AMIGOS PARA SIEMPRE: ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL - MEDIAS

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética (A), cuadrática (Q), geométrica (G) y armónica (H) de dos números a y b.

En matemáticas, la media cuadrática, valor cuadrático medio, raíz de la media cuadrática o RMS (del inglés root mean square) es una medida estadística de la magnitud de una cantidad variable. Puede calcularse para una serie de valores discretos o para una función matemática de variable continua. El nombre deriva del hecho de que es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores.

A veces la variable toma valores positivos y negativos, como ocurre, por ejemplo, en los errores de medida. En tal caso se puede estar interesado en obtener un promedio que no recoja los efectos del signo. Este problema se resuelve, mediante la denominada media cuadrática. Consiste en elevar al cuadrado todas las observaciones (así los signos negativos desaparecen), en obtener después su media aritmética y en extraer, finalmente, la raíz cuadrada de dicha media para volver a la unidad de medida original. La desviación estandar es una media cuadrática.

Otras medias estadísticas son la media ponderada, la media generalizada, media armónica.

Definición[editar]

La media cuadrática para una colección de N valores {x₁, x₂, ... , x_N} de una variable discreta x,¹ viene dada por la fórmula (1):

x_{\mathrm {RMS} }={\sqrt {{1 \over N}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}} \over N}}\qquad \qquad (1)

Para una función de variable continua f(t) definida sobre el intervalo T₁ ≤ t ≤ T₂ viene dada por la expresión:

x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}.\qquad \qquad (2)

Propiedad[editar]

Hay una relación de orden de las medias obtenidas de una misma colección de valores

H≤ G ≤ A ≤ C , donde H es la media armónica; G, la media geométrica; A, la media aritmética ; C, la media cuadrática²

Aplicaciones[editar]

Valor eficaz de una corriente alterna[editar]

Artículo principal: Valor eficaz

Generalmente, el valor eficaz es usado en física e ingeniería, aunque tiene otros usos.

Media cuadrática de la velocidad de un gas[editar]

Artículo principal: Raíz de la velocidad cuadrática media

En física, la media cuadrática de la velocidad de un gas se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las velocidades de las moléculas de un gas. La velocidad RMS de un gas ideal es calculadausando la siguiente ecuación:

{v_{\mathrm {RMS} }}={\sqrt {3kT \over {M}}}

donde

k

representa la constante de Boltzmann (en este caso, 1.3806503*10^-23J/K)), T es la temperatura del gas en kelvins, y M es la masa del gas, medida en kilogramos.

La media cuadrática o RMS (Root Mean Square) de un conjunto de valores (X₁, X₂,…,X_N) es una medida de posición central. Esta se define como la raíz cuadrada del promedio de los elementos al cuadrado.

Dibujo de los datos y el cálculo de la media cuadrática

La media cuadrática es muy útil para calcular la media de variables que toman valores negativos y positivos. Se suele utilizar cuando el símbolo de la variable no es importante y lo que interesa es el valor absoluto del elemento. Por ejemplo, para calcular la media de errores de medida.

Una aplicación clásica de la media cuadrática es la determinación del valor eficaz de un parámetro sinusoidal en electricidad, en corriente alterna (tensión en voltios o intensidad en amperios).

Ejercicio

ANUNCIOS

Un profesor pide a sus alumnos que realicen un experimento en el laboratorio. Espera que los alumnos obtengan 5 litros de ácido clorhídrico. Anota en una tabla una columna con las cantidades de ácido obtenidos por cada alumno y en la otra el error por falta o exceso de la cantidad esperada, de la siguiente manera:

Datos de un experimento de laboratorio para calcular la media cuadrática

Se representa gráficamente los errores de los seis alumnos.

Representación gráfica de los errores en un experimento de laboratorio para calcular la media cuadrática

Al profesor no le importa si el error se produjo por falta o por exceso, sino la cantidad de ácido de diferencia respecto a la esperada. Para ello, utiliza la media cuadrática:

La media cuadrática es RMS=0,76.

Representación gráfica de los datos en valor absoluto y la media cuadrática en un ejemplo de un experimento de laboratorio.

Relación entre medias

Existe una relación de orden entre cuatro tipos de media. En esta relación se excluye la media ponderada porque depende de los pesos. Sean:

H la media armónica
MG la media geométrica
x la media aritmética
RMS la media cuadrática

Entonces:

En esta relación, solamente se cumple la igualdad cuando todos los datos sean iguales, es decir si: x₁ = x₂ = x₃ = … = x_N.

Se da la siguiente relación, en el caso de distribuciones de solamente dos datos, sean estos los que sean:

Cuando en la distribución hay solamente dos datos, la media geométrica es la media geométrica entre la media aritmética y la media armónica.

Esta relación se convierte en una aproximación, cuando, habiendo múltiples valores, estos están muy agrupados en torno a la media.

REEDITADA DESDE ÉSTA GRAN WEB .- ................................:https://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/media-cuadratica/

La media generalizada es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc).

Se define como:

M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{cases}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}&{\mbox{si}}\,m\not =0\\\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}&{\mbox{si}}\,m=0\end{cases}}

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica y armónicade dos números a y b.

En donde ciertos valores del parámetro m se corresponden con otro tipo de medias:

M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=Max(x_{1},\dots ,x_{n})

M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=

media cuadrática

M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=

media aritmética

M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=

media geométrica

M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})=

media armónica

M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=Min(x_{1},\dots ,x_{n})

Propiedades:

{\displaystyle M_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{j}(x_{1},\dots ,x_{n}){\mbox{ si }}\,i

Para

x_{1},\dots ,x_{n}{\mbox{ fijos: }}M(m)=M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})

es continua respecto a

m\in \mathbb {R}

Obsérvese que para valores de

m\leq 0

la expresión sólo tiene sentido si todos los

x_{i}\geq 0

El concepto de media generalizada también puede servir para definir otros más amplios.

La media

La media aritm�tica de una variable estad�stica es la suma de todos sus posibles valores, ponderada por las frecuencias de los mismos. Es decir, si la tabla de valores de una variable X es

X	n_i	f_i
x₁	n₁	f₁
...	...	...
x_k	n_k	f_k

la media es el valor que podemos escribir de las siguientes formas equivalentes:

$\begin{eqnarray}\html{eqn0}\overline{x} & = & x_1 \, f_1 + \dots + x_k \, f_k \n... ...mber \\ & = & \frac{1}{n} \, \sum_{i=1}^k x_i \, n_i \nonumber \end{eqnarray}$

Si los datos no est�n ordenados en una tabla, entonces

$\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle \overline{x}= \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} $ } } } \end{displaymath}$

2.3.2.1 Observaci�n

Hemos supuesto impl�citamente en la definici�n de media que trat�bamos con una variable X discreta. Si la variable es continua tendremos que cambiar los valores de x_i por las marcas de clase correspondientes. En general, la media aritm�tica obtenida a partir de las marcas de clase c_i, diferir� de la media obtenida con los valores reales, x_i. Es decir, habr� una perdida de precisi�n que ser� tanto mayor cuanto mayor sea la diferencia entre los valores reales y las marcas de clase, o sea, cuanto mayores sean las longitudes a_i, de los intervalos.

2.3.2.2 Proposici�n

La suma de las diferencias de la variable con respecto a la media es nula, es decir,

$\begin{displaymath}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x}) =0 \end{displaymath}$

Demostraci�n

Basta desarrollar el sumatorio para obtener

$\begin{displaymath}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x}) = (x_1-\overline{x}) + \dots ... ...s +x_n) - n\,\overline{x}= n\,\overline{x}- n\,\overline{x}= 0 \end{displaymath}$

Este resultado nos indica que el error cometido al aproximar un valor cualquiera de la variable, por ejemplo x₁, mediante el valor central $\overline {x}$ , es compensado por los dem�s errores:

$\begin{displaymath}\mbox{Error aprox. de $x_1$ } \qquad \equiv \qquad x_1-\overline{x}= \sum_{i=2}^n (x_i-\overline{x}) \end{displaymath}$

Si los errores se consideran con signo positivo, en este caso no pueden compensarse. Esto ocurre si tomamos como medida de error alguna de las siguientes:

$\begin{displaymath}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 \geq 0 \qquad \mbox{Error cuadr�tico} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\qquad \sum_{i=1}^n \mid x_i-\overline{x}\mid \geq 0 \qquad \mbox{Error absoluto} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\max_{i=1,\dots, n} \mid x_i - \overline{x}\mid \geq 0 \qquad \mbox{Error m�ximo} \end{displaymath}$

que son cantidades estrictamente positivas si alg�n $x_i \neq \overline{x}$ .

2.3.2.3 Ejemplo

Obtener las desviaciones con respecto a la media en la siguiente distribuci�n y comprobar que su suma es cero.

l_i-1 - l_i	n_i
0 - 10	1
10 - 20	2
20 - 30	4
30 - 40	3

Soluci�n:

l_i-1 - l_i	n_i	x_i	x_i n_i	$x_i-\overline{x}$	$(x_i-\overline{x})n_i$
0 - 10	1	5	5	-19	-19
10 - 20	2	15	30	-9	-18
20 - 30	4	25	100	+1	+4
30 - 40	3	35	105	+11	+33
	n=10		$\sum x_i n_i=240$		$\sum=0$