La cuadratura del cuadrado es el problema de teselar un cuadrado entero usando solamente otros cuadrados enteros (un cuadrado entero es un cuadrado cuyos lados tienen longitud entera). El nombre fue acuñado en una analogía humorística con la cuadratura del círculo. La cuadratura del cuadrado es una tarea fácil a menos que se establezcan condiciones adicionales. La restricción más estudiada es que la cuadratura sea perfecta, lo que significa que los tamaños de los cuadrados utilizados sean todos diferentes. Un problema relacionado es cuadrar el plano, lo que puede hacerse incluso con la restricción de que cada número natural se utilice exactamente una vez como el tamaño de un cuadrado del mosaico. El orden de un cuadrado cuadrado es su número de cuadrados constituyentes.
Cuadrados cuadrados perfectos[editar]
Un cuadrado cuadrado "perfecto" es un cuadrado tal que cada uno de los cuadrados más pequeños que lo compone tiene un tamaño diferente.
Consta que fue estudiado por primera vez por R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone y W. T. Tutte en la Universidad de Cambridge.
Transformaron el mosaico cuadrado en un circuito eléctrico equivalente (lo denominaron "diagrama de Smith"), considerando los cuadrados como resistores que se conectasen a sus vecinos en sus bordes superior e inferior, y luego aplicaron las técnicas de las Leyes de Kirchhoff y de descomposición de circuitos al circuito total.
El primer cuadrado cuadrado perfecto, un compuesto de lado 4205 y de orden 55, fue hallado por Roland Sprague en 1939.2
Martin Gardner publicó un artículo extenso escrito por W. T. Tutte sobre la historia temprana de cuadrar el cuadrado en su columna sobre juegos matemáticos de la revista Scientific American en noviembre de 1958.3
Cuadrados cuadrados simples[editar]
Un cuadrado cuadrado "simple" es uno donde ningún subconjunto de los cuadrados forma un rectángulo o un cuadrado, de lo contrario es "compuesto".
En 1978, A. J. W. Duijvestijn descubrió un cuadrado cuadrado "perfecto" simple de lado 112 con el menor número de cuadrados posible usando una búsqueda por ordenador. Su mosaico utiliza 21 cuadrados, y se ha demostrado que es el mínimo posible.4 Este cuadrado cuadrado forma el logotipo de la Trinity Mathematical Society.
Duijvestijn también encontró 2 cuadrados cuadrados "perfectos" simplesde lado 110, pero cada uno comprende 22 cuadrados. T.H. Willcocks encontró otro. En 1999, I. Gambini demostró que estos 3 son los cuadrados cuadrados "perfectos" simples más pequeños en términos de longitud de lado.5
El cuadrado cuadrado "perfecto" compuesto con el menor número de cuadrados fue descubierto por T.H. Willcocks en 1946 y tiene 24 cuadrados; sin embargo, no fue hasta 1982 que Duijvestijn, Pasquale Joseph Federico y P. Leeuw demostraron matemáticamente que era el ejemplo de orden más bajo.6
La colcha de la señora Perkins[editar]
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Cuando la restricción de que todos los cuadrados deban ser de diferentes tamaños es rebajada, entonces un cuadrado cuadrado de manera que las longitudes laterales de los cuadrados utilizados no tenga un divisor común mayor que 1 se llama una "colcha de la señora Perkins". En otras palabras, el máximo común divisor de todas las longitudes de los lados de los cuadrados utilizados (no necesariamente distintos) debe ser 1. En la práctica, esto significa que si dos de las longitudes utilizadas en la disección son múltiplos de la misma base (como por ejemplo 2 y 4), entonces también debe utilizarse al menos un cuadrado de lado 1.
El problema de la colcha de la señora Perkins es encontrar la distribución de cuadrados con el menor número de piezas posible para un cuadrado de n × n dado. La primera vez que se planteó este problema como un pasatiempo matemático, se hizo para un cuadrado de 13x13.7
No más de dos tamaños diferentes[editar]
Un número guapo (cute number en inglés) es un entero positivo n tal que un cuadrado cualquiera admite una disección en n cuadrados de no más de dos tamaños diferentes, sin otras restricciones. Se puede demostrar que aparte de 2, 3 y 5, cualquier entero positivo es guapo.8
Cuadrando el plano[editar]
En 1975, Solomon Golomb planteó la cuestión de si todo el plano puede ser teselado utilizando cuadrados, cada uno de ellos con una longitud de lado entera distinta, que él llamó la conjetura de teselado heterogénea. Este problema fue publicado más tarde por Martin Gardner en su columna de la revista Scientific American y apareció en varios libros, pero la solución desafió a los matemáticos durante más de 30 años.
En el libro Tilings and Patterns, publicado en 1987, Branko Grünbaum y G. C. Shephard declararon que en todos los entramados enteros perfectos del plano conocidos en ese momento, los tamaños de los cuadrados crecen exponencialmente. Por ejemplo, el plano puede ser teselado con diferentes cuadrados enteros de forma recursiva (pero no para cada entero), tomando cualquier cuadrado cuadrado perfecto y ampliándolo de modo que el cuadrado anteriormente más pequeño tenga el tamaño del cuadrado cuadrado original, reemplazando esta tesela con una copia del cuadrado cuadrado original.
Recientemente, James Henle y Frederick Henle demostraron que esto, de hecho, se puede hacer.9 Su prueba es constructiva, y procede "expandiendo" una región en forma de L formada por dos cuadrados de tamaño diferente lado a lado dispuestos horizontalmente, a un revestimiento perfecto de una región rectangular más grande, entonces contigua al cuadrado del tamaño más pequeño todavía no usado para conseguir otra región más grande de la región en forma de L. Los cuadrados añadidos durante el procedimiento de expansión tienen tamaños que aún no han aparecido en la construcción y el procedimiento se establece de modo que las regiones rectangulares resultantes se expanden en las cuatro direcciones, lo que conduce a un revestimiento de todo el plano.
Cubicación del cubo[editar]
Cubar el cubo es el análogo en tres dimensiones de la cuadratura del cuadrado: es decir, dado un cubo C, el problema consiste en dividirlo en un número finito de cubos más pequeños, sin que ninguno de ellos sean congruentes entre sí.
A diferencia del caso de la cuadratura del cuadrado, un problema difícil pero resoluble, no hay un cubo cubo "perfecto" y, de forma más general, no existe ninguna disección de un ortoedro C en un número finito de cubos distintos.
Para comprobarlo, supóngase que existe tal disección. Sea una cara de C su base horizontal. La base es dividida en un cuadrado cuadrado "perfecto" R por los cubos que descansan sobre él. Cada cuadrado de esquina de Rtiene un cuadrado de borde adyacente más pequeño, y el cuadrado de borde más pequeño de R es adyacente a cuadrados más pequeños que no están en el borde. Por lo tanto, el cuadrado más pequeño s1 en R está rodeado por cuadrados más grandes, y por lo tanto por cubos más altos, en los cuatro lados. En consecuencia, la cara superior del cubo en s1 es dividida en un cuadrado cuadrado "perfecto" por los cubos que descansan sobre él. Sea s2 el cuadrado más pequeño de esta disección. La secuencia de cuadrados s1, s2, ... es infinita y los cubos correspondientes son infinitos en número. Esto contradice la suposición original.10
Si un hipercubo de 4 dimensiones pudiera ser perfectamente hipercubado, entonces sus "caras" serían cubos cubos "perfectos"; esto es imposible. Del mismo modo, no hay solución para ninguno de los cubos de dimensiones superiores.
Cuadrar la plaza
Ross Honsberger
N 1936, CUATRO ESTUDIANTES EN TRINITY COLLEGE, Cambridge-Brooks, Smith, Stone y Tutte, consideraron el problema de cortar un rectángulo en cuadrados de tamaño desigual (no hay dos iguales). Se sabía, en ese momento, que un rectángulo de 32 por 33 podría ser "cuadrado" como se muestra en la Figura 7.1.
Figura 7.1
Stone se interesó particularmente en tratar de probar que era imposible cortar un cuadrado dado en cuadrados desiguales. Si bien no pudo hacer esto, descubrió una cuadratura de otro rectángulo (ver Figura 7.2).
Figura 7.2
Una forma de atacar el problema de encontrar rectángulos que se pueden cuadrar es hacer un bosquejo de una partición propuesta en cuadrados, etiquetando la longitud del borde de cada cuadrado, anotando todas las relaciones que deben cumplir las longitudes de los bordes para poder ajustar en el rectángulo, y resolviendo el sistema de ecuaciones así obtenido.
Vamos a llevar a cabo esto para algunos ejemplos. En lugar de transportar tantas incógnitas como cuadrados en la subdivisión, trataremos de etiquetar los cuadrados adyacentes para que encajen en el boceto; Así tendremos menos incógnitas para eliminar más tarde.
Figura 7.3
Ejemplo 1.
En la figura 7.3, etiquetamos los cuadrados vecinos x, y, z, como se muestra. Entonces es fácil etiquetar los cuadrados restantes en el orden
x + y, 2x + y, y - z, y - 2z, y - 3z, 2y - 5z.
A continuación, obtenemos relaciones entre nuestras incógnitas; por ejemplo, podemos igualar las longitudes de lados opuestos del rectángulo que contiene Los lados horizontales producen
2x + y + x + y = 2y - 5z + y - 2z + y - z,
es decir, (1)
3z - 2y + 8z = 0;
y los lados verticales ceden
2y - 5z + 2x + y = y - z + y + x + y,
es decir,
(2)
x - 4z = 0.
Asi que
x = 4z e Y = 10Z.
Observamos que si establecemos z = 1, obtenemos el mosaico que se muestra en la Figura 7.1; si establecemos z igual a cualquier otra cantidad positiva, obtenemos la misma configuración, aumentada (o reducida) por el factor z. Si prescribimos la longitud del borde horizontal, digamos 64 ", entonces z sería 2" y la figura estaría completamente determinada.
Figura 7.4
Ejemplo 2.
En la figura 7.4, dos incógnitas, xey, son suficientes para expresar las longitudes de los ángulos de todos los compartimentos.
Al igualar las longitudes de los lados horizontales del rectángulo que contiene, obtenemos
9x - 5y + 6x - 2y = 2x + 5y + x + 2y + x + y + 2x + y,
es decir, 9x - 16y = 0, de donde (3) X 16 - = - Y 9
Los valores x = 16, y = 9 producen el mosaico de Stone del rectángulo 177 X 176 (ver Figura 7.2), y otros valores que satisfacen (3) darían una cifra similar.
Para mostrar que tales esquemas no siempre producen resultados factibles, damos otro ejemplo.
Figura 7.5
Ejemplo 3.
Comenzando con x e y como se muestra en la Figura 7.5, podemos etiquetar los otros cuadrados
X + Y, 2x + y, 3x + y;
e igualando longitudes de los bordes verticales, obtenemos
2x + y + 3x + y = x + y + y
5x + 2y x + 2y
4x = 0, entonces x = 0.
5x + 2y x + 2y
4x = 0, entonces x = 0.
nuestro cuadrado medio resulta ser un punto y los cuatro cuadrados restantes son iguales. ¡Simplemente hemos dividido en cuatro el rectángulo dado, que debe haber sido un cuadrado!
Nuestros ejemplos indican que el sistema de ecuaciones lineales que obtenemos de un boceto arbitrario de una partición parece tener una solución única (excepto por un factor de escala), aunque la solución no es necesariamente geométricamente viable. Podría suceder, por ejemplo, que algunas de las longitudes de los bordes resulten negativas, y eso no tendría sentido en el contexto de nuestro problema de mosaico. De nuestra experiencia anterior con sistemas de ecuaciones lineales sabemos que puede haber demasiado muchas ecuaciones (en cuyo caso no hay solución) o puede haber muy pocas (en cuyo caso hay infinitas soluciones) o el número de ecuaciones puede ser correcto, es decir, se satisfacen con exactamente un conjunto de números. En todos nuestros ejemplos, el número de ecuaciones obtenidas al prescribir la longitud de un par de bordes del rectángulo que contiene, pero no la longitud del otro, fue justo; Es decir, cada sistema tenía una solución única. ¿Fue solo un feliz accidente? Mostraremos, apelando a la teoría de la red eléctrica, que un sistema de ecuaciones lineales obtenidas de una partición esbozada siempre tiene una solución única.
Figura 7.6
Para hacer las cosas más precisas, considere una subdivisión dada de un rectángulo en cuadrados. Con respecto a cada segmento horizontal de la partición (ver Figura 7.6) tenemos una relación
a + b = c + d + e
nos dice que la suma de las longitudes de los bordes de los cuadrados que bordean el segmento en un lado es igual a la suma de las longitudes de los bordes de los cuadrados que bordean el segmento en el otro lado. Llamaremos a todas estas relacionesrelaciones de compatibilidad horizontal. De manera similar, las relaciones análogas obtenidas de segmentos verticales se llamarán relaciones de compatibilidad vertical. Claramente, el conjunto de todas las relaciones de compatibilidad forma un sistema S de ecuaciones lineales.
TEOREMA. Si se prescribe una de las dos dimensiones de un rectángulo particionado, el sistema S de relaciones de compatibilidad siempre tiene una Solución única (aunque no necesariamente geométricamente significativa).
Imagine que el rectángulo es una placa de espesor uniforme hecha de algún metal conductor. Supongamos que a todos los puntos del borde superior del rectángulo se les da el mismo potencial eléctrico V, y todos los puntos en el borde inferior tienen un potencial constante más bajo V '. (Esto podría lograrse recubriendo estos bordes con un conductor perfecto). Debido a la diferencia de potencial prescrita V - V ', habrá un flujo constante de corriente a través del rectángulo, en la dirección vertical. La velocidad a la que los electrones se cruzan en un intervalo horizontal es proporcional a la longitud de ese intervalo. Por lo tanto, si I es la corriente que cruza un intervalo horizontal de longitud de unidad, entonces la corriente que fluye a través de un intervalo de longitud I es 11. Laresistencia de tal rectángulo a la corriente eléctrica es directamente proporcional a su altura vertical L (a la distancia que la corriente debe recorrer) e inversamente proporcional a su ancho horizontal W (la distancia a lo largo de la cual la corriente puede entrar); es decir, resistencia = (RL / W). Por lo tanto, si el rectángulo es un cuadrado (L = W ), entonces su resistencia es R y no depende del tamaño del cuadrado.
Ahora supongamos que un rectángulo de este tipo se ha dividido en cuadrados. Como el flujo es vertical (no hay flujo en la dirección horizontal), podemos cortar segmentos verticales sin interferir con la corriente. Ahora considere la placa de corte como una red donde los cuadrados constituyentes se identifican con cables conductoresy donde los segmentos horizontales se identifican con puntos, ovértices en los que se encuentran los cables conductores. (Consulte la Figura 7.7, donde los vértices A, B, - -. En la red corresponden a segmentos horizontales en los niveles a, b, ... del rectángulo, cables AB, AC,corresponden a cuadrados que se extienden desde los niveles a hasta b, a hasta c,
La magnitud de la corriente que fluye a través de cada cable es proporcional a la longitud del lado del cuadrado representado por ese cable.
Figura 7.7
La ley de conservación de la corriente establece que, en cada vértice de la gráfica, la cantidad total de corriente que fluye en es igual a la cantidad total de corriente que sale. Por ejemplo, el vértice C (que corresponde al segmento horizontal en el nivel c) recibe corriente tI + wl a través de los cables AC y BC (correspondiente a los cuadrados t y w) y C pierde la corriente xI + zI a través de los cables CD y CE (correspondiente a los cuadrados) xyz). La ley citada anteriormente cede la relación.
t + w = X + z
que es solo una de nuestras relaciones de compatibilidad horizontal.
Dado que la corriente fluye hacia el borde superior de la placa, se mueve verticalmente hacia abajo y fluye hacia el borde inferior, vemos que cada punto en el mismo nivel horizontal tiene el mismo potencial, y los puntos en los niveles horizontales más altos tienen potenciales más altos que los puntos en los niveles horizontales más bajos. Según la ley de Ohm, la diferencia de potencial entre dos puntos de la red unida por un cable es igual al producto de la corriente a través de ese cable y la resistencia ofrecida por él. Por ejemplo, la diferencia de potencial entre B dijo C (que representan los niveles b y c de la placa) se wI x R (WI siendo la corriente que ingresa en el borde superior del cuadrado w, y R la resistencia de cualquier cuadrado; ver p. 52). Además, la diferencia de potencial es aditiva; es decir, si A y D son dos vértices en la red conectados por una ruta AB, BD a B, entonces la diferencia de potencial entre Ay D es la suma de las diferencias de potencial entre A, B y B, D: sI .R + vI.R en nuestra ilustración. Como consecuencia, para cualquier camino cerrado en el
red, digamos ABDCA, la suma correspondiente es cero +, y para dos rutas cualquiera desde el mismo punto de inicio hasta el mismo punto final, las sumas correspondientes son las mismas. Así paraABD y ACD, tenemos
sI.R + vI-R = tI.R + xl.R
lo que reduce a
s + V = I + X.
Esta es una de nuestras relaciones de compatibilidad vertical.
La ley de conservación de la corriente y la ley de Ohm producen un sistema de ecuaciones lineales equivalentes al sistema S de relaciones de compatibilidad. Ahora parece plausible que si se prescribe una diferencia en el potencial para una red como la nuestra (digamos que los potenciales en los vértices A y E se dan, o equivalentemente, en los bordes superior e inferior de la placa), entonces la corriente fluye en cada cable. está determinado. De hecho, este es el contenido del famoso teorema de Kirchhoff:
Si se prescribe una diferencia potencial entre cualquiera de los dos puntos de una red, entonces las leyes de conservación y Ohm determinan únicamente el flujo en cada cable.
Dado que estas leyes físicas son equivalentes a las relaciones de compatibilidad geométrica (la diferencia de potencial prescrita correspondiente a la dimensión vertical del rectángulo), la afirmación de que el sistema S tiene una solución única (ver p. 52) se ve como un corolario de Teorema de Kirchhoff.
Una prueba rigurosa del teorema de Kirchhoff está más allá del alcance de este ensayo.
Ahora volvamos a examinar el problema de la partición de un rectángulo en cuadrados.
Primero notamos que una solución del sistema lineal S puede incluir cantidades no positivas. No se puede hacer que se correspondan con las longitudes de los lados de los cuadrados de subdivisión, por lo que tales soluciones del sistema S no son soluciones del problema de mosaico.
En segundo lugar, recordamos que, para resolver un sistema de ecuaciones lineales (por decir , sucesivamente incógnitas eliminando, o mediante el uso de determinantes, o 111 de cualquier otra manera), utilizamos sólo operaciones racionales, es decir, la suma, resta, multiplicación y división. Por lo tanto, si todos los coeficientes en S son racionales (y este es el caso si la dimensión prescrita del rectángulo, o equivalentemente la diferencia potencial prescrita de la red, es racional), entonces todas las cantidades en la solución de S ax también son racionales. Esto implica que un rectángulo cuyas dimensiones L y W son inconmensurables. inconmensurable (L / W irracional) no puede ser enlosado con cuadrados.
En segundo lugar, recordamos que, para resolver un sistema de ecuaciones lineales (por decir , sucesivamente incógnitas eliminando, o mediante el uso de determinantes, o 111 de cualquier otra manera), utilizamos sólo operaciones racionales, es decir, la suma, resta, multiplicación y división. Por lo tanto, si todos los coeficientes en S son racionales (y este es el caso si la dimensión prescrita del rectángulo, o equivalentemente la diferencia potencial prescrita de la red, es racional), entonces todas las cantidades en la solución de S ax también son racionales. Esto implica que un rectángulo cuyas dimensiones L y W son inconmensurables. inconmensurable (L / W irracional) no puede ser enlosado con cuadrados.
Podríamos intentar atacar el problema de mosaico de rectángulo ideando primero un método sistemático para enumerar todas las particiones posibles en n cuadrados y dejar que el entero nincrementar. Luego podríamos resolver el sistema S para cada partición y descartar todas las particiones con soluciones geométricamente no factibles. Incluso entre las soluciones factibles, muchas no serían interesantes (es decir, particiones en cuadrados iguales, etc.). Requisitos tales como (a) no hay dos cuadrados en la partición que puedan ser congruentes, o (b) el rectángulo particionado no puede contener un rectángulo más pequeño, imponer condiciones adicionales a las soluciones de S. Quizás podamos abordar el problema simultáneamente desde la otra dirección ; es decir, elimine todas las redes de las que sabemos a priori que las soluciones del sistema S asociado no son geométricamente factibles o producen particiones no deseadas de los tipos (a) o (b) anteriores.
Un cuadrado o mosaico en el que no hay dos cuadrados del mismo tamaño se dice que es "perfecto". Tutte y sus amigos se encontraban principalmente después de perfectas cosas. Querían encontrar un "cuadrado perfecto", es decir, un cuadrado con un mosaico perfecto. Todos sus resultados involucraron rectángulos no cuadrados. Y así empezaron a pensar que no existía una plaza perfecta. Sin embargo, en 1939 Roland Sprague de Berlín encontró uno y, desde entonces, muchos otros han sido descubiertos.
Luego se prestó atención a encontrar el cuadrado perfecto con el menor número de cuadrados (es decir, del orden más bajo). El registro hasta la fecha es uno de orden 24, encontrado por un matemático aficionado, TH Willcocks de Bristol, Inglaterra. (Ver Figura 7.8.)
Figura 7.8 (Compuesto) cuadrado perfecto de orden 24.
Se dice que un mosaico es "simple" si la disposición de los cuadrados no forma ningún rectángulo cuadrado más pequeño dentro del original. El cuadrado perfecto de Willcocks es compuesto, no simple. En consecuencia, la atención se centró en elcuadrado perfecto simple de orden más bajo. Hasta hace poco, Willcocks también tenía este registro con un cuadrado de orden 37. Sin embargo, en 1964, el Dr. John Wilson de la Universidad de Waterloo (un estudiante de Tutte), utilizando una computadora electrónica, encontró uno de orden 25 (ver Figura 7.9 ), y él es el poseedor de registro en la actualidad.
Se ha demostrado, usando computadoras, que no hay un cuadrado perfecto de orden menor a 20, simple o no. En consecuencia, no hay mucho espacio para mejorar en los registros anteriores.
Se han encontrado tantos cuadrados perfectos que los expertos en el campo sospechan que los rectángulos embaldosados de lados desiguales son los más difíciles de conseguir.
Cerramos este ensayo con el siguiente teorema fácil de probar: es imposible llenar una caja rectangular con un número finito de cubos desiguales.
Figura 7.9. Simple cuadrado perfecto de orden 25
Prueba: cualquier embalaje exitoso de la caja proporciona un mosaico perfecto de la parte inferior de la caja por los cubos que descansan en la parte inferior. Ahora, el cubo más pequeño S entre los que se alinean en la parte inferior ciertamente no puede tocar un lado vertical de la caja; para entonces tendría que haber uno aún más pequeño tocando el fondo. (Ver Figura 7.10.)
Figura 7.10. Vista del rectángulo inferior de la caja.
Este cubo más pequeño en la parte inferior, al estar en la parte media de la parte inferior, debe estar bordeado en cada lado por un cubo más grande (es el más pequeño). Su superficie superior, entonces, está completamente amurallada; ver Figura 7.11. Para cubrir esta superficie superior, se deben usar incluso cubos más pequeños.
Figura 7.11
Entre los cubos en la superficie superior de S, el más pequeño, que aparece nuevamente en la parte media, está rodeado por otros más grandes. En consecuencia, incluso los más pequeños aún deben aparecer en una tercera capa en la parte superior de este cubo amurallado. Este argumento continúa sin fin, lo que implica que no hay un final para el número de cubos que se deben emplear.
http://www.math.uwaterloo.ca/navigation/ideas/articles/honsberger2/index.shtml
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