonometría moderna se basa en la función seno, mientras que la trigonometría antigua fue construida sobre la base de la función cuerda. Hiparco habría escrito una obra en doce volúmenes sobre las cuerdas. La función cuerda satisface muchas identidades análogas a aquellas modernas bien conocidas:

Nombre	Basada en seno	Basada en cuerda
Pitagórica	${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$	${\displaystyle {\mbox{crd}}^{2}\theta +{\mbox{crd}}^{2}(180^{\circ }-\theta )=4}$
Medio ángulo	${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos ^{2}\theta }{2}}}}$	${\displaystyle {\mbox{crd}}\ {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {2-{\mbox{crd}}(180^{\circ }-\theta )}}}$

La identidad de medio ángulo agiliza enormemente la creación de tablas de cuerdas. Las tablas de cuerdas antiguas solían utilizar un gran valor para el radio del círculo, con lo que era una simple cuestión de escalar para determinar la cuerda necesaria para cualquier círculo. Según G. J. Toomer, Hiparco usó un círculo de radio 3438' (=3438/60=57.3). Este valor es extremadamente cercano al ${\displaystyle 180/\pi }$ (=57.29577951...). Una ventaja de esta elección de radio era que permitía aproximar de forma muy precisa la cuerda de un ángulo pequeño. En términos modernos, permitía una aproximación lineal simple:

${\displaystyle {\frac {3438}{60}}{\mbox{crd}}\ \theta =2{\frac {3438}{60}}\sin {\frac {\theta }{2}}\approx 2{\frac {3438}{60}}{\frac {\pi }{180}}{\frac {\theta }{2}}=\left({\frac {3438}{60}}{\frac {\pi }{180}}\right)\theta \approx \theta .}$

Cálculo de cuerdas de círculos[editar]

Cuando se desconoce la longitud de una cuerda de círculo es posible calcularla basándose en otros datos, la siguiente tabla reúne las fórmulas²​ adecuadas para lograrlo:

Datos iniciales	Radio ( r )	Diámetro ( Ø )
Sagita (flecha) ( s )	${\displaystyle c=2{\sqrt {s(2r-s)}}}$	${\displaystyle c=2{\sqrt {s(\phi -s)}}}$
Apotema ( a )	${\displaystyle c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {\phi ^{2}-4a^{2}}}}$
Ángulo ( θ )	${\displaystyle c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$	${\displaystyle c=\phi \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$

Donde los símbolos representan respectivamente, c la longitud de la cuerda (a calcular), s la sagita, a el apotema, r el radio, Ø el diámetro y θ el ángulo que abarca el arco circular correspondiente a la cuerda en cuestión.

La sagita —también conocida como flecha— es la altura máxima del arco circular, se mide desde el punto medio de la cuerda hasta el cenit o cima del arco circular, tiene dirección radial (perpendicular a la cuerda), su longitud es → s = r - a.

Cuerda de una circunferencia

La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

El diámetro es la cuerda de longitud máxima.

Cuerda de una esfera

Una cuerda de una esfera es un segmento que une dos puntos de la superficie de esfera.

Ejercicios

Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.

En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

https://www.ditutor.com/geometria/cuerda.html

Curva cruciforme con parámetros (b,a) con valores (1,1) en rojo; (2,2) en verde; (3,3) en azul.

La curva cruciforme es una curva plana cuártica definida por el ecuación

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}$

donde a y b son dos parámetros que determinan la forma de la curva.

La curva cruciforme está relacionada por una transformación cuadrática estándar, x ↦; 1/x, y ↦; 1/y con la elipse a²x² + b²y² = 1, y por eso es una curva algebraica plana racional del género cero. La curva cruciforme tiene tres puntos dobles en el plano proyectivo real, en x=0 y y=0, x=0 y z=0, y y=0 y z=0.

Como que la curva es racional, puede ser parametrizada por funciones racionales. Por ejemplo, si a=1 y b=2, entonces

${\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}}$

parametriza los puntos en la curva fuera de los casos excepcionales donde el denominador es cero.

curva cruciforme curva del cuarto orden definida a partir de la elipse. La curva cruciforme es, de hecho, el lugar de los puntos de intersección de las líneas paralelas a los ejes de la elipse conducidos por los puntos de intersección de los ejes con una línea variable tangente a la propia elipse. La curva cruciforme es una de las → curvas de Lamé; para una elipse en la posición canónica de la ecuación ( x / a ) 2 + ( y / b ) 2 = 1, tiene la ecuación x 2y 2 = b 2x 2+ a 2y 2 y presenta tres biflecnodes, uno en el origen y dos en los puntos impropios de los ejes coordinados.