PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Un tablero de ajedrez vacío

El denominado problema del trigo y del tablero de ajedrez (a veces puede aparecer expresado en términos de granos de arroz), es un problema matemático cuyo enunciado es el siguiente, palabras más, palabra menos:

“Si se colocase sobre un tablero de ajedrez (lo suficientemente grande) un grano de trigo en el primer casillero, dos en el segundo, cuatro en el tercero y así sucesivamente, doblando la cantidad de granos en cada casilla, ¿cuántos granos de trigohabría en el tablero al final?”

Generalidades[editar]

El problema puede ser resuelto mediante la realización de una relativamente simple suma, la cual es engorrosa de hacer a mano. Debido a que en un tablero de ajedrez existen 64 (8x8) casillas y asumiendo que el número de granos se duplica en cada uno, entonces la suma de granos sería 1 + 2 + 4 + 8... y así sucesivamente hasta un total de 64 veces. Sólo en la última casilla habrá un número total de granos de:

9 223 372 036 854 775 808

Un poco más de 9 trillones en la escala numérica larga, lo que es una cifra mucho más alta de lo que la mayoría de la gente esperaría de forma intuitiva.

Este problema puede ser usado para explicar el funcionamiento de los exponentes, además del muy rápido crecimiento que en general caracteriza a las series exponenciales y de las secuencias geométricas. También se puede utilizar para explicar la notación matemática de la sigma mayúscula, la cual permite simplificar mediante la utilización del símbolo de la sumatoria la representación de este tipos de largas adiciones.

Cuando es expresada en términos de exponentes, la serie geométrica correspondiente es: 2⁰ + 2¹ + 2²  + 2³... y así sucesivamente hasta 2^63. La base de cada exponenciación, el número natural 2, expresa que el incremento será del doble con cada casilla, mientras que los exponentes representan la posición de cada casilla: 1 para el primer casillero, 2 para el segundo, 4 para el tercero, etc.

Soluciones[editar]

La solución de fuerza bruta consiste en duplicar manualmente cada potencia de dos e ir acumulando el sumatoria correspondiente a esa serie geométrica.

${\displaystyle T_{64}=1+2+4+\cdots +9.223.372.036.854.775.808}$

donde ${\displaystyle T_{64}}$ corresponde al número total de granos.

La serie puede ser expresada como exponentes:

${\displaystyle T_{64}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}}$

y representarse en notación de sumatoria (sigma mayúscula) como:

${\displaystyle T_{64}=\sum _{i=0}^{63}2^{i}}$

También puede resolverse de forma mucho más fácil por medio de:

${\displaystyle T_{64}=2^{64}-1}$

Una prueba de lo cual es:

${\displaystyle s=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}}$

Multiplicar cada lado por 2:

${\displaystyle 2s=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{63}+2^{64}}$

Restar o sustraer la serie original de cada lado:

${\displaystyle 2s-s=-2^{0}+2^{64}}$

resultando:

${\displaystyle s=2^{64}-1\quad =\quad 18\;446\;744\;073\;709\;551\;615}$

Cuánto trigo es[editar]

Para hacernos una idea de la cantidad de trigo de la que estamos hablando podemos estimar que en un kilogramo de trigo contiene aproximadamente unos 1400 granos. Esa realidad permite realizar los siguientes cálculos.

${\displaystyle 18\;446\;744\;073\;709\;551\;615\;granos}$

que a 14 000 granos de trigo por kilogramo:

${\displaystyle {\cfrac {18\;446\;744\;073\;709\;551\;615granos}{1400granos/Kg}}=13\;176\;245\;766\;935\;394\;Kg}$

y en toneladas métricas son:

${\displaystyle 13\;176\;245\;766\;935\;Tm}$

La estimación de producción mundial de trigo para la cosecha 2014-2015¹​ fue de:

${\displaystyle {\begin{array}{lr}{\text{Unión Europea}}&144\;880\;000\;Tm\\{\text{China}}&123\;000\;000\;Tm\\{\text{India}}&94\;000\;000\;Tm\\{\text{Estados Unidos}}&53\;431\;000\;Tm\\{\text{Rusia}}&52\;000\;000\;Tm\\{\text{Canadá}}&28\;500\;000\;Tm\\{\text{Australia}}&25\;500\;000\;Tm\\{\text{Pakistán}}&24\;500\;000\;Tm\\{\text{Ucrania}}&20\;000\;000\;Tm\\{\text{Turquía}}&15\;000\;000\;Tm\\{\text{Kazajstán}}&14\;500\;000\;Tm\\{\text{Irán}}&13\;000\;000\;Tm\\{\text{Argentina}}&12\;500\;000\;Tm\\{\text{Egipto}}&8\;950\;000\;Tm\\{\text{Uzbekistán}}&6\;800\;000\;Tm\\{\text{Brasil}}&6\;000\;000\;Tm\\{\text{Otros}}&54\;474\;000\;Tm\\\hline {\text{TOTAL}}&697\;035\;000\;Tm\\\end{array}}}$

Por lo tanto, tomando esta estimación como cosecha anual, se deberían poner sobre el tablero las cosechas mundiales de:

${\displaystyle {\cfrac {13\;176\;245\;766\;935}{697\;035\;000}}{\cfrac {Tm}{Tm/a{\tilde {n}}o}}=18\;903,27\;a{\tilde {n}}os}$

Por lo tanto serían necesarias las cosechas mundiales de 18 900 años para sumar esa cantidad de trigo.

Origen e historia[editar]

Artículo principal: Leyenda de Sisa

Las historias acerca de la invención del ajedrez varían. No obstante, todas ellas incorporan exactamente el mismo problema de progresión geométrica y la fábula en cuestión, al margen de las distintas variantes que existen de la misma, siempre gira alrededor de los mismos lineamientos:

Cuando el creador del juego del ajedrez (en algunas historias un antiguo matemático de la India y en otras un drávida vellalar legendario llamado Sessa o Sissa) mostró su invento al rey de un lejano país de Oriente, este último estaba tan satisfecho que le dio al inventor el derecho de que él mismo decidiese cuál sería su recompensa por tal creación. El hombre, que era muy sabio, le pidió al rey algo que de buenas a primeras aparentaba ser bastante humilde: que por el primer casillero del tablero de ajedrez, él debía recibir un grano de trigo (o de arroz en algunas variantes del cuento), dos por el segundo, cuatro por el tercero, y así sucesivamente, duplicando la cantidad cada vez.

El rey, que no se caracterizaba por saber mucho de aritmética, rápidamente aceptó el pedido realizado por el inventor, incluso ofendiéndose debido a su errada percepción de que lo que estaba pidiendo era demasiado poco como contrapartida por haber inventado nada menos que el ajedrez, y le ordenó a su tesorero que contase los granos de trigo correspondientes y que se los entregase al inventor. No obstante, en otra variante de la historia el ofendido rey ordenó que le entregaran un saco de trigo y que se fuera, sin darse cuenta de que la cantidad de granos pedidos era en realidad muchísimo mayor que eso.

Cuando el tesorero se tomó nada menos que más de una semana en realizar el cálculo de los granos de trigoadeudados al creador del ajedrez, el monarca le preguntó acerca de la razón de su tardanza. Fue entonces ahí que el contador real le dio entonces el resultado de su cálculo y le explicó que habría que darle al inventor una cantidad de granos cuyo valor era superior a todos los activos del reino. La historia termina con el súbitamente enriquecido inventor convirtiéndose en el nuevo rey, aunque en otras variantes de la misma el monarca engañado termina ordenando el castigo del inventor.

Aplicaciones pedagógicas[editar]

Este ejercicio puede usarse para introducir algunos importantes conceptos matemáticos tales como los exponentes, la potencia de cero, la sumatoria, la a veces denominada “notación de sigma mayúscula” y las series geométricas. E incluso algunas variaciones del problema pueden ser usadas para explicar algunos temas matemáticos más avanzados, tales como el apretado empacado hexagonal, el cual intenta responder con la mayor precisión posible a la pregunta ¿como de grande debería ser un tablero de ajedrez para poder alojar la gran cantidad de trigo que debería alojarse en su último casillero, asumiendo que cada grano del mismo fuese una perfecta esfera de un determinado tamaño? Y en particular sirve como una demostración práctica acerca de lo muy rápido que crecen las series exponenciales.

Segunda mitad del tablero de ajedrez[editar]

Una ilustración del principio.

En lo que respecta a la denominada “estrategia tecnológica” para la resolución de problemas de este tipo, “la segunda mitad del tablero de ajedrez” (en inglés, the second half of the chessboard) es una frase acuñada por Raymond “Ray” Kurzweil,²​ en referencia al punto donde cierto factor de un crecimiento exponencial comienza a tener un significativo impacto económico en toda la estrategia de negocios de una determinada organización.

Mientras que el número de granos de arroz que se va acumulando en la mitad superior del tablero (es decir, en los 32 primeros casilleros) ya de por sí es bastante grande, la cantidad de la segunda mitad es muchísimo mayor (nada menos que 2³² o poco más de 4.000 millones de veces más grande).

El número de granos de arroz de la primera mitad tablero de ajedrez es 1 + 2 + 4 + 8... + 2,147,483,648, haciendo un total de 4.294.967.295 (2³² − 1) granos de arroz, o de cerca de 100 toneladas métricas de arroz (asumiendo una masa promedio de 25 miligramos para cada grano de arroz).³​ La producción anual de arroz de la India es aproximadamente 1.200.000 veces mayor que esa cantidad.^{[cita requerida]}

El número de granos de arroz de la segunda mitad del tablero de ajedrez sería 2³² + 2³³ + 2³⁴ ... + 2⁶³, para un total de 2⁶⁴ − 2³² granos de arroz (el cuadrado del número de granos acumulados en la primera mitad del tablero sumado a sí mismo).

De hecho, como cada casillero contiene un grano más que el total acumulado en todos los casilleros anteriores, por lo tanto tan sólo el primer casillero de la segunda mitad del tablero contiene una unidad más de los mismos que toda la primera mitad. En otras palabras, ya de por sí el primer casillero de la segunda parte (es decir, el número 33) contendría un grano más que los 32 casilleros de toda la primera mitad combinados.

Y sólo en el casillero número 64 del tablero habría 2⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808 (poco más de 9 trillones en la denominada escala numérica larga) granos de arroz, o poco más de dos mil millones de veces que los acumulados es la primera mitad del tablero,

En todo el tablero de ajedrez serían 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 granos de arroz, pesando unas 461.168.602.000 toneladas métricas, lo cual equivaldría a una hipotética gigantesca montaña de arroz más grande que el propio monte Everest, lo que es alrededor de mil veces la producción global de arroz en 2011, la cual equivalió a unas 476 millones de toneladas métricas.

El problema del triplete booleano es una cuestión relacionada con ternas pitagóricas, que se resolvió utilizando una prueba asistida por ordenador en mayo de 2016.¹​

Este problema se enmarca en la teoría de Ramsey, y formula la pregunta de si es posible colorear cada uno de los enteros positivos, ya sea de color rojo o de color azul, de modo que ningún triplete pitagórico de los enteros a, b y c, que satisfaga la condición ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ sean todos del mismo color. Por ejemplo, en el triplete pitagórico 3, 4 y 5 (${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$), si 3 y 4 son de color rojo, entonces 5 debe ser de color azul.

Marijn Heule, Oliver Kullmann y Victor Marek investigaron el problema y demostraron que al menos existe un caso en el que tal coloración es imposible. Hasta el número 7824 es posible colorear los números de modo que todos los triples pitagóricos sean admisibles, pero la prueba muestra que dicho color no se puede extender para también colorear el número 7825. Se confirmó la afirmación del teorema, en el que se afirma que:

El conjunto {1, . . . , 7824} puede ser separado en dos partes, de forma que ninguna de las dos contenga una terna pitagórica, lo que es imposible para {1, . . . , 7825}.2​

Hay 2⁷⁸²⁵ coloraciones posibles para los números hasta 7825. Estas posibles coloraciones se redujeron lógica y algorítmicamente a alrededor de un trillón de (aún altamente complejos) casos, y se examinaron utilizando un resolucionador de problemas de satisfacibilidad booleana. El desarrollo de la prueba requirió aproximadamente 4 años de trabajo, así como dos días de cálculo en el superordenador Stampede del Texas Advanced Computing Center. Generó una prueba proposicional de 200 terabytes, que se comprimió a 68 gigabytes.

El documento que describe la prueba se publicó en arXiv el 3 de mayo de 2016,²​ y fue aceptado para la conferencia SAT 2016, donde ganó el premio al mejor artículo.³​

En la década de 1980, el matemático Ronald Graham había ofrecido un premio de 100 dólares por la resolución del problema, otorgado a Marijn Heule en 2016.

La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de las matemáticas de la antigua Grecia. El problema consiste en encontrar un ángulo cuya medida sea un tercio de otro ángulo dado, utilizando únicamente regla y compás.

En la figura, se usa la trisectriz (curva algebraica), para dividir el ángulo ${\displaystyle \angle AOB}$ en su tercera parte, el ángulo ${\displaystyle \angle BPQ}$.

El problema es sencillo en algunos casos (por ejemplo, si el ángulo dado es recto, puede construirse un ángulo que sea la tercera parte del mismo), pero es imposible de resolver en general, como lo demostró Pierre Wantzel en su artículo Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compasde 1837.¹​ Su demostración utiliza la teoría de Galois.

La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de la antigüedad griega que sobrevivió sin ser resuelto hasta el siglo XIX, junto con la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo.²​ Este último fue resuelto también por la negativa por Wantzel en el mismo artículo. El primero también tiene una solución negativa, dada por Carl Louis Ferdinand von Lindemann en 1882.

El problema de la trisección del ángulo es una generalización del problema de la bisección del ángulo. Pero mientras el segundo se resuelve utilizando la bisectriz (que puede construirse con regla y compás), el primero no.