ARITMÉTICA

ARITMÉTICA ELEMENTAL - MEDIA

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética (A), cuadrática (Q), geométrica (G) y armónica (H) de dos números a y b.

En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números; es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

${\displaystyle {\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}$

Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es

${\displaystyle {\sqrt[{2}]{2\cdot 18}}={\sqrt[{2}]{36}}=6}$

Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1\cdot 3\cdot 9}}={\sqrt[{3}]{27}}=3}$

Propiedades[editar]

• El logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.
• La media geométrica de un conjunto de números positivos es siempre menor o igual que la media aritmética:

${\displaystyle (x_{1}x_{2}\dots x_{n})^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}}$

La igualdad sólo se alcanza si ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}}$.

Ventajas

• Considera todos los valores de la distribución
• Es menos sensible que la media aritmética a los valores extremos.

Desventajas

• Es de significado estadístico menos intuitivo que la media aritmética.
• Su cálculo es más difícil.
• Si un valor ${\displaystyle x_{i}=0\,}$ entonces la media geométrica se anula o no queda determinada.

Solo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Como hemos visto, si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hubiera un número negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geométrica sería o bien negativa, o bien inexistente en los números reales.

En muchas ocasiones se utiliza su trasformación en el manejo estadístico de variables con distribución no normal.

La media geométrica es relevante cuando varias cantidades son multiplicadas para producir un total.

Media geométrica ponderada[editar]

Al igual que en una media aritmética pueden introducirse pesos como valores multiplicativos para cada uno de los valores con el fin de ponderar o hacer pesar más en el resultado final ciertos valores, en la media geométrica pueden introducirse pesos como exponentes:

${\displaystyle {\bar {x}}=\left({\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}^{\alpha _{i}}}\right)^{\frac {1}{\sum _{i}{\alpha _{i}}}}=\left({x_{1}}^{\alpha _{1}}{x_{2}}^{\alpha _{2}}\dots {x_{n}}^{\alpha _{n}}\right)^{\frac {1}{\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n}}}}$

Donde las ${\displaystyle \alpha _{i}\,}$ son los «pesos».

Caso ilustrativo[editar]

Una cadena de expendedores de gasolina el año pasado aumentó sus ingresos respecto al año anterior en 21%; y han proyectado que este año van a llegar a un aumento de 28% con respecto al año pasado. ¿Cuánto es el promedio anual del aumento porcentual?

Definitivamente no es (21% + 28%):2 = 24,5%.

El monto de la producción, al final de dos años, es 100(1,21)(1,28)= 154,88. Si en cada año se tuviera una tasa anual de aumento de i% resulta

100 → 100(1+i) → 100(1 +i)².

Entonces

100(1 +i)² = 154,88

(1 +i)² = 1,5488

1 + i = ${\displaystyle {\sqrt {1,5488}}}$ =1,244507 (este es el valor de ${\displaystyle {\bar {x}}={\sqrt {(1,21\cdot 1,28)}}\,}$)

i = 0,244507 = 24,451%¹​

Dónde aparece[editar]

Geometría[editar]

• la altura de un triángulo rectángulo cumple ${\displaystyle h={\sqrt {mn}}}$, siendo m y n las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
• un cateto b cumple ${\displaystyle b={\sqrt {ma}}}$ m su proyección y a la hipotenusa.
• la tangente t a una circunferencia ${\displaystyle t={\sqrt {sk}}}$ , s es secante y k la parte interna.
• el lado de un cuadrado equivalente a un rectángulo es la media geométrica de los lados de este; el radio de un círculo equivalente a una elipse es la media geométrica de los semiejes de esta. Lo mismo el caso de la esfera con la elipsoide.
• el lado (arista) d de un cubo equivalente a un ortoedro de lados a, b, c es ${\displaystyle d={\sqrt[{3}]{abc}}}$²​

Pesas[editar]

El peso w de una sustancia que tiene pesos hallados por dos balanzas u y v , resulta ${\displaystyle w={\sqrt {uv}}}$³​

La media geométrica (MG) de un conjunto de números estrictamente positivos (X₁, X₂,…,X_N) es la raíz N-ésima del producto de los N elementos.

Todos los elementos del conjunto tienen que ser mayores que cero. Si algún elemento fuese cero (X_i=0), entonces la MG sería 0 aunque todos los demás valores estuviesen alejados del cero.

La media geométrica es útil para calcular medias de porcentajes, tantos por uno, puntuaciones o índices. Tiene la ventaja de que no es tan sensible como la media a los valores extremos.

Ejercicios

ANUNCIOS

Ejercicio 1

En una empresa quieren saber la proporción media de mujeres en los diferentes departamentos. Para ello, se recoge el porcentaje de mujeres en los cinco principales departamentos.

Como es la media de porcentajes, calculamos la media geométrica que es más representativa.

Ejercicio 2

Una aldea sufre un proceso rápido de envejecimiento. El primer año aumentan los mayores de 65 años un 10%, el segundo año, un 20%, el tercer año un 30% y el cuarto año, un 40%.

Si la población de inicial es de 100 mayores de 65 años, ¿cuál será un mejor indicador para caracterizar ese envejecimiento: la media aritmética o la media geométrica?

Solución:

Sabemos que para llegar a la cifra final al cabo de los cuatro años, debemos acumular sucesivamente los porcentajes anuales:

Tras el cuarto año, en la aldea hay 240 personas con más de 65 años.

Si calculamos la media aritmética de los porcentajes de incremento anual, obtendremos:

Si esta media aritmética la acumulamos a los cuatro años:

El resultado obtenido excede a la realidad.

Pero si hubiésemos empleado la media geométrica de los incrementos anuales:

Llegamos a un porcentaje anual obtenido con la media geométrica del 24,02%.

Calculamos la población final a partir de este último indicador, acumulándolo a los cuatro años.

Obtenemos el resultado final exacto. Por lo que resulta más representativa, trabajando con porcentajes, la media geométrica que la aritmética:

Relación entre medias

Existe una relación de orden entre cuatro tipos de media. En esta relación se excluye la media ponderada porque depende de los pesos. Sean:

• H la media armónica
• MG la media geométrica
• x la media aritmética
• RMS la media cuadrática

Entonces:

En esta relación, solamente se cumple la igualdad cuando todos los datos sean iguales, es decir si: x₁ = x₂ = x₃ = … = x_N.

Se da la siguiente relación, en el caso de distribuciones de solamente dos datos, sean estos los que sean:

Cuando en la distribución hay solamente dos datos, la media geométrica es la media geométrica entre la media aritmética y la media armónica.

Esta relación se convierte en una aproximación, cuando, habiendo múltiples valores, estos están muy agrupados en torno a la media.

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