PROBLEMAS MATEMÁTICOS

 problema de servilletero implica determinar el volumen de una "banda" de altura especificada alrededor de un esfera, es decir, la parte que queda después de perforar un agujero cilíndrico circular a través del centro de la esfera. Es un hecho contrario a la intuición que este volumen no depende del radio de la esfera original, sino solo de la altura de la banda resultante.

El problema se llama así porque después de vaciar un cilindro de la esfera, la banda restante se asemeja a la forma de un servilletero.

Animación del corte de un servilletero con altura constante

Historia[editar]

Un primer estudio de este problema fue descrito por el matemático japonés del siglo XVII Seki Kōwa. Según Smith y Mikami (1914), Seki llamó a este sólido un anillo de arco, o en japonés kokan o kokwan.

Planteamiento[editar]

Supóngase que el eje de un cilindro pasa por el centro de una esfera de radio R y que h representa la altura (definida como la distancia en una dirección paralela al eje) de la parte del cilindro que está dentro de la esfera. La "banda" es la parte de la esfera que queda fuera del cilindro. El volumen de la banda depende de h pero no de R:

${\displaystyle V={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}$

A medida que el radio R de la esfera se reduce, el diámetro del cilindro también debe reducirse para que hpermanezca igual. La banda se vuelve más gruesa, y esto aumenta su volumen. Pero también se acorta el perímetro de la circunferencia, y esto disminuye su volumen. Los dos efectos se anulan mutuamente. En el caso extremo de la esfera más pequeña posible, el cilindro desaparece (su radio se vuelve cero) y la altura h es igual al diámetro de la esfera. En este caso, el volumen de la banda es el volumen de la esfera completa, que coincide con la fórmula dada anteriormente.

Demostración[editar]

Supóngase que el radio de la esfera es ${\displaystyle R}$ y la altura del orificio cilíndrico es ${\displaystyle h}$.

Por el Teorema de Pitágoras, el radio del cilindro es

Determinación de las dimensiones del anillo según una sección transversal vertical dada por el centro de la esfera.

${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}},\qquad \qquad (1)}$

y el radio de la sección transversal horizontal de la esfera a la altura y,, sobre el "ecuador" de la esfera es

${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.\qquad \qquad (2)}$

La sección transversal de la banda con el plano horizontal a la altura y,, es la región en forma de anillo (vista desde arriba) que queda situada dentro del círculo más grande de radio dado por (2) y fuera del círculo más pequeño de radio dado por (1). El área de la sección transversal es, por lo tanto, el área del círculo más grande, menos el área del círculo más pequeño:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \pi ({\text{radio mayor}})^{2}-\pi ({\text{radio menor}})^{2}\\&=\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}}$

El radio R no aparece en la última cantidad. Por lo tanto, el área de la sección transversal horizontal de altura y,, no depende de R, siempre que y≤h2≤R. El volumen de la banda es

${\displaystyle \int _{-h/2}^{h/2}({\text{área de la sección transversal a la altura y}})\,dy,}$

que no depende de R.

El volumen se determina utilizando el principio de Cavalieri: los volúmenes con secciones transversales correspondientes de igual tamaño son iguales. De hecho, el área de la sección transversal es la misma que la correspondiente a la sección transversal de una esfera de radio h/2, que tiene volumen

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}$

Si se perfora un agujero cilíndrico de altura hconcentricamente en una esfera, el volumen del anillo resultante no depende del tamaño de la esfera. Para una esfera grande, el anillo será muy largo pero también muy delgado.

Problema del subespacio invariante

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En el campo de las matemáticas sabidas como análisis funcional, el problema del subespacio invariante, es un problema parcialmente irresoluto preguntando si cada operador acotado en un complejo Banach el espacio envía algunos subespacios no-triviales cerrados en si mismos. ^La forma original del problema fue planteado por Paul Halmos era en el caso especial de polinomios[la aclaración necesitada] con cuadrado compacto. Esto fue resuelto afirmativamente, para una clase más general de polynomially operadores compactos, por Allen R. Bernstein Y Abraham Robinson en 1966 (ve análisis No estándar#Invariable subspace problema para un resumen de la prueba).

Declaración precisa[editar]

Más formalmente, el problema del subespacio invariante para un espacio complejo de Banach H de dimensión mayor que 1, es la tratar de probar si todo operador lineal acotado T : H → H posee un subespacio no-trivial cerrado T-invariante (es decir, un subespacio cerrado W de H distinto de {0} y H tal que T(W) ⊆ W).

Encontrar un "contraejemplo" al problema del subespacio invariante, significa para contestar afirmativamente la cuestión siguiente: ¿existe un operador lineal acotado T : H → H tal para cada vector x no nulo, el espacio vectorial generado por la sucesión {T ⁿ(x) : n ≥ 0} es denso en norma de H? Tales operadores se denominan operadores cíclicos.

Historia[editar]

El más famoso problema en Teoría de Operadores es el problema del subespacio invariante: ¿Todo operador lineal acotado posee un subespacio (cerrado y no trivial) invariante? En el siglo XX se han realizado muchos trabajos para dar respuesta, en sentido positivo, a este problema, que es tratar de probar que todo operador posee un subespacio invariante no trivial.

El problema parece que se formaliza a mediados del siglo XX y, después de los trabajos de Beurling ,por J. von Neumann,¹​ que probó (aunque no publicó) que todo operador lineal y acotado compacto en un espacio de Hilbert, siempre posee subespacios invariantes no triviales.

Para Espacios de Banach, el primer ejemplo de un operador sin un invariable subspace estuvo construido por Enflo. (Para Hilbert espacios, el invariable subspace el problema queda abierto.)

Por Enflo propuso un contraejemplo al invariable subspace problema en 1975, publicando un esbozo en 1976. Enflo Entregó el artículo lleno en 1981 y la complejidad y la longitud del artículo retrasaron su publicación a 1987 Enflo el manuscrito "largo tuvo una circulación mundial entre matemáticos" y algunos de sus ideas estuvieron descritos en publicaciones además Enflo (1976).²​¹​³​⁴​ Enflo los trabajos inspirados una construcción similar de un operador sin un invariable subspace por ejemplo por Beauzamy, quién reconoció Enflo ideas.²​

En el @1990s, Enflo desarrolló una "aproximación" constructiva al invariable subspace problema encima Hilbert espacios.⁵​

Casos especiales sabidos[editar]

Mientras el caso general del invariable subspace el problema es todavía abierto, varios casos especiales han sido resueltos para espacios de vector topológico (sobre el campo de números complejos):

• Para finito-espacios de vector complejos dimensionales de la dimensión más grande que dos cada operador admite un eigenvector, así que tiene un 1-dimensional invariable subspace.
• La conjetura es cierta si el Hilbert espacial H no es separable (i.e. si tiene un uncountable base ortonormal). De hecho, si x es uⁿ no-cero vector en H, la clausura de norma del espacio de vector generado por la secuencia infinita {T n(x) : n ≥ 0} es separable y por ello un apropiado subspace y también invariable.
• Von Neumann mostró que cualquier operador compacto en un Hilbert espacio de dimensión al menos 2 tiene un no-trivial invariable subspace.⁶​
• El teorema espectral muestra que todos los operadores normales admiten invariables subspaces.
• Aronszajn y Smith (1954) & Smith (1954) probó que cada operador compacto en cualquier Banach espacio de dimensión al menos 2 tiene un invariable subspace.
• Bernstein y Robinson (1966) & Robinson (1966) probó utilizar análisis no estándar que si el operador T en un Hilbert espacio es polynomially compacto (en otras palabras, P(T) es compacto para algunos no-cero polinómicos P) entonces T tiene un invariable subspace. Su prueba utiliza la idea original de embedding el infinito-Hilbert dimensional espacio en un hyperfinite-Hilbert dimensional espacio (ve análisis No estándar#Invariable subspace problema).
• Halmos (1966), después de haber visto Robinson preprint, eliminó el análisis no estándar de él y prueba más a escasa proporcionada en el mismo asunto de la misma revista.
• Lomonosov (1973) dio una prueba muy corta que utiliza el Schauder teorema de punto fijo que si el operador T en un Banach espacial commutes con un no-cero operador compacto entonces T tiene un no-trivial invariable subspace. Esto incluye el caso de polynomially operadores compactos porque un operador commutes con cualquier polinomio en él. Más generalmente, muestre que si S commutes con un operador no escalar T que commutes con un no-cero operador compacto, entonces S tiene un invariable subspace.⁷​
• El primer ejemplo de un operador en un Banach espacio sin invariable subspaces estuvo encontrado por Por Enflo (1976, 1987), y su ejemplo estuvo simplificado por Beauzamy (1985).
• El primer contraejemplo en un "clásico" Banach el espacio estuvo encontrado por Charles Lee (1984, 1985), quién describió un operador en el clásico Banach espacial l1 sin invariable subspaces.
• Charles más tardío Lee (1988) construyó un operador en l1 sin incluso un no-subconjunto invariable cerrado trivial, aquello es, con cada vector hypercyclic, solucionando en el negativo el problema de subconjunto invariable para la clase de Banach espacios.
• Atzmon (1983) dio un ejemplo de un operador sin invariable subspaces en un nuclear Fréchet espacio.
• Śliwa (2008) probó que cualquier infinito dimensional Banach espacio del tipo contable sobre un campo no Arquimediano admite un operador lineal acotado sin un no-trivial cerrado invariable subspace. Esto completamente soluciona la versión no Arquimediana de este problema, posado por furgoneta Rooij y Shikhof en 1992.
• Argyros y Haydon (2009) & Haydon (2009) dio la construcción de un infinito-dimensional Banach espaciar tal que cada operador continuo es la suma de un operador compacto y un operador escalar, tan en particular cada operador tiene un invariable subspace.