Mecánica - La mecánica clásica

coordenadas generalizadas a un conjunto cualquiera de parámetros numéricos que sirven para determinar de manera unívoca la configuración de un mecanismo o sistema mecánico con un número finito de grados de libertad. Más formalmente, las coordenadas generalizadas se definen como un sistema de coordenadas curvilíneas sobre la variedad de configuración de un sistema físico como por ejemplo el espacio de configuración o el espacio de fases de la mecánica clásica.

El número mínimo de coordenadas generalizadas para definir el estado del sistema se conoce como: coordenadas independientes. En este contexto, las coordenadas pueden ser absolutas (referidas a un sólido inmóvil, respecto del cual el mecanismo "se mueve"); o bien pueden ser relativas a otro miembro del mecanismo.

Mecánica lagrangiana

Noción intuitiva

La mecánica newtoniana usa sistemas de referencia con ejes cartesianos en que la posición de una partícula puntual en un instante dado viene dada por un vector del espacio euclídeo. Las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales que relacionan las derivadas de la posición con la posición de las otras partículas. Sin embargo, matemáticamente podemos usar un conjunto de coordenadas curvilíneas cualesquiera tales que el vector posición pueda ser expresado en términos de esas coordenadas y viceversa. Esto implica que en un sistema de P partículas (y 2N grados de libertad) existirán funciones invertibles de la otra tales que:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},...,q_{2N},t)&i\in \{1,...,P\}\\q_{j}=q_{j}(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{P},t)&j\in \{1,...,2N\}\end{cases}}}$

Noción formal

Formalmente, en mecánica lagrangiana el estado físico de un sistema mecánico, también llamado estado de movimiento, viene representado por un punto del espacio de configuración "ampliado". Este espacio se designa por TQ y matemáticamente es el fibrado tangente del espacio de configuración Q de posibles posiciones. Por construcción el espacio de configuración ampliado tiene una estructura de variedad diferenciable de dimensión 2N, siendo N el número de grados de libertad del sistema. Naturalmente los 2N números anteriores tienen que ver con las coordenadas curvilíneas en términos de los cuales representamos la posición ordinaria de una partícula.

De la discusión anterior se sigue que un conjunto adecuado de coordenadas generalizadas para un sistema lagrangiano no puede venir dado por un conjunto cualquiera de m números reales sino que debe existir un conjunto abierto U del fibrado tangente TQ y una función de clase C^k, con k > 1, tal que:

${\displaystyle \phi _{q}:U\subset TQ\to \mathbb {R} ^{2N}\qquad (p,v)\in U\rightarrow (q_{1},...,q_{N},{\dot {q}}_{1},...,{\dot {q}}_{N})=\phi _{q}(p,v)}$

Un sistema como el anterior se llama sistema natural. Sin embargo, algunos sistemas admiten coordenadas generalizadas más complicadas que dependen además del tiempo, como se discutió al principio y esos sistemas requieren ser descritos mediante una variedad de dimensión 2N+1 siendo los detalles similares.

Mecánica hamiltoniana

La situación en mecánica hamiltoniana es similar a la que se presenta en mecánica lagrangiana ya que el estado de un sistema físico se representa por un punto del llamado espacio fásico (que es una variedad simpléctica construida sobre el espacio de configuración "ampliado" del sistema).

En una variedad simpléctica (M,ω) pueden escogerse diversos sistemas de coordenadas generalizadas, pero tienen especial interés los sistemas de coordenadas canónicas. El teorema de Darboux garantiza que alrededor de cualquier punto existe un entorno y un sistema de coordenadas en el cual la 2-forma simpléctica tiene la forma:

${\displaystyle \omega =\sum _{i}dp_{i}\land dq_{i}}$

Un sistema de coordenadas como el anterior es un sistema de coordenadas canónicas, donde la coordenada p_i se llama momento conjugado de la coordenada q_i. En un sistema de coordenadas canónicas las ecuaciones de Hamilton toman su forma canónica.

Otros contextos

En ciertos problemas mecánicos sencillos como el problema de las vibraciones u oscilaciones acopladas aparecen sistemas de coordenadas generalizadas no relacionados con ninguna medida directa realizable sobre el sistema físico, pero útiles en la resolución matemática de los problemas.

Un problema de oscilaciones acopladas puede resolverse mediante ciertos cambios de variables que llevan a las coordenadas normales o amplitudes de los modos propios de vibración, que son de hecho una forma particular de coordenadas generalizadas para el problema mecánico original. El problema de oscilaciones acopladas, aparece por ejemplo en las vibraciones térmicas de un cristal, o el movimiento horizontal de un edificio en un terremoto o el movimiento de un sistema de masas unidas por muelles o resortes. Estos problemas conducen a un sistema de ecuaciones del siguiente tipo:

${\displaystyle m_{i}{\ddot {x}}_{i}+\sum _{k=1}^{N}k_{ik}x_{k}=0}$

Que puede resolverse fácilmente definiendo unas nuevas coordenadas llamadas coordenadas normales, definidas mediante un cambio lineal:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\end{Bmatrix}}=+{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N1}&\cdots &a_{NN}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{Bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{N}\end{Bmatrix}}}$

Donde la matriz cambio de masa se calcula a partir de los modos propios del sistema. Con ese cambio el sistema se conviente en un conjunto de N ecuaciones sencillas del tipo:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\ddot {q}}_{1}+\omega _{1}^{2}q_{1}=0\\\vdots \\{\ddot {q}}_{N}+\omega _{N}^{2}q_{N}=0\end{matrix}}}$

Cada una de las cuales es de resolución inmediata. Es interesante notar que estos modos no son cantidades directamente medibles, sino sólo un sistema de coordenadas con dimensiones de longitud matemáticamente adecuado, pero que de no están relacionadas de manera directa o natural con ninguna medición realizable sobre el sistema.

Grados de libertad y coordenadas generalizadas para el péndulo doble

Tenemos dos masas,  y , la primera de las cuales está conectada del techo mediante un hilo de longitud fija . La segunda está enganchada de la primera mediante otro hilo de longitud fija . Ambas masas pueden oscilar alrededor de la vertical, pero sólo en un determinado plano vertical fijo. Hallar las ligaduras, los grados de libertad, y un conjunto adecuado de coordenadas generalizadas para el sistema, y expresar las coordenadas cartesianas del sistema en términos de estas coordenadas generalizadas.

El número de partículas es . El número de coordenadas cartesianas será pues . Si ponemos el origen del sistema de coordenadas en el punto de enganche del hilo superior, el eje  a lo largo de la horizontal, el eje  vertical hacia arriba, y el eje  normal al plano de oscilación, tenemos las siguientes ligaduras:

que son en total . El número de grados de libertad será . Un conjunto adecuado de coordenadas generalizadas consiste en los dos ángulos que forman los dos hilos con respecto a la vertical,  y . Las coordenadas cartesianas de las masas se escriben en términos de estas coordenadas generalizadas como sigue: 

Ecuaciones primitivas en coordenadas generalizadas

Veamos algunos ejemplos interactivos para derivar el nuevo conjunto de ecuaciones primitivas en t�rminos del sistema de coordenadas generalizadas.

�Puede identificar las siguientes ecuaciones primitivas, ahora que han sido transformadas en coordenadas .

Primero tenemos que transformar la fuerza de presi�n horizontal utilizando la relaci�n (8):

donde  es el geopotencial. As�, la ecuaci�n del movimiento horizontal resulta

La ecuaci�n de la hidrost�tica (2) se transforma en

La transformaci�n de la ecuaci�n de continuidad (3) requiere una peque�a manipulaci�n m�s, pero no es muy dif�cil. Considerando primero el t�rmino de la divergencia, podemos usar las ecuaciones (6) y (9) para transformarlo:

Recuerde que  y entonces  por lo que obtenemos

Sustituyendo la ecuaci�n (15) en (14) queda

Podemos interpretar  como  y por lo tanto, el t�rmino central en la ecuaci�n (16) no es m�s que  que puede ser combinado con  en (3) para dar

Finalmente, la ecuaci�n de continuidad transformada queda:

La ecuaci�n de la termodin�mica no cambia en su apariencia, ya que puede expresarse en t�rminos de la derivada todal de la temperatura potencial,  y de  como sigue:

or

Ahora podemos continuar aplicando estas ecuaciones generales a un valor espec�fico de  .

corchetes de Lagrange son expresiones cercamente relacionadas con los corchetes de Poisson. Estos fueron introducidos por Joseph Louis Lagrange en 1808–1810 como proposición de la formulación matemática de la mecánica clásica, pero comparados con los corchetes de Poisson, éstos se han dejado de usarlos.

Definición

Supóngase que ${\displaystyle \ (q_{1},q_{2},...,q_{n},p_{1},...,p_{n})}$ es un sistema de coordenadas canónicas en un espacio de fase. Si cada una está expresada como función de dos variables ${\displaystyle \ u}$ y ${\displaystyle \ v}$, entonces el corchete de Lagrange de ${\displaystyle \ u}$ y ${\displaystyle \ v}$ está definido como:

${\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).}$

Propiedades

• Los corchetes de Lagrange no dependen del sistema de coordenadas canónicas ${\displaystyle \ (p,q)}$, si ${\displaystyle \ (Q,P)=(Q_{1},...,Q_{n},P_{1},...,P_{n})}$ es otro sistema de coordenadas canónicas, entonces tenemos que:

${\displaystyle \ Q=Q(q,p),P=P(q,p)}$

es una transformación canónica. El corchete entonces es un invariante de la transformación, en el sentido de que:

${\displaystyle \ [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}.}$

Por lo tanto, los subíndices suelen ser omitidos.

• Si ${\displaystyle \ \Omega }$ es una forma simpléctica en un espacio de fase bidimensional ${\displaystyle \ W}$ y ${\displaystyle \ u^{1}...u^{2n}}$ forma un sistema de coordenadas en ${\displaystyle \ W}$, entonces las coordenadas canónicas ${\displaystyle \ (p,q)}$ pueden ser expresadas como funciones de las coordenadas ${\displaystyle \ u}$ y la matriz de los corchetes de Lagrange:

${\displaystyle [u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n}$

representan los componentes de ${\displaystyle \ \Omega }$, vistos como tensores, en las coordenadas ${\displaystyle \ u}$. Ésta matriz es la matriz inversa de la matriz formada por los corchetes de Poisson:

${\displaystyle \{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n}$

de las coordenadas ${\displaystyle \ u}$.

• Como un corolario de las propiedades anteriores, las coordenadas ${\displaystyle \ (Q,P)=(Q_{1},...,Q_{n},P_{1},...,P_{n})}$ en un espacio de fase son canónicas si y solo si los corchetes de Lagrange entre ellos tienen la forma:

${\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}$

gran web de trabajo de este tema .- ...............................:http://www.mat.ucm.es/~jlafuent/own/Manuales/Fisica/Mecanica.pdf