ÓPTICA

FOTOMETRÍA

 luminancia se define como la densidad angular, rectangular y superficial de flujo luminoso que incide, atraviesa o emerge de una superficie siguiendo una dirección determinada. Alternativamente, también se puede definir como la densidad superficial de intensidad luminosa en una dirección dada.

La definición anterior se formaliza con la expresión siguiente:

${\displaystyle L_{V}={\frac {d^{2}F}{dSd\Omega \cos \theta }}}$

donde:

• L_V es la luminancia, medida en Nits o candelas por metro cuadrado (cd/m²).
• F es el flujo luminoso, en lúmenes (lm).
• dS es el elemento de superficie considerado, en metros cuadrados (m²).
• dΩ es el elemento de ángulo sólido, en estereorradianes (sr).
• θ es el ángulo entre la normal de la superficie y la dirección considerada.

La luminancia se puede definir a partir de la magnitud radiométrica de la radiancia sin más que ponderar cada longitud de onda por la curva de sensibilidad del ojo. Así, si L_V es la luminancia, L_λ representa la radiancia espectral y V(λ) simboliza la curva de sensibilidad del ojo, entonces:

${\displaystyle L_{V}=K\int _{visible}^{\ }L(\lambda )V(\lambda )\,d\lambda }$

Se puede considerar que el equivalente psicológico de la luminancia es el brillo o la brillantez.¹​ Por ejemplo, considerando el caso de la emisión o reflexión de luz por parte de superficies planas y difusas, la luminancia indicaría la cantidad de flujo luminoso que el ojo percibiría para un punto de vista particular. En este caso, el ángulo sólido que interesa es el subtendido por la pupila del ojo.

Unidades de fotometría del Sistema Internacional

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Magnitud	Símbolo	Unidad	Abrev.	Notas
Energía lumínica	Qv	lumen segundo	lm·s	A veces se usa la denominación talbot, ajena al Sistema Internacional.
Flujo luminoso	F	lumen (= cd·sr)	lm	Medida de la potencia luminosa percibida.
Intensidad luminosa	Iv	candela (= lm/sr)	cd	Es una medida de la intensidad luminosa.
Luminancia	Lv	candela por metro cuadrado	cd/m2	A veces se usa la denominación nit, ajena al Sistema Internacional.
Iluminancia	Ev	lux (= lm/m2)	lx	Usado para medir la incidencia de la luz sobre una superficie.
Emitancia luminosa	Mv	lux (= lm/m2)	lx	Usado para medir la luz emitida por una superficie.
Exposición luminosa	Hv	lux segundo	lx·s	Iluminancia integrada en el tiempo.
Eficacia luminosa	η	lumen por vatio	lm/W	Razón entre flujo luminoso y flujo radiante.

La cianita tiene un lustre perloso y vítreo.

El lustre o brillo es una propiedad física que describe la manera en que la luzinteractúa con la superficie de una roca, cristal, mineral o tejido y se refleja en ella.¹​ Aunque los minerales con verdadero «lustre adamantino» no son frecuentes, dos ejemplos son la cerusita y el circonio.¹​ Depende de varios factores, como son:

• Índice de refracción del mineral.
• Perfección en el pulido de las caras del cristal.
• Absorción que el mineral tiene de cada color.

La palabra lustre proviene del latín lux, y significa brillo o brillantez.

Se debe tener en cuenta que existen tres tipos de lustre o brillo:

• Brillo metálico, producido por sustancias opacas.
• Brillo no metálico, producido por sustancias transparentes. Dentro de éste existen varios tipos de lustre, que de mayor a menor índice de refracción son:

• Adamantino: como el del diamante —de ahí su nombre—, referido al más intenso.²​
• Resinoso: como el del azufre, es un brillo intenso y de color amarillento.
• Vítreo: como el del cuarzo, es el más común en los minerales.³​
• Graso: como el de las superficies de rotura del cuarzo.
• Nacarado: como el de la mica, algo iridiscente.
• Sedoso: como el del yeso, típico de los minerales de hábito fibroso.
• Húmedo: como el de la fluorita, que refleja muy poco la luz.
• Córneo: como la calcedonia, que casi no brilla.
• Terroso: como la bauxita, el que presentan los minerales que no reflejan la luz.

• Brillo submetálico, el de sustancias opacas cuando son gruesas pero que cuando se exfolian en láminas finas son transparentes.

Términos descriptivos usados en gemas incluyen vítreo como el vidrio; resinoso, como el ámbar; ceroso, como el jade; grasoso, como la esteatita; anacarado o perloso y sedoso.

El término también se utiliza para describir otros elementos con un brillo particular (por ejemplo, textiles como la seda y el raso, o metales).

momento angular de espín de la luz —referido a veces como SAM, acrónimo del inglés Spin angular momentum— es una de las componentes del momento angular de la luz. Se asocia con la polarización circular o elíptica de un rayo de luz.

Introducción[editar]

Polarización circular levógira — |L› — y dextrógira — |R› —, y su momento angular asociado.

Una onda electromagnética, como lo es la luz, posee una polarización circular cuando los campos eléctrico y magnético rotan en torno al eje de propagación de la onda. La polarización circular puede ser levógira, si el campo gira en el sentido contrario de las agujas del reloj, o dextrógira, si gira en el sentido de las agujas del reloj.

Cuando un haz de luz está polarizado de forma circular, cada uno de sus fotonestrasporta un momento angular de rotación —que aquí lo denominamos espín— de ${\displaystyle \pm \hbar }$, donde ${\displaystyle \hbar }$ es la constante reducida de Planck y el signo ${\displaystyle \pm }$ es positivo para las polarizaciones levógiras y negativo para las dextrógiras —es la convención más usada en la óptica—. Este momento angular de espín de la luz está orientado en la misma dirección que el eje de propagación. En la figura se puede apreciar como se componen los campos eléctrico y magnético, y muestra la dirección de propagación con una flecha verde.

Las expresiones matemáticas adjuntas en la figura determinan las tres componentes del campo eléctrico de una onda electromagnética polarizada de forma circular y que se propaga en la dirección de ${\displaystyle z}$, en notación compleja.

Descripción matemática[editar]

Si se atiende a la expresión general del momento angular de espín, aplicando una aproximación paraxial:¹​

${\displaystyle \mathbf {S} =\epsilon _{0}\int \left(\mathbf {E} \times \mathbf {A} \right)d^{3}\mathbf {r} ,}$

donde ${\displaystyle \mathbf {E} }$ y ${\displaystyle \mathbf {A} }$ son el campo eléctrico y el potencial vectorial electromagnético respectivamente, y ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ es la permitividad del vacío. Esta expresión se obtiene aplicando a la expresión del momento angular total de un campo electromagnético el teorema de Noether.

En el caso de una onda monocromática, la expresión queda reducida a:²​

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\epsilon _{0}}{2i\omega }}\int \left(\mathbf {E} ^{\ast }\times \mathbf {E} \right)d^{3}\mathbf {r} .}$

De forma particular, esta expresión demuestra que el momento angular de espín de la luz es no nulo cuando la polarización de la luz es elíptica o circular, y nula si la polarización es lineal. En la mecánica cuántica del campo electromagnético, el momento angular de espín de la luz es un cuanto observable que responde al operador:

${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{\mathbf {k} }\hbar \mathbf {u} _{\mathbf {k} }\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,R}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,R}\right),}$

donde ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {k} }}$ es el vector unitario en la dirección de propagación, ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\pi }^{\dagger }}$ y ${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\pi }}$ son los operadores de creación y aniquilación de fotones en modo k y el estado de polarización ${\displaystyle \pi }$, respectivamente.

En este caso, para un solo fotón el momento angular de espín de la luz solo puede adoptar dos valores (autovalores):

${\displaystyle \mathbf {S} _{z}=\pm \hbar .}$

La correspondiente autofunción que describe los fotones con sus autovalores para ondas con polarización circular es:

${\displaystyle |\pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{c}1\\\pm i\end{array}}\right).}$

momento angular de la luz es un vector que representa y cuantifica la rotación del campo electromagnéticoque constituye la luz. Así, un haz de luz, mientras que de forma aproximada viaja en línea recta, puede también estar rotando sobre su propio eje de propagación. Esta rotación, que no es visible al ojo humano, se manifiesta a través de la interacción de los rayos de luz con la materia. El momento angular de la luz total —o de forma más general, de cualquier campo electromagnético y de otros campos de fuerzas— y de la materia se conserva con el transcurso del tiempo. Hay, de hecho, dos formas distintas de rotación de un haz de luz, una que involucra su propia polarización y otra que determina la forma de su frente de onda. Estas dos formas de rotación se relacionan con dos manifestaciones distintas del momento angular, el momento angular de espín de la luz (SAM) y el momento angular orbital de la luz (OAM).

Introducción[editar]

Bien es sabido que la luz, o de forma más general los campos electromagnéticos, no solo transportan energía, sino también un momento, el cual es una característica propia de todo móvil en un movimiento de traslación. La existencia de este momento se pone de manifiesto en el fenómeno de “presión de radiación”, en el que un haz de luz transfiere su momento a un cuerpo absorbente o reflejante, generando una presión mecánica en el proceso.

Menos conocido es, sin embargo, el hecho de que la luz también transporta un momento angular, que es una propiedad de todos los objetos que experimentan un movimiento de rotación. Por ejemplo, un rayo de luz puede rotar sobre su propio eje de propagación mientras avanza en el espacio. De la misma manera, la existencia de este momento angular se pone de manifiesto al transferir ese momento a pequeñas partículas, las cuales son así sometidas a un momento angular.

En el caso de un rayo de luz, se pueden distinguir dos formas de rotación: la primera, asociada a la rotación de los campos eléctrico y magnético sobre la dirección de propagación; y la segunda, asociada a la rotación de la luz en torno al eje de propagación. Estas dos rotaciones se asocian con dos momentos angulares denominados momento angular de espín de la luz (SAM) y momento angular orbital de la luz (OAM). Sea como sea, esta distinción se vuelve difusa en rayos fuertemente enfocados o divergentes, y en el caso más general sólo se puede definir la cantidad total de momento de un rayo de luz. Un ejemplo importante en el que esta distinción es difusa o ambigua es la de un rayo de luz paraxial, que es un haz de luz colimado en el que todos los rayos de luz —o, de forma más precisa, todas los componentes de Fourier del campo electromagnético— solo presentan pequeñas desviaciones angulares respecto al eje de propagación.

En este caso, el momento angular de espín de la luz se relacione con su polarización, y en particular con la denominada polarización circular. El momento angular orbital de la luz se relaciona con la distribución espacial del campo, y en particular con la forma de un frente de onda helicoidal.

De forma adicional, si el origen de coordenadas está situado fuera del eje de propagación, aparece un tercer momento angular que se define como el producto vectorial de la posición del haz de luz y su momento total. Este tercer momento se denomina también “orbital”, porque depende de la distribución espacial del campo. Sin embargo, puesto que su existencia depende de la elección del origen de coordenadas, se denomina “momento angular orbital de la luz externo”, como contraposición del momento angular orbital de la luz interno.

Expresión matemática del momento angular de la luz[editar]

Se suele usar la expresión del momento angular total de un campo electromagnético, en la que no hay una distinción explícita entre los dos momentos angulares especificados:

${\displaystyle \mathbf {J} =\epsilon _{0}\int \mathbf {r} \times \left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)d^{3}\mathbf {r} ,}$

donde ${\displaystyle \mathbf {E} }$ y ${\displaystyle \mathbf {B} }$ son el campo elétrico y magnético respectivamente, y ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ es la permitividad del vacío.

Otra expresión del momento angular se obtiene del teorema de Noether, que consta de dos términos diferenciados para el SAM y el OAM:¹​

${\displaystyle \mathbf {J} =\epsilon _{0}\int \left(\mathbf {E} \times \mathbf {A} \right)d^{3}\mathbf {r} +\epsilon _{0}\sum _{i=x,y,z}\int \left({E^{i}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {\nabla } \right)A^{i}\right)d^{3}\mathbf {r} ,}$

donde ${\displaystyle \mathbf {A} }$ es el potencial vectorial electromagnético, y los símbolos con un superíndice i son las componentes vectoriales.

Puede probarse que estas dos expresiones son equivalentes para cuelquier campo electromagnético que se desvanezca lo suficientemente rápido en el espacio. los dos términos de la segunda expresión son, sin embargo, muy difusos al no ser invariantes de gauge. Se puede obtener una versión invariante de gauge sustituyendo A y el campo magnético E con sus componentes radioactivas ${\displaystyle \mathbf {A} _{\perp }}$ y ${\displaystyle \mathbf {E} _{\perp }}$, obteniendo así la expresión:

${\displaystyle \mathbf {J} _{\perp }=\epsilon _{0}\int \left({\mathbf {E} }_{\perp }\times \mathbf {A} _{\perp }\right)d^{3}\mathbf {r} +\epsilon _{0}\sum _{i=x,y}\int \left({E^{i}}_{\perp }\left(\mathbf {r} \times \mathbf {\nabla } \right)A_{\perp }^{i}\right)d^{3}\mathbf {r} .}$

La justificación para este cambio no se ha ofrecido aún. Esta última expresión presenta otros problemas, como se puede mostrar que los dos términos no tienen el momento angular correcto al no obedecer a las reglas de conmutación cuánticas. Su suma, que es el momento angular total, da correcta.^{[cita requerida]}

Una expresión equivalente pero más simple para una onda monocromática de frecuencia ω, usando notación compleja, es la siguiente:²​

${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\epsilon _{0}}{2i\omega }}\int \left(\mathbf {E} ^{\ast }\times \mathbf {E} \right)d^{3}\mathbf {r} +{\frac {\epsilon _{0}}{2i\omega }}\sum _{i=x,y,z}\int \left({E^{i}}^{\ast }\left(\mathbf {r} \times \mathbf {\nabla } \right)E^{i}\right)d^{3}\mathbf {r} .}$

Se considerará ahora un ángulo paraxial límite, con el rayo de luz coincidente con el eje de propagación z. En este límite, la única componente significativa del momento angular es la del eje z, que es la medida del momento angular del rayo de luz de rotación en torno a su propio eje, mientras que las otras dos componentes son despreciables.

${\displaystyle \mathbf {J} \approx {\frac {{\hat {z}}\epsilon _{0}}{2\omega }}\int \left(|{E}_{I}|^{2}-|{E}_{D}|^{2}\right)d^{3}\mathbf {r} +{\frac {{\hat {z}}\epsilon _{0}}{2i\omega }}\int \sum _{i=x,y,z}\left({E^{i}}^{\ast }{\frac {\partial }{\partial \phi }}E^{i}\right)d^{3}\mathbf {r} .}$

donde ${\displaystyle E_{I}}$ y ${\displaystyle E_{D}}$ son las componentes de polarización izquierda e derecha respetivamente.

Intercambio del momento angular de espín y el momento angular orbital con materia[editar]

Interacción del momento angular de espín (SAM) y momento angular orbital (OAM) con la materia.

Cuando un haz de luz, con un momento angular no nulo, incide sobre una partícula absorbente, su momento angular puede transferirse a la partícula, provocando así un movimiento de rotación. Esto ocurre tanto con el SAM como con el OAM. Sin embargo, si la partícula no se encuentra en el centro del haz de luz, los momentos provocarán otro tipo de giro. El SAM provocará la rotación de la partícula sobre sí misma, pero el OAM, generará un movimiento de revolución en torno al eje de propagación.³​⁴​⁵​ Estos procesos se ilustran en la figura anexa.

En el caso de un medio transparete, en el límite paraxial, el SAM óptico es casi equivalente con un sistema anisotrópico, como en los cristales birrefringentes. De hecho, se puede usar finas capas de estos cristales birrefringentes para manipular la polarización de la luz. Sea como sea, la polarización elíptica es cambiada, en el proceso, hay un intercambio de momento angular de espín entre la luz y el cristal. Si el cristal se mueve libremente, empezará al rotar al incidir la luz. Si no, el momento angular de espín se transfiere al objeto que lo sostenga o a la Tierra.

Spiral Phase Plate (SPP)[editar]

Esquema de generación del momento angular orbital de la luz con un spiral phase plate.

En el límite paraxial, el OAM del rayo de luz se puede cambiar con un material que tenga una distribución espacial trasversal heterogénea. Por ejemplo, un rayo de luz adquiere OAM al cruzar un spiral phase plate de anchura heterogénea como el de la figura.⁶​

Pitch-Fork Hologram[editar]

Esquema de generación del momento angular orbital de la luz (OAM) al partir de un rayo gaussiano.

Una manera más conveniente de generar OAM se basa en usar la difracción como en un fork o pitchfork hologram como el de la figura.⁷​⁸​⁹​¹⁰​ Los hologramas también se pueden generar con el control de un computador usando un modulador espacial de luz.¹¹​

Q-Plate[editar]

El efecto de una q-plate para la polarización levógira y dextrógira.

Otro método para generar OAM es el basado en el emparejamiento de SAM-OAM que ocurre en medios anisotrópicos y heterogéneos. En particular, el llamado q-plate es un dispositivo, fabricado con cristales líquidos, polímeros o rejillas, que generan OAM usando el cambio de signo del SAM. En este caso, el signo del OAM se controla con la polarización de entrada.¹²​¹³​

Cylindrical Mode Converters[editar]

pi/2-cylindical mode converter transforma el modo HG en modo LG.

Para generar OAM también se puede convertir modos Hermítico-Gaussianos en modos Laguerre-Gaussianosusando un sistema astigmático con dos lentes dispuestas a una distancia determinada para introducir una fase entre los rayos Hermíticos-Gaussianos horizontal y vertical.¹⁴​

Posibles aplicaciones del momento angular orbital de la luz[editar]

Las aplicaciones del momento angular de espín de la luz son despreciables comparados con el número de aplicaciones de la polarización de la luz. Las aplicaciones del momento angular orbital de la luz son, sin embargo, motivo de estudio en la actualidad. En particular, las siguientes ya se han aplicado en los laboratorios de investigación, aunque no se ha llegado a comercializar:

1. Manipulación de la orientación de partículas o partículas agregadas en pinzas ópticas¹⁵​
2. Codificación de banda ancha en comunicaciones en el espacio¹⁶​
3. Codificación de información cuántica de mayor dimensión, para aplicaciones criptográficas o computacionales cuánticas¹⁷​¹⁸​¹⁹​
4. Detectores ópticos sensibles.