FIGURAS GEOMÉTRICAS - CURVAS

Evolvente del círculo.

La evolvente del círculo, a veces llamada involuta, es una curva plana de desarrollo, cuyas normales son tangentes de la circunferencia.

A menudo se traza sin saberlo: cuando un hilo tenso o un cable se desenrollan de una bobina circular sus puntos describen la evolvente de la circunferencia de esa bobina.

Fue estudiada originalmente por Christian Huygens,¹ que trataba de diseñar relojes de péndulo para uso marino. Huygens utilizó la cicloidepara forzar la oscilación regular del péndulo. Cuando un hilo tenso se enrolla en una cicloide cada uno de sus puntos describe un cicloide, es decir, la curva de desarrollo de una cicloide es una cicloide, como la de una circunferencia es una evolvente. La aplicación a los perfiles de las ruedas dentadas fue propuesta por Leonhard Euler.

La evolvente de la circunferencia (en trazo negro) es semejante a la Espiral de Arquímedes (en rojo), pero no coinciden.

La curva se puede definir paramétricamente mediante la siguiente ecuación:

{\begin{cases}x(t)=k(\cos {t}+t\,\sin {t})\\y(t)=k(\sin {t}-t\,\cos {t})\end{cases}}

donde k es el radio en el punto de contacto.

También puede ser definido por una ecuación intrínseca:

R_{c}^{2}=2k\,s

, donde

R_{c}

representa el radio de curvatura y la

s

la abscisa curvilínea.

Propiedades y aplicaciones[editar]

Si se hace rodar sin deslizamiento una recta sobre un círculo, cada punto de esta línea describe con respecto al círculo una evolvente.

Engranajes con perfil en evolvente.

Los dientes de los engranajes rectos tienen perfil de evolvente de circunferencia, porque garantiza una relación de transmisión constante y una transmisión de energía óptima entre los engranajes, ya que en el punto de contacto entre dos dientes la tangente al perfil es común a ambos dientes.

Otras propiedades notables de engranajes de evolvente son las siguientes:

Si un diente de engranaje de perfil de evolvente engrana con otro diente con el mismo perfil, a velocidad de rotación uniforme, el movimiento angular de la rueda accionada es uniforme también, incluso cuando variamos la distancia entre ejes.
La velocidad de movimiento relativo entre la rueda conductora y la rueda conducida de un engranaje está establecida por los diámetros de sus círculos base.
El contacto de acoplamiento entre el diente de las ruedas conducida y conductora se producen a lo largo de una recta tangente al círculo base de las ruedas. Esta recta se llama línea de acción. Pasa en general entre los círculos base (engranajes convencional), pero puede estar fuera (en el llamado engranaje paradójico, cuyas ruedas giran en el mismo sentido). A lo largo de esta recta están los puntos de engrane, en los que el deslizamiento relativo entre las superficies es cero.
Las superficies de desgaste activo se distribuye de manera más uniforme.
Las vibraciones son más bajas que con otro perfil.

La longitud de la evolvente es equivalente a

d\cdot \pi ^{2}\cdot \theta ^{2}

, donde:

d es el diámetro del círculo
π es el número pi
θ es el ángulo en revoluciones

Evolvente de una circunferencia

Contenido

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1 Enunciado

La evolvente de una circunferencia es la curva plana que se obtiene cuando se desenrolla un hilo tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina de radio

A

que se va desenrollando a ritmo constante, de forma que el punto

C

donde el hilo deja de hacer contacto con el carrete forma un ángulo

θ = ω t

con el eje

O X

. Una partícula material se encuentra en el punto

P

situado en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.

Determine el vector de posición de la partícula.
Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
Determine la ley horaria $s = s (t)$ .
Halle los vectores tangente y normal a la trayectoria.
Halle el radio de curvatura y el centro de curvatura.

2 Vector de posición

Por adición de vectores

$\vec{r}(t) = \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}$

El vector $\overrightarrow{OC}$ es radial y forma un ángulo

ω t

con el eje

O X

. Su módulo es

A

, el radio del carrete:

$\overrightarrow{OC}=A\left(\cos(\omega t)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}\right)$

El vector $\overrightarrow{CP}$ es tangente a la circunferencia y por tanto perpendicular al radio. Obtenemos el unitario en esta dirección intercambiando las dos componentes del unitario radial y cambiándole el signo a una de ellas. El sentido lo da el que para

ω t < π / 2

la componente X es positiva y la Y es negativa, por tanto

$\frac{\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{CP}|} = \,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-\cos(\omega t)\vec{\jmath}$

El módulo de $\overrightarrow{CP}$ lo da la cantidad de hilo desenrollado hasta ese momento, igual al producto del radio por el ángulo,

L = A ω t

$\overrightarrow{CP}= A\omega t(\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-\cos(\omega t)\vec{\jmath})$

Sumando los dos vectores obtenemos el vector de posición

$\vec{r}(t) = A\left(\cos(\omega t)+\omega t\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\imath}+A\left(\,\mathrm{sen}(\omega t)-\omega t\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}$

3 Velocidad y aceleración

3.1 Velocidad

Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos

$\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=A\omega^2 t\cos(\omega t)\vec{\imath}+A\omega^2t\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}$

3.2 Aceleración

Derivando de nuevo

$\vec{a}(t) =\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=A\omega^2\left(\cos(\omega t)-\omega t\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\imath}+A\omega^2\left(\mathrm{sen}(\omega t)+\omega t\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}$

4 Ley horaria

La rapidez con que se recorre la curva la da el módulo de la velocidad

$\dot{s}=|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}} = A\omega^2 t$

e integrando esta ecuación obtenemos el parámetro arco como función del tiempo

$s = \frac{A\omega^2t^2}{2}$

5 Triedro de Frenet

5.1 Vector tangente

Hallamos el vector unitario tangente normalizando la velocidad

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=\cos(\omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}$

Obsérvese que el vector unitario tangente resulta paralelo al vector $\overrightarrow{OC}$

5.2 Vector binormal

El vector binormal es inmediato. Puesto que la trayectoria está contenida en el plano OXY, el vector binormal será el unitario perpendicular a dicho plano, por lo que $\vec{B}=+\vec{k}$ o $\vec{B}=-\vec{k}$ . El sentido lo da el que debe ser el del producto vectorial de $\vec{v}$ y $\vec{a}$ . Tomando un punto del primer cuadrante la velocidad va hacia Y positiva y la aceleración va hacia donde se curva la trayectoria, por lo que debe ser

$\vec{B}=\vec{k}$

5.3 Vector normal

Multiplicando vectorialmente los dos anteriores

$\vec{N}=\vec{B}\times\vec{T}=-\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+\cos(\omega t)\vec{\jmath}$

6 Radio y centro de curvatura

Podemos hallar el centro y el radio de curvatura directamente a partir de la velocidad y la aceleración. Sin embargo, es más ilustrativo hallar primero las componentes intrínsecas de la aceleración

No necesitamos proyectar sobre los dos vectores unitarios, nos basta con reconocerlos en la expresión de la aceleración y observar que ésta puede escribirse como

$\vec{a}(t) =A\omega^2\left(\cos(\omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}\right)+A\omega^3t\left(-\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+\cos(\omega t)\vec{\jmath}\right) = A\omega^2\vec{T}+A\omega^3t\vec{N}$

y por tanto

$a_t = A\omega^2\,$ $a_n=A\omega^3t\,$

Vemos que, dado que la aceleración tangencial es constante, el movimiento es uniformemente acelerado.

El radio de curvatura lo obtenemos de la velocidad y la aceleración normal

$R = \frac{v^2}{a_n}=\frac{A^2\omega^4t^2}{A\omega^3t}=A\omega t$

Vemos que va aumentando gradualmente en el tiempo, como corresponde a que la curva es una espiral que se va abriendo.

La posición de los centros de curvatura es

$\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N} = A\left(\cos(\omega t)+\omega t\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\imath}+A\left(\,\mathrm{sen}(\omega t)-\omega t\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}+A\omega t\left(-\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+\cos(\omega t)\vec{\jmath}\right)$

que nos da

$\vec{r}_c=A\cos(\omega t)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}$

Pero esta es justamente la posición del punto C. Por tanto, el conjunto de los centros de curvatura (lo que se conoce como evoluta) es la propia circunferencia del carrete.

http://laplace.us.es/wiki/index.php/2.2._Evolvente_de_una_circunferencia

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miércoles, 7 de noviembre de 2018

GEOMETRÍA